ПрименПроизвИсследФ-й

Вариант 20

1. Доказать, что функция y = 1 + e2x удовлетворяет уравнению y4 − y3 y′′ =1.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 7

;

б) sin 148o ;

в)

arctg1,02.

100

3.

Найти n-ю производную функции y = ln

1 + 2x

.

1 − 2x

4.

Для функции

f (x) = sin(2x + 3) в окрестности точки

xo = −1 составить

формулу Тейлора до членов 5-го порядка включительно.

5.

Доказать неравенство cos x + x sin x >1,

x (0; π 2).

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

3 − x2

а) f (x) =

;

б)

f (x) =1 − 3 x2 − 4x + 3 ;

x + 2

в) f (x) = arctg (1 x);

г)

f (x) = x2 ln2 x .

7.Бизнесмен Вася купил две автомашины по 20 тыс. долларов и перепродал их. При перепродаже первой автомашины прибыль составила p1 % , второй

– p2 % , причем p1 + p2 = 20 . О второй сделке Вася не сообщил в налого-

вую инспекцию, и с него взяли штраф, составляющий 25 p1 % прибыли, по-

лученной от продажи второго автомобиля. Выгодной ли оказалась сделка Васи? Каковы его максимально возможные потери?

8.Функция издержек фирмы имеет кубическую зависимость от объема про-

дукции q : c(x)= q3 − 80 q2 + 1 200q + 50 000. При каком объеме производ-

ства предельные и средние издержки фирмы совпадают? Найти коэффици- енты эластичности полных и средних издержек при данном объеме.

23

Вариант 21

1. Доказать, что функция y = x x+ 1 удовлетворяет уравнению 2(y′)2 = y′′(y −1) .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 3

;

б) ctg272o ;

в) arcsin 0,99 .

8,09

3.

Найти n-ю производную функции y = sin2 x .

1

4.

Для функции

f (x) =

написать формулу Маклорена до членов 4-го

1+ x2

порядка включительно.

x2

x3

5.

Доказать неравенство x −

x

2

< ln(1+ x) < x −

+

при x > 0.

2

2

3

6.

Исследовать функции и начертить их графики:

x2

б) f (x) =1 − 3

;

а) f (x) =

;

x2 + 4x + 3

x −

2

в) f (x) = x2e− x2 ;

г) f (x) = xln2 3 x .

7.Завод А нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен поселок В. Расстояние АС от завода до железной дороги равно a , а расстояние ВС по железной дороге равно b. Стоимость перевозок грузов по шоссе в k раз ( k >1) выше стоимости пе- ревозок по железной дороге. В какую точку D отрезка BC нужно провести шоссе от завода, чтобы стоимость перевозок грузов от завода А к поселку В была наименьшей?

8.Функция потребления некоторой страны имеет вид

C(x) = −21,12 + 0,35x + 0,36x56 ,

где x – совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению; в) эластичность потребления по доходу, если национальный доход составляет 32. Склонно ли общество данной страны при существующем потреблении и националь- ном доходе к прогрессу? Почему?

24

	Вариант 22
1. Доказать, что функция	y = 2ex2 2 -1	удовлетворяет уравнению

y′′ = xy′ + y +1.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) e0,1x(1− x),

x =1,05;

б)

ctg 31o ;

в) arcsin 0,08.

3.

Найти 10-ю производную функции y = x2 sin 3x .

4.

Разложить функцию f (x) =

ln

x

по формуле Тейлора в окрестности точки

x

xo =1 до членов 3-го порядка.

5.

Доказать, что

sin x

³ cos x

при условии 0 < x ≤ π 2.

x

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

4x

;

б)

f (x) = 3 x2 + 4x + 3;

(x

- 2)

2

x2

в) f (x) = 1 - e

− x

2

;

г)

f (x) =

.

ln

x

7.Пусть q – количество реализованного товара. Найдите максимум прибыли,

если издержки на производство товара и доход выражаются соответственно формулами: c(q) = q3 - 40q2 + 147q + 2000, r(q) = 90q -10q2 .

8.Даны две функции, моделирующие связь между величиной дохода x и ве- личиной спроса потребителей на товары Q :

	а) Q =	15(x −10)		;	б) Q =	15x(x + 20) .
		x + 20
						x2 +10

Найти коэффициенты эластичности этих функций при доходе x = 20. Что можно сказать о качестве приобретаемых товаров?

