ПрименПроизвИсследФ-й

Оглавление
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ..............................................................................................................	4
Вариант 1...............................................................................................................	4
Вариант 2...............................................................................................................	5
Вариант 3...............................................................................................................	6
Вариант 4...............................................................................................................	7
Вариант 5...............................................................................................................	8
Вариант 6...............................................................................................................	9
Вариант 7.............................................................................................................	10
Вариант 8.............................................................................................................	11
Вариант 9.............................................................................................................	12
Вариант 10...........................................................................................................	13
Вариант 11...........................................................................................................	14
Вариант 12...........................................................................................................	15
Вариант 13...........................................................................................................	16
Вариант 14...........................................................................................................	17
Вариант 15...........................................................................................................	18
Вариант 16...........................................................................................................	19
Вариант 17...........................................................................................................	20
Вариант 18...........................................................................................................	21
Вариант 19...........................................................................................................	22
Вариант 20...........................................................................................................	23
Вариант 21...........................................................................................................	24
Вариант 22...........................................................................................................	25
Вариант 23...........................................................................................................	26
Вариант 24...........................................................................................................	27
Вариант 25...........................................................................................................	28
Вариант 26...........................................................................................................	29
Вариант 27...........................................................................................................	30
Вариант 28...........................................................................................................	31
Вариант 29...........................................................................................................	32
Вариант 30...........................................................................................................	33
ПРИМЕРНЫЙ ТИПОВОЙ ВАРИАНТ ...........................................................................	34
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПОВОГО ВАРИАНТА ............................................................	35
Библиографический список................................................................................................	50

3

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ

	Вариант 1
1. Доказать, что функция	y = ex sin x	удовлетворяет уравнению
y′′ − 2y′ + 2y = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)		;	б) ctg 28o ;	в) lg 9.
	35,94

3. Найти n -ю производную функции y = sin3 x.

4.Разложить функцию f (x) = x5 по целым неотрицательным степеням разно-

сти x −1.

5.

Доказать неравенство arcsin x > x +

x

3 при

0 < x <1.

6

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) =

x4

ex

;

б)

f (x) =

;

(x + 1)3

x + 1

f (x) = x + ln(x2 −1) .

в) f (x) = 2x − 3 3

x2

;

г)

7.

В соответствии с прогнозами прибыль предприятия описывается функцией

Π(q)= q2 −10q + 20 , где

q – величина, характеризующая объем производ-

ства (в млн. руб.). Найти оптимальный объем выпуска продукции для пред-

приятия, если его производственные мощности составляют: а) 10 млн. руб.;

б) 20 млн. руб.

8.

Функция спроса q = 10 − p + 2

и предложения s = 4 p − 6, где q и s –

p

количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на прода-

жу в единицу времени,

p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную

цену; б) эластичность спроса и предложения; в) изменение дохода при уве- личении цены на 5 % от равновесной.

4

					Вариант 2
1. Доказать, что				функция	y =	x - 3	удовлетворяет уравнению
						x + 4
	2
¢		= ( y -1) y	¢¢	.
2(y )

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 4

;

б)

tg 44o50¢ ;

в) arccos 0,07 .

15,80

3.

Найти n-ю производную функции y = sin axcos bx .

4.

Составить многочлен Тейлора

для функции

f (x) =

в окрестности точ-

x

ки xo =1.

5.

Доказать неравенство

æ1+ x ö

0 ≤ x <1.

lnç

÷ ³ 2x при

è1 - x ø

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x)=

x2 - 3x + 2

;

б) f (x)= x − 2ln x ;

(x +1)2

в) f (x)= (x + 4)e2x ;

г) f

(x)= 3

x2

.

x +1

7.

Зависимость между издержками предприятия

C и количеством выпускае-

мой продукции x выражается формулой

C(x)=

ì

48x,

x £125,

í

2

125 < x £150.

î375

+(x - 50) ,

Доход от реализации единицы продукции на двух различных рынках соста-

	вил p(x)=120 -	4		и, соответственно, p(x)=120 +	x	.
			x
		3
			6

Какие рекомендации о количестве выпускаемой продукции можно дать ру- ководителю предприятия? Какой рынок предпочтительней?

8. Функция совокупной полезности U товара x для потребителя имеет вид:

U =10x + 9x2 − x3 , где x – количество потребленного в единицу времени товара. Определите степень насыщения и точку снижения предельной по- лезности функции U ; укажите эти точки на графиках совокупной и пре- дельной полезности.

5

				Вариант 3
	1. Доказать, что функция y = ln			1	удовлетворяет уравнению xy¢ +1= e y .
		1		+ x

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 5

1,85

;

б)

sin 28o ;

в) arccos 0,05 .

