Постоянный электрический ток.

20. Сила постоянного тока:

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

21. Плотность тока:

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью направленного движения заряженных частиц:

где Q – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.

22. Закон Ома:

для участка цепи, не содержащего ЭДС, где₁‑₂= U разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;

для участка цепи, содержащего ЭДС, где– ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротивление цепи; R_i– внутреннее сопротивление цепи.

23. Сопротивление R и проводимость G проводника:

где – удельное сопротивление;– удельная проводимость;l– длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

24. Сопротивление системы проводников:

при последовательном соединении;

при параллельном соединении, где Ri – сопротивление i-го проводника.

25. Работа тока:

A = IUt, A = I²Rt, .

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.

26. Мощность тока:

P = IU, P = I²R, P = U²/R.

27. Закон Джоуля-Ленца:

Q = I²Rt.

В случае переменного тока:

28. Закон Ома в дифференциальной форме:

где – удельная проводимость;– напряженность электрического поля;– плотность тока.

29. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

где w – удельная тепловая мощность электрического тока.

Примеры решения задач.

Пример 1. Два точечных заряда 9Q и –Q закреплены на расстоянииl= 50 см друг от друга. Третий заряд Q₁, может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q₁, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q₁равновесие будет устойчивым?

Решение. Заряд Q₁находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд Q₁должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 6) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q₁– положительный.

Рис. 6

На участке I (рис. 6а) на заряд Q₁будут действовать две противоположно направленные силы: F₁и F₂. Сила F₁, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы F₂, действующей со стороны заряда –Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Q₁, чем меньший (по модулю) заряд - Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 6б) обе силы F₁, и F₂направлены в одну сторону – к заряду –Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 6в) силы F₁, и F₂направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но, в отличие от него, меньший заряд –Q всегда находится ближе к заряду Q₁, чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F₁, и F₂будут одинаковы по модулю, т. е.

(1)

Пусть x и l+ x – расстояния от меньшего и большего зарядов до заряда Q₁. Выражая в равенстве (1) F₁и F₂в соответствии с законом Кулона, получим :

9QQ₁/(l+ х)²= Q Q₁/x₂, илиl+ х = ± 3х,

откуда:

Корень x₂не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F₁и F₂хотя и равны по модулю, но сонаправлены). Определим знак заряда Q₁, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смешении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда Q₁в двух случаях: когда заряд положителен и когда отрицателен.

Если заряд Q₁положителен, то при смещении его влево обе силы F₁и F₂возрастают. Так как сила F₁возрастает медленнее, то результирующая сила, действующая на заряд Q₁, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q₁будет удаляться от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q₁вправо. Сила F₂убывает быстрее, чем F₁. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда, равновесие является неустойчивым.

Если заряд Q₁отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F₁и F₂, но сила F₁возрастает медленнее, чем F₂, т. е. |F₂| > |F₁|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Q_lвозвращается к положению равновесия. При смещении Q₁вправо сила F₂убывает быстрее, чем F₁, т. е. |F₁|>|F₂|, результирующая сила направлена влево и заряд Q₁опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q₁несущественна.

Пример 2.Три точечных заряда Q₁= Q₂= Q₃= 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Рис. 7

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 7):

(1)

где – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁заряды Q₂, Q₃, Q₄;– равнодействующая сил.

Так как силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F – F₄ = 0, откуда F₄ = F. Выразив в последнем равенстве F через F₂и F₃и учитывая, что F₃=F₂, получим:

(2)

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₁= Q₂= Q₃, найдем:

(3)

откуда:

(4)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что:

(5)

С учетом этого формула (4) примет вид:

Произведем вычисления:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 3. Два одинаковых заряженных маленьких шарика, подвешенных на тонких нитях одинаковой длины, находятся в керосине. Какова должна быть плотность_ш шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же ?

Плотность керосина _к = 0.810³кг/м³; относительная диэлектрическая проницаемость= 2.

Рис. 8

Решение. Рассмотрим взаимодействие между двумя шариками в воздухе. Система шариков симметрична, поэтому достаточно рассмотреть силы, действующие на один из шариков. На шарик действует сила тяжести, сила Кулонаи сила натяжения нити. Так как шарик находится в равновесии, то:

(1)

Проектируя все векторы на оси X и Y, получим соответственно:

F – Tsin  = 0. (2)

mg – Tcos  = 0. (3)

Исключая T из этих выражений получим:

(4)

Рассмотрим взаимодействие между двумя шариками в керосине. На шарик в керосине будет действовать дополнительно сила Архимеда, поэтому

(5)

где выталкивающая сила Архимеда:

(V_ш– объем шарика). (6)

Следовательно,

(7)

Учитывая, что tg = tg_кполучим:

(8)

Откуда:

(9)

Так как:

(10)

т.е.

