ПрименПроизвИсследФ-й

Вариант 10

1. Доказать, что функция

y = arcsin x удовлетворяет уравнению

(1− x2 ) y′′ = xy′.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3−1,97 ;

б) ctg 34o ;

в) arcsin 0,46.

3.

Найти n-ю производную функции y =

2x

.

x2 − 4x + 5

x2 −1

4.

Функцию

f (x) =

разложить по формуле Тейлора в окрестности

x2 − 5x + 6

точки xo =1 до членов 10-го порядка.

5.

Доказать неравенство

ln x

<

1

при

x > 0,

x ¹ 1.

x −1

x

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) =

2x + 1

− 2;

б) f (x) = (x + 1)2 3 − x2 3 + 1;

(x + 2)2

в) f (x) = e−x (x + 4);

г)

f (x) = x - ln(x +1) .

7. Капитал в 1 млрд руб. может быть размещен в банке под 20 % годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожида- ется в размере 50 %, а издержки равны квадрату вложенных в производство денег. Прибыль облагается налогом в p %. При каких значениях p вложе-

ние в производство является более эффективным, нежели чистое размеще- ние капитала в банке? На сколько увеличится вклад по сравнению с чистым размещением под проценты, если прибыль облагается налогом: а) в 10 %;

б) в 12 %?

8. Для производственной функции y = x2 arctg x найти эластичность ресурса x при x =1.

13

	Вариант 11
1. Доказать, что функция	y = e−x cos x	удовлетворяет уравнению
y(4) + 4y = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3

63,94

;

б) sin 151o ;

в)

arctg1,06.

3.

Найти формулу производной n -го порядка для функции y = xn :

а) n R ;

б) n Ν .

4.

Функцию

f (x) = 3

разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

x

xo =1.

5.

Доказать неравенство cos x ³1-

x2

при x R .

2

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

x

;

б)

f (x) = x 3 (x -1)2 ;

(x + 2)

2

в) f (x) = x e− x2

2 ;

г)

f (x) = ln(x2 + 1) .

что прогнозная цена акции имеет вид: Cпрогн = Co

gr

7.

Известно,

,

(r - r) + gr

e

где Co

– начальная цена;

g – доля прибыли, выделенная на выплату диви-

дендов;

re

– наиболее эффективная ставка, по которой можно реинвестиро-

вать дивиденды; r – относительная прибыль корпорации.

Рассматриваются

две акции с начальной ценой, равной единице, и следующими характери-

стиками: r1 = 0,4 ,

r2 = 0,2 ,

g1 = g2 = g . Известно, что

re = 0,5 . Инвестор

продал первую акцию и купил вторую. При каких значениях g эта опера-

ция принесет наибольшую ожидаемую прибыль?

8.

Уравнение спроса имеет вид: p =1000 + 3q − 4q2 . Определить эластичность

спроса по цене при

q = 10

ед. Каково значение совокупной и предельной

выручки при q = 10

ед.?

14

	Вариант 12
1. Доказать, что функция	y = e− x 2 (5 + x2 2) удовлетворяет уравнению

y′ + 2xy = xe− x 2 .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

;

б) tg 116o ;

в) arccos 0,45.

640

3.

Найти n-ю производную функции y = x a k x .

4.

Функцию

f (x) =1

разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

x

xo =1.

5.

Доказать неравенство

ex ³1 + x при x R .

6.

Исследовать функции и построить их графики:

(x −1)2

а) f (x) =

;

б) f (x)= 3 x2 − 2x;

(x + 1)3

в) f (x)= 2x3 e− x ;

г) f (x) =

1 ln

1+ x

.

2

1− x

7.Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v (км/ч), состав-

ляет (80 + 0,2 v2 ) ден. ед. за 1 ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода 1 км пути была наименьшей?

8.Пусть зависимость между себестоимостью единицы продукции C и объе-

мом q ее производства выражается формулой C = 60 − 0,3q . При каких значениях q издержки производства с увеличением его объема будут уменьшаться? На сколько процентов увеличатся издержки производства при увеличении его объема с q = 70 до q = 77 единиц изделия?

15

Вариант 13

1.

Доказать,

что

функция

y = x2 e1 x + x2

удовлетворяет уравнению

y

′

+

1 − 2x

y =1.

x2

2.

Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна-

чение выражений:

а)

;

б) ctg 33o ;

в) ln(e + e 10).

24,96

3.

Найти n-ю производную функции y = cos3 x .

4.

Для функции

f (x) = arctg x

написать формулу Маклорена до членов 5-го

порядка включительно.

5.

Доказать неравенство sin x + tg x > 2x при

0 < x < π 2.

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

2x2 − 1

б) f (x) = 3

;

;

(1 − x2 )2

x4

г) f (x) =

3

.

