Примеры решения задач.

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных проводника D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А, отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁= 5 см, от другого – r₂= 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукцийиполей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически (рис. 19):

Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов:

(1)

где –угол между векторамии

Магнитные индукции ивыражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁и r₂от проводов до точки А:

(2)

Подставляя выражения В₁и В₂в формулу (1) и вынося₀I/(2) за знак корня, получаем:

Рис. 19

(3)

Вычислим cos . Заметив, что=DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем:

(4)

где d – расстояние между проводниками. Отсюда:

(5)

Подставим в формулу (3) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 2. По тонкому проводящему кольцу радиусом R=10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукциюв точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

(1)

где – магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока Idlв точке, определяемой радиус – вектором.

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус вектор(рис. 20). Векторнаправим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция В в точке А определяется интегрированием:

(2)

где интегрирование ведется по всем элементам dlкольца.

Разложим вектор на две составляющие:, перпендикулярную плоскости кольца, и, параллельную плоскости кольца, т.е.

(3)

Рис. 20

Тогда

(4)

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dот различных элементов dlсонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

(5)

где dB= dBcosи

(6)

(поскольку перпендикулярени, следовательно, sin= 1). Таким образом,

(7)

После сокращения на 2и замены cosна R/r получим:

(8)

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:

(9)

Тогда

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

или В = 62.8 мкТл. Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рисунке) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 3. По двум параллельным прямым проводникам длинойl= 2.5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаи­модействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой проводник.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I₁и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле (рис. 21).

Рис. 21

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис.) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции . Модуль магнитной индукции В₁определяется соотношением:

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I₂длиной dlдействует в магнитном поле сила:

(2)

Так как вектор перпендикулярен вектору, то:

(3)

и тогда:

(4)

Подставив в это выражение В₁согласно (1), получим:

(5)

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

(6)

Заметив, что I₁= I₂= I, получим:

(7)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

Сила сонаправлена с силой(рис.) и определяется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 4. Протон влетает со скоростью= 107 м/с в однородное магнитное поле под углом 30к направлению линий индукции. Определить радиус R спиральной линии, по которой будет двигаться протон, и ее шаг, если индукция магнитного поля В = 1 Тл. Релятивистский эффект не учитывать.

Рис. 22

Решение. Разложим скоростьна две составляющие:, перпендикулярную линиям индукции, и, параллельную им (рис. 22). Сила Лоренцабудет непрерывно изменять направление скорости, сообщая протону в плоскости, перпендикулярной полю, нормальное ускорение. В результате протон будет описывать в этой плоскости окружность радиуса R. Поскольку сила Лоренца играет роль центростремительной силы, можно записать:

q_B = m_²/R, откуда R = m_qB = msin/qB, (1)

где _=sin. Из таблицы находим для протона m = 1.6710^-27кг, q = 1.610^-19Кл, тогда:

R = 1.6710^-2710⁷0.5/1.610^-191 = 5.210^-2(м). (2)

Вдоль поля протон будет двигаться с постоянной скоростью_II=cos. В результате наложения поступательного движения на круговое протон будет описывать в пространстве винтовую линию. Шагом винтовой линии называется расстояние, на которое переместится протон вдоль поля за один оборот.

Очевидно, h = _IIT =cosT, где Т – период обращения протона по окружности радиусом R. Этот период равен:

T = 2R/_ = 2R/sin . (3)

Тогда h =  cos2R/sin  = 2R ctg ;

h = 23.145.210^‑21.7 = 0.55 (м).

Пример 5. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1)₁= 90; 2)₂= 3. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Рис. 23

Решение. Как известно на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 23):

М = р_mВsin, (1)

где p_m= IS = Ia²– магнитный момент контура; В – магнитная индукция;– угол между векторами(направлен по нормали к контуру) и.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, = 0, т.е. векторыисонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота, то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме:

dA = Md. (2)

Учитывая формулу (1), получаем:

dA=IВa² sin d.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(3)

Работа при повороте на угол = 90

(4)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, B = 1 Тл, а = 10 см = 0.1 м ) и подставим в (4):

A1 = 1001(0.1)²Дж = 1 Дж. (5)

Работа при повороте на угол ₂=3. В этом случае, учитывая, что угол₂мал, заменим в выражении (3) sin:

(6)

Выразим угол ₂в радианах. После подстановки числовых значений величин в (6) найдем:

Пример 6. Кольцо из медного провода массой m = 20 г помещено в однородное магнитное поле с индукцией В = 0.3 Тл так, что плоскость кольца составляет угол= 45с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по кольцу, если снять магнитное поле.

Решение. При изменении магнитного поля заряд, который пройдет по кольцу будет равен (рис. 24):

dQ = Idt. (1)

Рис. 24

По закону Ома ток, возникающий в кольце:

(2)

где R – сопротивление кольца.

(3)

по закону Фарадея для электромагнитной индукции.

Поэтому а следовательно,(4)

Полный заряд (5)

После снятия магнитного поля Ф₂= 0, а Ф₁= BSsin. (6)

Тогда (7)

где знак Q связан с направлением индукционного тока в кольце, S – площадь, охватываемая данным кольцом. S = r².

Сопротивление медного кольца:

(8)

где – удельное сопротивление меди, S_M– площадь сечения медного кольца,l– длина кольца (l= 2r), r – радиус кольца.

m=_MV=_MS_Mr; (9)

отсюда где_М– плотность меди.

Подставляя полученные выражения в формулу для заряда получим:

(10)

Выразим все величины в единицах системы СИ и произведем вычисления:

(11)

Пример 7. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплениеми силой тока I соотношением:

 = LI. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

 = NФ. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида:

L = NФ/I. (3)

Энергия магнитного поля соленоида:

(4)

Выразив L согласно (3), получим:

(5)

Подставим в формулы (3) и (5) значения физических величин и произведем вычисления:

Варианты	Номера задач
0	410	420	430	440	450	460	470	480
1	401	411	421	431	441	451	461	471
2	402	412	422	432	442	452	462	472
3	403	413	423	433	443	453	463	473
4	404	414	424	434	444	454	464	474
5	405	415	425	435	445	455	465	475
6	406	416	426	436	446	456	466	476
7	407	417	427	437	447	457	467	477
8	408	418	428	438	448	458	468	478
9	409	419	429	439	449	459	469	479