25

			Вариант 23
1. Доказать, что функция y =				1	(1− 2x)3 2	+ x удовлетворяет уравнению
				3
y	′′′	′′ 3	.
		= ( y )

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а) 4

;

б) ctg 46o ;

в) arcsin 0,44.

90

3.

Найти 50-ю производную функции

y = cos 4 x .

4.

Разложить функцию

f (x) = xe− x2

по формуле Тейлора в окрестности

точки xo = 2 до членов 5-го порядка.

5.

Доказать неравенство

arctg x ≤ π +

x − 1

при условии x > −1.

4

2

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

x − 2

−1;

б) f (x) = 3

;

4x(x −1)

(x + 3)2

в) f (x) = (x + 2)e1 x ;

г) f (x) = ln

x2 −1

.

7.Когда пароходы были еще несовершенны, считалось, что количество расхо- да в час топлива пропорционально кубу скорости парохода. При скорости 15 км/ч тратили 1,5 т угля в час по цене 18 руб. за тонну, а другие расходы составляли 16 руб. в час. Найти в рублях наименьшую стоимость прохожде- ния пути в 2 000 км.

8.Спрос q на некоторые товары народного потребления зависит от их стои-

мости p следующим образом: q =	400			− 6. При каком значении p спрос
		p

будет нейтральным (с единичной эластичностью)?

26

	Вариант 24
	y = (x +		)10
1. Доказать, что функция		1+ x2		удовлетворяет уравнению
(1 + x2 )y′′ + xy′ −100y = 0 .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

а)

10

;

б)

sin 35o ;

в)

ln (0,01+

).

1,01

1000

3.

Найти десятую производную функции

y =

ex

.

x

f (x) = ctg x

4.

Разложить функцию

по формуле Тейлора

в окрестности точ-

ки xo = π 2 до членов третьего порядка.

5.

Доказать неравенство

x2 −1

≤

3

+

16

ln

x

при

x >1.

x2 + 1

5

25

2

6.

Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) = −1+

x +1

;

б) f (x) = x2 3 e− x;

(x −1)

2

г) f (x) = x ln2

x

.

в) f (x) = −33

(x + 3)2

+ x;

7.В степи, на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии точки расположен райцентр. Поисковая партия отправля- ет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следова- ния курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе со скоростью 10 км/ч?

8.Зависимость между объемом выпуска готовой продукции y млн руб. и

объемом производственных фондов x млн руб. выражается уравнением

y = 0,65x − 0,4x − 6,2. Найти эластичность выпуска продукции для пред-

приятия, имеющего фонды в размере 36 млн руб.

27

Вариант 25

1. Доказать, что функция y = a tgax −1 удовлетворяет уравнению

a2 + y2 + 2xax − x2 y′ = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

	а) 5				б)	arcsin 0,09;	в) 4		,	x =1,02.
		1,032	;					2x − sin(πx 2)
3.	Найти пятую производную функции y = ex / 2 sin 2x .
4.	Разложить функцию				f (x) = sin3 x по целым неотрицательным степеням пе-
	ременной			x .
5.	Вычислить			расстояние		от начала	координат до нормали			к кривой

y = e2x + x2 , проведенной через точку с абсциссой x = 0.

6. Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =

x2 (x −1)

;

б) f (x) = arcsin

4x

;

+ x2

(x +1)2

4

в) f (x) = 3

e− x ;

г) f (x) =

ln

x

.

x2

x

7.Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скоро- сти. Известно, что при скорости 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути окажется наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?

8.Используя понятие дифференциала, определить, на сколько процентов из-

менится величина степени 5,1 4,1, если ее основание увеличить на 3 %.

28

					Вариант 26
1. Доказать,					что функция y = 2e3x - e−3x удовлетворяет уравнению
y	′	y	′′		′′′
				= y y .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

	а) 330,2 ;	б) lg11;	в) e1− x2 при x =1,05.
3.	Найти 10-ю производную функции y = x3 ln x.
4.	Разложить функцию	f (x) = sin2 (x 2)	по целым неотрицательным степе-
	ням переменной x .
5.	Доказать неравенство	2x + p x2
		> arctg x при x > 0.
		2x2 + 2

6.Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =	x(x − 1)		;		б) f (x) = x2 e− x ;
	(x +1)2
в) f (x) = 3					г) f (x) =		ln x.
		x(x - 3)2		;
						x
7. Функция издержек имеет вид: C(x)= íì					x 5, x £ 20;				При какой
				îx 5 + (x - 20)2 8, x > 20.
цене p за единицу товара оптимальное значение выпуска								xопт =30 ?