в) f (x) = −2x2 e−x ;

ln2 x

x

7.При производстве первых пятидесяти единиц продукции издержки состав- ляют C(x)= 10 x . Далее при производстве каждой следующей единицы про-

дукции издержки возрастают на 2 усл. ед. Цена единицы продукции равна 71 усл. ед. Найти оптимальное значение выпуска продукции.

8.Менеджеры по производству фирмы Cosmiс Paper Corporation считают, что объем бумаги, производимой за определенный период времени, можно опи-

сать следующей функцией: q = 72x + 15x2 − x3 , где x – количество (ед.) ре-

сурса, используемого за тот же период. Найти предельный и средний про- дукт. На сколько вырастет выработка, если ресурс возрастет с 7 до 8 еди- ниц за период? При каком значении ресурса достигается максимальное значение среднего продукта?

16

Вариант 14

1. Доказать, что функция y = cosx x удовлетворяет уравнению y′ + y tg x = sec x .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 5

;

б) ln(tg 47o15¢);

в) arctg1,04.

250

3.

Найти производную n-го порядка функции

y =

1

.

x2 + 3x + 2

4.

Для функции

f (x) = tg x написать формулу Маклорена до членов 5-го по-

рядка включительно.

5.

Доказать неравенство

xα ³1+ a ln x при x > 0,

α > 0.

6.

Исследовать функции и построить их графики:

x3

б) f (x) = xln(e + 1 x);

а) f (x) = 2 - 3x ;

в) f (x) = x2e−2x ;

г) f (x) =1- 3

.

x2 + 2x

7.

Банк в конце года увеличивает вклад клиента на

r1 процент, а в середине

года еще на

r2 процентов, причем r1 + r2 = 30.

Вкладчик желает в середи-

не года сразу после начисления процентов снять десятую часть положенных

им в банк денег. При каком значении r1 счет вкладчика в конце года ока-

жется максимальным, и какова прибыль вкладчика по отношению к его пер-

воначальному вкладу?

8.

Объем продукции u

(тыс. руб.) в течение рабочего дня, выпускаемой неко-

торой фирмой, можно выразить функцией

u = -2t3 + 21t2 + 48t + 650, где

t – время. Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения:

а) в начале дня (t = 0); б) в середине дня (t = 4 ); в) в конце дня (t = 8).

17

Вариант 15

1. Доказать, что функция y = x66 - sin x + x удовлетворяет уравнению y′′ = 5x4 + sin x .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 1,012 × 2,012 × 3,012;

б)

ln 1,2;

в)

cos 63o.

3.

Найти n-ю производную функции

y = xsin 2x .

4.

Составить многочлен

Тейлора 50-го

порядка для функции

f (x) = x (x − 1)

в окрестности точки xo = 2 .

5.

Доказать неравенство

tg x > x + x3

3

при

0 < x < π 2.

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

x3

;

б) f (x) = −2xe− x 2;

12(x − 2)

в) f (x) =

x3

− x + 1;

г) f (x) = x2 (ln x − 1).

x +

3

7.Фирма из-за нестабильности рынка сбыта имела в течение пяти лет чередо-

вание прибылей и убытков с одним и тем же числом процентов каждый год по отношению к предыдущему финансовому году. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 100 % годовых, итоговая прибыль фирмы за пять лет будет наибольшей, и какова она по отношению к перво- начальному капиталу?

8.Функции спроса q и предложения s на некоторые фрукты от их цены p

имеют соответственно вид: q = 1100 − 2 p, s = 400 + 8p. Найти эластич-

ность спроса в точке равновесной цены. Как изменятся равновесная цена, спрос и эластичность спроса при увеличении предложения фруктов в су- пермаркете на 25 %?

18

	Вариант 16
1. Доказать, что функция	y = ex − x − x2 2	удовлетворяет уравнению

y′′ = y′ + x .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

2,052

− 3

;

б) cos 31o ;

в)

log2 15,97 .

2,052

+ 5

3.

Найти n-ю производную функции y =

x

.

3

x + 1

4.

Составить

многочлен

Тейлора

4-го

порядка

для функции

f (x) = x8 − x4 + x2 в окрестности точки xo =1.

5.

Доказать неравенство

e

2x <

1 + x

при

0 < x <1.

1 − x

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) = 1+ 3 x + 2

x2 ;

б)

f (x) = 3

;

x(x −1)(x − 2)

в) f (x) = e2x− x2 ;

г) f (x) = x2 ln x .

7.У фермера имеется стадо в 100 коров, каждая массой 200 кг. Содержание одной коровы обходится в 90 центов в день. Корова прибавляет 2 кг в день. Рыночная цена коров на момент продаж составляет 4 доллара за 1 кг и пада- ет каждый следующий день на полцента больше, чем в предыдущий. Как долго фермер должен откладывать продажу, чтобы получить наибольший доход? Сколько он выиграет по сравнению с немедленной продажей?