2,15

3.

Найти 20-ю производную функции

y = x2 e−x .

4.

Составить многочлен Тейлора

4-го

порядка для функции f (x) = sin

p x

в

окрестности точки xo

=1.

2

5.

Доказать неравенство

ch x ³1+

x2

для

x R .

2

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) =1 +

4x + 1

;

б) f (x) = x3e−3x ;

x2

x

3

г) f (x) = x(ln x − 3).

в) f (x) =1 - x + 3 + x ;

7.

Зависимость объема выпуска продукции

V от капитальных затрат K

оп-

ределяется функцией

V =V ln(4 + K 3 ).

Найдите интервал изменений

K ,

0

на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

8. Функция потребления некоторой страны имеет вид

C(x) = 53,76 + 0,78x − 0,96 x34 ,

где x – совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склон- ность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению; в) эластич- ность потребления по доходу, если национальный доход составляет 256. Склонно ли общество данной страны при существующем потреблении и на- циональном доходе к прогрессу? Почему?

6

		Вариант 4
	1. Доказать, что функция	y =	arcsin x	удовлетворяет уравнению
			1 - x2
	(1 - x2 ) y¢ - xy =1.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3

;

б)

sin 34o ;

в)

arcctg 0,98.

1,02

3.

Найти 50-ю производную функции y =

ax + b

.

cx + d

4.

Разложить функцию

f (x) = xe− x

по формуле Маклорена

n -го порядка.

5.

Доказать неравенство

2

³ 3 - 1

при x ³1.

x

x

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

x2 - 4

а) f (x) =

;

б)

f (x) = (x +1) 3

x2

;

x2 -1

в)

f (x) = x2e−x ;

г)

f (x) = x2 (ln x -1).

7.

Зависимость дохода

R и издержек С от объема производства х задается

функциями следующего вида:

R(x) = 30x − 2x2 ,

C(x) = x3 − 35x2 + 150x.

Производственные мощности позволяют производить до

25 единиц про-

дукции. При каком объеме производства прибыль максимальна?

8.

По оценке Tastee Food Сompany

отношения спроса – дохода на ее продук-

цию описывают уравнением

q = 500 + 0,1I ,

где

q – количество ед. про-

дукции, а I – средний семейный доход.

A.

Определить эластичность спроса по доходу при I =15 000 дол.,

I= 20 000 дол., I = 25 000 дол.

B.Результат предыдущих вычислений должен показать, что эластич- ность по доходу увеличивается с ростом дохода. Почему это так? Со- хранилось бы это отношение при q = 0,1I ?

7

	Вариант 5
1. Доказать, что функция	y = e−x sin x удовлетворяет уравнению
y′′ + 2y′ + 2y = 0 .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3125,18 ; б) tg 59o ; в) arccos 0,03.

3. Найти 10-ю производную функции y = xlog2 x .

4.Для функции f (x) = e2x − x 2 написать формулу Маклорена до членов 3-го порядка включительно.

5.	Доказать неравенство xα −1 ≤ α(x −1) при x > 1, 0 < α < 1.
6.	Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) = 2x −1 + x 1+ 1;

в) f (x) = (2 + x2 )e-x2 ;

б) f (x) = 1 + ln x ; x

г) f (x) = x − 2 . x2 + 1

7. Производитель реализует свою продукцию по цене 500 рублей за единицу,

а издержки при этом задаются кубической зависимостью C(x) = 50x + 6x3.

Найдите оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соот- ветствующую ему прибыль.

8.Бизнесмен Вася решил основать небольшое предприятие по выпуску изде- лий народного потребления. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что зависимость между спросом q и ценой p за единицу изделия выражается формулой q = 60 − 2 p . Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких

значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.

Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать Васе при p = 324 и при p = 484 ден. ед.?

8

	Вариант 6
1. Доказать, что функция	y =	2x - x2	удовлетворяет уравнению
y3 + y′′ + 1 = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

15,92

;

б) cos28° ;

в) lg 11.

3.

Найти n -ю производную функции y = xe2x .

4.

Составить многочлен Тейлора для функции f (x) =

1

в окрестности

2x − x2

точки

xo =1 до членов 20-го порядка.

5.

Доказать неравенство

ex ³ e x при x R .

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) =

x3 +1

;

б) f (x) = 3 3

(x −1)2

− 2x;

x

2

в) f (x) = x2 e 1 x;

г) f (x) = x2 2 + ln x.

7.