8.Зависимость между объемом произведенной продукции Q и численно-

стью персонала L имеет вид: Q =108 + 6L2 - 0,25L3. Требуется: а) опре-

делить численность персонала L , при которой выпуск Q достигает мак-

симального значения; б) определить численность персонала L , при кото- рой средняя производительность труда становится максимальной; в) найти интервал изменения L , на котором увеличение численности персонала неэффективно.

29

Вариант 27

1. Доказать, что функция y = 415 x2 x удовлетворяет уравнению

2x y′′′ = y′′ .

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

	а) 301 3 ;	б) ln tg 45o 15′;	в) arctg 1,07.
3.	Найти 5-ю производную функции y = x2 e 5x .
4.	Разложить функцию	f (x) = ex2 по формуле Тейлора порядка 5 в точке
	x0 = 0 .
5.	Доказать неравенство	ex >1+ ln (1 + x) при	x > 0.

6.Исследовать функции и построить их графики:

	а) f (x) = 3x4 + 1;				б)	f (x) = (x −1) e−x+1;
			x3
	в)	f (x) = 3		(x −1);	г)	f (x) = arcsin	2	− x	.
			x
						1		+ x
7.	Зависимость между издержками производства C и и объемом продукции
	Q	выражается функцией			C(Q)= 30Q − 0,08Q3. Определить средние и
	предельные издержки при объеме продукции: а) Q = 5 ед., б) Q = 10 ед.
8.	Для производственной функции y = x2 arctg x найти предельную эффек-
	тивность ресурса при x =1.

30

Вариант 28

1. Доказать, что функция

y = xln x − x удовлетворяет уравнению

y′′ xln x = y′.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

	а)	16,2	;	б) tg 46o;	в) lg 11.
3.	Найти производную 3-го порядка функции y = x2 sin 2 x .
4.	Представить функцию			f (x) = ex 2 + x	формулой Тейлора порядка 4 в ок-
	рестности точки x0 = 0 .
5.	Доказать, что уравнение			x3 − 4x2 + 8x − 27 = 0 имеет единственный дей-
	ствительный корень.

6.Исследовать функции и построить их графики:

а)

f (x) =

x2

+ 3x

;

б)

f (x) =

1

;

(x

−1)

2

1 x

1

+ e

f (x) = 2x − 33

;

г)

f (x) =ln (e + x2 ).

в)

2x2

7. Затраты

на

производство

x

единиц

продукции

равны

C(x)= 3x2 + 200x + 6000, цена продукции – p(x)= 520 − 5x . Найти опти-

мальный объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

8.Функции спроса q и предложения s на некоторый товар от его цены p

имеют соответственно вид q = 600 − 0,2 p, s = 200 + 0,3p. Найти эла-

стичность спроса в точке равновесной цены. Как изменятся равновесная цена, спрос и эластичность спроса при уменьшении предложения товара на рынке на 20 %?

31

	Вариант 29
1. Доказать, что функция	y = 1− 2ex + e2x	удовлетворяет уравнению
y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0.

2.Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна- чение выражений:

	а) 3	8,01	;		б) cos 151o;	в) lg 101.
	y =ln (x +				). Найти y′′ .
3.				1 + x2
4.	Представить функцию f (x) = ln(1 + x2 )					формулой Тейлора шестого по-
	рядка в окрестности точки 0.
5.	При каких значениях параметра a функция y = a x + 3sin x + 4cos x воз-
	растает на всей числовой прямой?

6.Исследовать функции и построить их графики:

а) f (x) =	2x − 5		;		б) f (x) = xe 1 x;
	(x − 2)2
				;	г)	f (x) = arctg	1	− x	.
в) f (x) =		x2 − 5x + 4
						1		+ x
7. Объем реализации y					продукции зависит от цены p : y = 100 − 4 p . При
этом издержки определяются формулой						C(y)= (y − 20)2 8 . Найти опти-

мальный объем производства и соответствующие ему значения прибыли и издержек.

8.Найти темп роста объема выпуска продукции для производственной функ-

ции y = x2 arctg x при x =1.

32