Пример 4. На тонком стержне длинной 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q₁= 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотностьзаряда на стержне.

Рис. 9

Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q₁зависит от линейной плотностизаряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне (см. рис. 9) малый участок dr с зарядом dQ =dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно закону Кулона:

(1)

Интегрируя это выражение в пределах от a до a + l, получаем:

(2)

откуда:

(3)

Произведем вычисления:

Пример 5. Электростатическое поле создается бесконечно длинным цилиндром радиусом R=7мм, равномерно заряженным с линейной плотностью= 15 нКл/м. Определить: 1) напряженность поля E в точках, лежащих от оси цилиндра на расстояниях r₁= 5 мм и r₂= 1 см; 2) разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r₃= 1 см и r₄= 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Рис. 10

Решение. Воспользуемся теоремой Гаусса:

(1)

взяв в качестве вспомогательной замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиусом r и высотой l(рис. 10).

Так как r₁< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не имеет, поэтому в этой области= 0.

Рассмотрим случай r₂> R. Поток векторасквозь торцы коаксиального цилиндра равен 0, т.к. торцы параллельны линиям напряженности. Сквозь боковую поверхность_E = 2r₂ lE₂. По теореме Гаусса:

(2)

Так как = –grad, то данная формула для поля с осевой симметрией запишется в виде:

(3)

Подставив сюда выражение для напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром, получим:

(4)

Проинтегрировав это выражение, найдем искомую разность потенциалов:

(5)

Вычисляя получаем:

Пример 6.Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью₁=210⁶ м/с, чтобы его скорость возросла в n = 3 раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, применяя закон сохранения энергии. В данном случае работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:

(1)

где Т₁и Т₂– кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля.

С другой стороны:

A=e U, (2)

где e – заряд электрона, U – разность потенциалов.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим:

(3)

где отсюда искомая разность потенциалов:

(4)

Производим вычисления:

Пример 7.Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: стекла толщиной d₁= 0.1 см и слоя парафина толщиной d₂= 0.2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 200 В. Определить падение потенциала в каждом из слоев и напряженность поля в каждом слое диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость стекла₁= 6, парафина₂= 2.

Рис. 11

Решение. Рассмотрим конденсатор емкостью С как систему двух конденсаторов С₁и С₂, соединенных последовательно. Для последовательно соединенных конденсаторов общая емкость:

Заряд Q₁ на первом конденсаторе равен заряду Q₂и равен общему заряду Q. Q₁= Q₂= Q, из этого следует, что:

C₁U₁=C₂U₂=CU. (1)

Подставляя значение общей емкости конденсатора, получим:

(2)

Емкость плоского конденсатора:

(3)

где S – площадь пластин, d – расстояние между пластинами.

Из равенства (2) с учетом (3) следует, что:

Напряженность поля:

Пример 8. Батарея элементов, замкнутая на сопротивление R₁ =2 Ом дает силу тока I₁ = 1.6 А. Та же батарея, замкнутая на сопротивление R₂ = 10 Ом, дает силу тока I₂= 2 А. Найти потери мощности P внутри батареи элементов и КПД батареив обоих случаях.

Решение.Для нахождения потери мощности P внутри батареи элементов необходимо знать внутреннее сопротивление батареи r, т.к. P = I²r, а для определения КПД батареи в первом и во втором случае необходимо знать(ЭДС) батареи. Для нахождения этих величин используем закон Ома для полной цепи.

В первом случае: (1)

Решая совместно эти два равенства, получим:

(2)

Мощность, которая теряется внутри источника в первом случае:

(3)

Потери мощности во втором случае:

(4)

КПД элемента:

В первом случае:

Во втором случае:

Произведя вычисления, получим: P₁= 7,68 Вт; P₂= 12 Вт;₁= 40%;₂= 25%.

Контрольная работа № 3

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Таблица вариантов.

Варианты	Номера задач
0	310	320	330	340	350	360	370	380
1	301	311	321	331	341	351	361	371
2	302	312	322	332	342	352	362	372
3	303	313	323	333	343	353	363	373
4	304	314	324	334	344	354	364	374
5	305	^315	325	3 3 5	3 4 5	355	365	375
6	306	316	326	336	346	356	366	376
7	307	317	327	337	347	357	367	377
8	308	318	328	338	348	358	368	378
9	309	319	329	339	349	359	369	379