- •1. Дискретное пространство элементарных событий. Операции над событиями.
- •2.1. Классическое определение вероятности.
- •2.2. Свойства вероятности.
- •3.1. Произвольное пространство элементарных событий.
- •3.2. Алгебра и σ - алгебра множеств.
- •3.3. Борелевские множества.
- •3.4. Вероятность.
- •4.1. Геометрическая вероятность.
- •5.1. Условные вероятности.
- •5.2. Независимые события и их свойства.
- •6.1. Формула полной вероятности.
- •6.2. Формула Бейеса.
- •7.1. Повторяющиеся испытания.
- •7.2. Формула Бернулли.
- •8.1. Случайные величины и функции распределения.
- •8.2. Свойства функции распределения.
- •9.1. Дискретные случайные величины.
- •9.2. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределения, распределения Пуассона.
- •10.1. Абсолютно-непрерывные случайные величины.
- •10.2. Равномерное распределение, нормальное распределение, показательное распределение.
- •11.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
- •12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •13.1. Нормированные случайные величины.
- •13.2. Коэффициент корреляции.
- •14.1. Неравенства Чебышева.
- •15.1. Закон больших чисел.
- •16.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •17.1. Теорема Пуассона.
- •18.1. Характеристические функции и их свойства.
- •19.1. Сходимость случайных величин и функций распределения.
- •20.1. Центральная предельная теорема.
- •21.1. Основные задачи математической статистики.
- •21.2. Выборка и вариационный ряд, полигон и гистограмма частот.
- •22.1. Эмпирическая функция распределения.
- •22.2. Эмпирические моменты.
- •22.3. Метод условных вариант.
- •23.1. Точечные оценки параметров распределения.
- •24.1. Метод моментов определения параметров распределения.
- •25.1. Метод максимального правдоподобия нахождения параметров распределения.
- •26.1. Некоторые распределения связанные с нормальным распределением: Пирсона, Стьюдента.
- •27.1. Интервальные оценки параметров распределения.
- •27.2. Нахождение доверительных интервалов для распределений Пуассона, биномиального, нормального.
- •28.1. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •28.2. Ошибки первого и второго рода.
- •29.1. Оптимальный критерий.
- •29.2. Теорема Неймана-Пирсона.
- •30.1. Непараметрические критерии.
- •30.2. Критерий Колмогорова.
- •31.1. Критерий Пирсона.
- •31.2. Вычисление теоретических частот для различных видов распределений.
- •32.1. Элементы теории корреляции.
- •32.2. Понятие корреляционной зависимости.
- •32.3. Точечные оценки для условных математических ожиданий и коэффициента корреляции.
- •33.1. Цепи Маркова.
- •33.2. Матрица перехода.
- •34.1. Классификация состояний цепи Маркова.
- •34.2. Теорема солидарности.
- •35.1. Теорема о предельных вероятностях.
- •36.1. Случайные процессы.
- •36.2. Марковские процессы со счетным множеством состояний.
- •37.1. Локально-регулярные марковские процессы.
- •37.2. Система уравнений Колмогорова.
- •38.1. Применение теории марковских процессов к задачам теории массового обслуживания.
- •39.1. Процесс Пуассона.
6.1. Формула полной вероятности.
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …,Bn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности PB1(A),PB2(A), …,PBn(A) события A. Как найти вероятность события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … +P(Bn)PBn(A).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
6.2. Формула Бейеса.
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …,Bn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называютгипотезами. Вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:
P(A) =P(B1)PB1(A) +P(B2)PB2(A) + … +P(Bn)PBn(A).
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
PA(B1),PA(B2), …,PA(Bn).
Найдем сначала условную вероятность PA(B1). По теореме умножения имеем
P(AB1) =P(A)PA(B1) =P(B1)PB1(A).
Отсюда
PA(B) = (P(B1)PB1(A))/P(A).
Заменив здесьP(A) по формуле полной вероятности, получим
PA(B1) = (P(B1)PB1(A))/(P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … +P(Bn)PBn(A)).
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Bi(i = 1, 2, …,n) может быть вычислена по формуле
PA(Bi) = (P(Bi)PBi(A))/(P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … +P(Bn)PBn(A)).
Полученные формулы называют формулами Бейеса(по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итого которого появилось событиеA.
7.
7.1. Повторяющиеся испытания.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно событияA.
В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события,понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называютпростыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появится. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же, а именно равна p. Следовательно, вероятность «ненаступления» события в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 – p.
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, что бы событие A повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события A три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: AAA~A, AA~AA, A~AAA, ~AAAA.
Искомую вероятность обозначим Pn(k). Например, символ P5(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью, так называемой формулы Бернулли.