3.4 Описание функций, реализуемых в программном обеспечении работы

Возможности, реализуемые с помощью программного обеспечения работы, могут быть изучены при вызове окна ПОМОЩЬ основного меню.

В окнах расчетов, вызова таблиц и графиков реализуются функции:

n j

x j - расчет ∑xij

n j , задается значение nj;

i=1

~

n j

2

-

расчет

∑(xij

− x j)

/[n j(n j

−1)] , задаются значения nj, x j;

σx j

i=1

2

′

′′

2

~

2

~2

3

~

2

3

~ 2

- расчет (∑x j / σ

)

(

∑1/ σ

) при m=2 и (∑x j / σ

)

(∑1/ σ

)

x , х

x j

x j

x j

x j

j=1

j=1

j=1

j=1

~

~

~

при m=3, задаются значения

x1,

x2 ,

;

x3 , σx

,σx

,σx

1

2

3

2

~′

~′′

1

~2

)

при m=2 и 1

3

~ 2

при m=3, задаются

σx ,

σx - расчет

(∑1/ σx j

( ∑1/ σx j )

~

~

~

j=1

j=1

,

;

значения, σx

σx

,σx

1

2

3

2

2

n′0 −1

n′0 −1=m2

1

1

- расчет

∑

=4

∑

при m=2

(задаются значения

j=1

n j −1

j=1 n j −1

n1, n2) и n′0 −1 = m2

3

1

3

1

∑

=9

∑

при m=3 (задаются значения n1,

n2

j=1n j −1

j=1n j −1

n3);

t 2 − t1

t1 (n 2 −1) − t 2 (n1 −1)

tp -

расчет

(n′

−1) +

,

задаются значения

(n 2 −1) − (n1 −1)

0

(n 2 −1) − (n1 −1)

n1−1; t1; n2−1; t2; n′0 −1;

c=a b - расчет a b, задаются значения a, b;

tp - определение коэффициента Стьюдента из числа степеней свободы k=n−1 и доверительной вероятности P.

3.5Подготовка к выполнению работы

3.5.1Изучить методы и алгоритмы обработки неравнорассеянных рядов (рекомендуемая литература, настоящий лабораторный практикум).

3.5.2Ответить на контрольные вопросы.

3.5.3Сделать заготовку отчета (один на бригаду) по лабораторной работе в соответствии с требованиями п.5 настоящего лабораторного практикума.

3.6Лабораторное задание

3.6.1Осуществить обработку двух неравнорассеянных рядов наблюдений.

3.6.2Осуществить обработку трех неравнорассеянных рядов наблюдений.

32

3.7 Порядок выполнения 3.7.1 Выполнить измерения в соответствии с 3.6.1 задания по лабораторной

работе, используя алгоритм, приведенный на рисунке 3.1.

3.7.1.1Исходные данные для обработки двух рядов наблюдений приведены

втаблице 3.1. В ней n1, n2 - число результатов наблюдений первого и второго рядов соответственно; P - доверительная вероятность.

Таблица 3.1

Номер бригады	n1	n2	P
1	18	16	0,99
2	12	10	0,95
3	14	12	0,99
4	16	20	0,95

3.7.1.2 Установить в окнах «Пункт»-«Пункт №1», «Вариант»-«Вариант №1». Используя окно «Данные», снять n1 результатов наблюдений емкости (первый массив) и n2 результатов наблюдений емкости (второй массив). Рассчитать зна-

чения x1 и x2 ,

σx и σx . Значения

x11....,хn11,

х12....хn22 , х1,

х2

, σx

и σx

~

~

~

~

1

2

1

2

занести в таблицы 3.2 и 3.3.

Таблица 3.2

Таблица 3.3

Размерность, пФ

Размерность, пФ

~

~

х11

....

хn11

х1

σх1

х12

....

хn22

х2

σх2

~

3.7.1.3 Рассчитать значения х′ и σ′х и занести в таблицу 3.4.

Таблица 3.4

x′, пФ

~

n0

−1

n′0 −1

n1−1

t1

n2−1

t2

tp

σ′x , пФ

3.7.1.4 Определить значение tp. В случае n0 ≤30 и нецелом значении n′0 −1 использовать линейную интерполяцию для нахождения tp. В таблицу 3.4 зане-

~	−1, tp и, при необходимости, n′0	−1; n1−1; t1; n2−1, t2.
сти значения x′, σ′x , n0

3.7.1.5 Рассчитать доверительную границу случайной погрешности & , записать & и результат измерения в таблицу 3.5.