Объем добычи строительного песка y (т/ч) зависит от количества вложен-

ного труда x (чел./ч):

y = 4

. Цена щебня – 100 руб./т, зарплата рабочего

x

– 50 руб./ч. Кроме зарплаты, другие издержки не учитываются. Найдите оп-

тимальное количество вложенного труда (рабочих).

8.Спрос q на некоторое лекарство зависит от его цены p следующим обра-

зом: q = 20p . Найти эластичность спроса. Какие рекомендации о цене ле-

карства можно дать руководителю фармацевтического предприятия?

9

	Вариант 7
1. Доказать, что функция	y = e4x + 2e−x	удовлетворяет уравнению
y′′′ −13y′ −12y = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) e2,003 ;

б)

sin 147o ;

в) arcctg 1,05.

3.

Найти n-ю производную функции

y = xln x .

4.

Составить многочлен Тейлора

10-го порядка для функции f (x) = ex2 +2x−1

в окрестности точки xo = −1.

5.

Доказать неравенство 1 − 2ln x ≤

1

при x > 0.

x2

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

а) f (x) = −

8

+ x;

б)

f (x) = 2x − 33

(x − 1)2

;

x4

в) f (x) =

ex

;

г)

f (x) = ln(x2 + 4x).

x −

2

7.Функция издержек имеет вид: C(x)= 200 + 10x + (12)x2. На начальном эта-

пе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние из- держки. В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 50 руб. за единицу. Определить оптимальное для фирмы значение выпускаемой про- дукции (предполагается, что весь выпущенный товар реализуется). На сколько следует увеличить выпуск товара по сравнению с начальным эта- пом? Как изменятся при этом средние и предельные издержки?

8. Функции спроса q	и предложения	s от цены p выражаются соответст-
венно уравнениями:	q = 100(10 −		), s = 2 p + 72. Найти эластичность
		p

спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 %.

10

Вариант 8

1. Доказать, что функция y = e

x

+ e−

x

удовлетворяет уравнению

xy′′ + 12 y′ − 14 y = 0 .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

;

б) sin 359o ;

в)

arcctg1,08.

16,08

3.

Найти n-ю производную функции

y = x n−1 e1 x .

4.

Составить многочлен Тейлора 15-го порядка для функции

f (x) = sin(9x 2)

в окрестности точки xo

= π 6 .

5.

Доказать неравенство ln(1+ x) >

x

при условии

x > 0 .

x + 1

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

x3

;

б) f (x) = x2 3 + (x − 2)2 3;

12(x − 2)

в) f (x) = 2x3e−x ;

г) f (x) = x2 − 2 ln x.

7.Зависимость между доходом фермерского хозяйства (ден. ед./день) и коли-

чеством его работников x имеет вид: R(x)= 2500x. Найти оптимальный размер фермерского хозяйства и его прибыль, если дневная зарплата рабо- чего равна 360 (ден. ед.), а прочие расходы хозяйства составляют 510 ln x

(ден. ед.).

8.Пусть производственная функция y = 4x выражает зависимость объема выпускаемой продукции y от численности персонала x . Сейчас на фирме работают 25 человек. Найдите средний и предельный объем выпускаемой продукции, эластичность выпуска по фондам (численности персонала). На сколько нужно увеличить численность персонала, чтобы объем выпускае-

мой продукции увеличился на 5 %?

11

	Вариант 9
1. Доказать, что функция	y = cos ex + sin ex удовлетворяет уравнению
y¢¢ - y¢ + ye2x = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 6

;

б) cos151o ;

в) arcctg(− 0,91).

67,84

3.

Найти n-ю производную функции y = cos4 x + sin4 x.

4.

Функцию

f (x) = ln(x2 - 7x +12)

разложить по формуле Тейлора в окрест-

ности точки

xo =1

до членов 20-го порядка.

x3

é

pù

5.

Доказать, что sin x ³ x -

при условии

x Î ê0,

ú .

6

ë

2û

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) arcctg(− 0,51);

б) f (x) =

ln

x

;

x

г) f (x) = e 1 x − x .

в) f (x) = 3 3

(x -1)2

- 2x + 2;

7.

Расходы x на рекламу влияют на валовой доход

R(x) по полученному эм-

пирически закону

R(x) = R(1 + 3

),

где

R – доход в отсутствие рекламы.

x

При каких значениях R

оптимальные расходы на рекламу могут превысить

весь доход в отсутствие рекламы?

8.

Зависимость спроса q от цены

p

за единицу товара задается формулой

q = q0e− p2

50. При каких значениях

p

спрос является эластичным? Какие

рекомендации о цене за единицу продукции можно дать при p = 4 и при

p = 6? Как изменится выручка при увеличении цены на 5 % в первом и во втором случае?

12