11.1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

M(X) = .

Замечание.Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, можно вычислить по формуле

M(X) = .

Математическое ожидание приближенно равно(тем точнее, чем больше число испытаний)среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C) =C.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX) =CM(X).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.

12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется выяснить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X–M(X)], для любой случайной величины равно нулю.

Поэтому чаще всего идут по другому пути – используют для вычисления дисперсию.

Дисперсией(рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

D(C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно возводить за знак дисперсии возводя его в квадрат:

D(CX) =C²D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X–Y) =D(X) +D(Y).

13.

13.1. Нормированные случайные величины.

Нормированная случайная величинаимеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.

Нормированная случайная величинаV – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σ

V=X/σ.

Среднее квадратичное отклонение– это квадратный корень из дисперсии

,

Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величиныVвыражаются через характеристики X так:

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.

Для функции распределения F_V(x) и плотности распределения f_V(x) имеем:

F_V(x) =F(σx), f_V(x) =σf(σx),

где F(x)– функция распределения исходной случайной величиныХ, аf(x)– ее плотность вероятности.