8.Производительность труда бригады в течение рабочего дня представляет

функцию y = −2,5t2 + 10t + 100 , где 0 ≤ t ≤ 8 – рабочее время. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 3 и при t = 6 .

19

					Вариант 17
1. Доказать,			что		функция y = 2 + ln(x2 4) удовлетворяет уравнению
xy	′′	′ 2	− y	′	= 0.
		+ x(y )

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3

;

б) tg 63o ;

в) arcsin 0,05.

64,05

3.

Найти n-ю производную функции y = x2 (1 − x).

4.

Для функции

f (x) =

x + 3

в окрестности точки xo

= 1 составить формулу

3 + x2

Тейлора до членов 3-го порядка включительно.

5.

Доказать неравенство x −

x2

< ln(1+ x) < x при x > 0.

2

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

(x + 1)3

;

б) f (x) = 3 x(x + 2);

(x −1)2

в) f (x) = (1 + x2 )e− x ;

г) f (x) = ln(x2 + x3 ) .

7.

Экспериментально установлено, что расход бензина

y (л) на 100 км пути

автомобиля ГАЗ-69 в зависимости от скорости x (км/ч) является функцией

y =18 − 0,3x + 0,003x2 , где

30 ≤ x ≤100 . Определить наиболее экономичную

скорость автомобиля, при которой расход бензина будет наименьшим. Най- ти это наименьшее количество бензина.

8.Зависимость между издержками производства C и объемом продукции q

выражается функцией C = 40q + 2q2 − 0,1q3 . При каком объеме продукции q предельные и средние издержки совпадают? Определить средние и пре-

дельные издержки: а) при q = 5 ед; б) при q = 15 ед. В каком случае выгодно увеличивать объем производства?

20

		Вариант 18
		4		¢¢		2
	1. Доказать, что функция y =	(x + 4)2 удовлетворяет уравнению 2y			= 3y		.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) e1,03 ;			б) arccos 0,05 ;
в) 4			при x = 1, 02 .
	2x − sin(πx 2)

3.Найти n-ю производную функции y = xcos 2x .

4.Для функции f (x) = 1+ x написать формулу Маклорена до членов 5-го по-

рядка включительно.

5.	Доказать неравенство ex ³1 + ln(1 + x)		при x > −1.
6.	Исследовать функции и начертить их графики:
	а)	f (x) = x (1 − x2 )2 ;	б)	f (x) = (x -1)2 3 (x +1)3 ;
	в)	f (x) = x + e− x ;	г)	f (x) = x(ln x − 4).

7.Некто нанял пароход для перевозки грузов на расстояние в 1000 км. Он предлагает плату хозяину парохода в размере 1500 монет, но требует вер- нуть 9 монет за каждый час пребывания парохода в пути. Предполагается, что пароход будет двигаться с постоянной скоростью. Если эта скорость бу- дет равна v км/ч, то в конце пути хозяин обязан выплатить команде пре- мию, равную 10v монет. С какой скоростью хозяин должен вести пароход,

чтобы заработать максимальное число монет? Какое это число?

8.Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эла- стичность полных затрат равна: а) 12; б) 2. В каком случае выгодно рас-

ширять производство?

21

Вариант 19

1. Доказать, что функция y = 2x − x2 удовлетворяет уравнению y3 y′′ = −1.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

2,0042,005 ;

б)

arctg 0,97 ;

в)

3

при

x = 0,01.

3x + cos x

3.

Найти n-ю производную функции y =

1− 2x

.

1 + 2x

f (x) = 1 x в ок-

4.

Составить формулу Тейлора 100-го

порядка для функции

рестности точки

xo = 2 .

5.

Доказать неравенство

sin x tg x > x2

при x (0, π 2).

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

x2 + 3x + 2

а)

f (x) =

;

б)

f (x) = 3 x(x − 2) ;

x2

в)

f (x)= ex (x − 5);

г)

f (x) =

ln2 3 x

.

x

7.

При подготовке к экзамену студент за t дней изучает

t

-ю часть курса, а

t + 1

забывает

t

-ю часть. Сколько дней надо затратить студенту на подготовку,

25

чтобы была изучена максимальная часть курса? Какая часть курса останется

не подготовленной к экзамену?

8.

Пусть стоимость

q изготовления x экземпляров продукта задается форму-

q = 1500 +

50x +

x2

лой

. При

каком

объеме

производства средняя

150 000

стоимость единицы продукта совпадает с маргинальной (предельной)? Най-

ти коэффициенты эластичности полных и средних затрат при данном объеме.

22