Таблица 3.5

& , пФ	Результат измерения

33

3.7.2 Выполнить измерения в соответствии с 3.6.2 задания по лабораторной работе, используя алгоритм, приведенный на рисунке 3.1.

3.7.2.1Исходные данные для обработки трех рядов наблюдений приведены

втаблице 3.6. В ней n1, n2, n3 - число результатов наблюдений первого, второго

итретьего рядов соответственно; P – доверительная вероятность.

Таблица 3.6

Номер бригады	n1	n2	n3	P
1	8	7	9	0,95
2	16	18	20	0,99
3	12	20	16	0,95
4	9	6	8	0,99

3.7.2.2 Установить в окнах «Пункт»-«Пункт №2», «Вариант»-«Вариант №2». Обработка результатов наблюдений осуществляется с тремя массивами и аналогична обработке согласно 3.7.1 (при этом используются аналогичные таблицы). В 3.7.1.2 добавляется таблица 3.7 для третьего ряда наблюдений.

Таблица 3.7

x13			…	Размерность, мГ			x3		~
					x n33
									σx3
3.8		Контрольные вопросы
1	Какие ряды наблюдений называются неравнорассеянными?
2	Приведите алгоритм обработки неравнорассеянных рядов наблюдений.

34

4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТМ.4 «ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ»

4.1 Цель работы

4.1.1Изучение методов и алгоритмов обработки результатов косвенных измерений.

4.1.2Приобретение практических навыков работы на персональном компьютере при обработке результатов косвенных измерений.

4.2 Краткие сведения из теории Результат косвенного измерения находят по данным прямых измерений не-

скольких величин (аргументов), связанных известной функциональной зависимостью с искомым результатом.

Вначале рассмотрим простейший случай, когда искомая величина y определяется как сумма двух величин х1 и х2:

y = х1 + х2.

(4.1)

Поскольку результаты прямых измерений величин х1 и х2 (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно переписать в виде

y + λy = x1 + λx1 + x2 +λx2 ,

(4.2)

где x1, x2 - средние арифметические (или средние взвешенные), полученные

при обработке результатов прямых измерений величин х1, х2; λx1 , λx2 - случайные погрешности этих величин;

y, λy - оценка истинного значения косвенно измеряемой величины и ее слу-

чайная погрешность.

Из уравнения (4.2) непосредственно вытекает справедливость двух последних равенств:

y = x1 + x2 ; λy = λx1 + λx2 ,

т.е. оценкой истинного значения косвенно измеряемой величины должна служить сумма оценок истинных значений исходных величин, случайные погрешности которых складываются.

Математическое ожидание оценки y равно сумме истинных значений вели-

чин x1, x2 , и, следовательно, является истинным значением измеряемой вели-

чины y:	M[y]= M[x1 + x2 ]= M[x1]+ M[x2 ]						(4.3)
и ее дисперсия составляет:
σ2y = D[y] = D[λy ] = D[λx1 + λx 2 ] = M[(λx1 + λx 2 )2 ] = M[λ2x1					+ λ2x 2	+ 2λx1	λx2 ] =
= M[λ2x1	] + M[λ2x 2	] + 2M[λx1 λx 2 ] = σ2x1	+ σ2x 2	+ 2M[λx1 λx2 ].

Математическое ожидание произведения случайных погрешностей называется корреляционным моментом и определяет степень «тесноты» линейной

35

зависимости между погрешностями. Вместо корреляционного момента часто пользуются безразмерной величиной - коэффициентом корреляции:

rx1x2 = Mσ[λxσ1λx2 ] . (4.4) x1 x2

Отсюда в частности следует, что коэффициент корреляции между погрешностями λx1 и λx2 средних арифметических равен коэффициенту корреляции

между погрешностями результатов отдельных измерений величин х1, х2:

rx1x2 = rx1x2 .

С учетом коэффициента корреляции с.к.о. результата косвенных измерений, т.е. оценки истинного значения косвенно измеряемой величины, будет

σ	y	=	σ2	+ σ2	+ 2r	σ	x1	σ	x 2	.	(4.5)
			x1	x 2	x1x 2

Если погрешности измерения величин x1, x2 не коррелированы, то выражение (4.5) упрощается:

σ2y = σ2x1

+σ2x 2 .

(4.6)

В тех случаях, когда теоретические с.к.о. результатов прямых измерений

~

неизвестны, определяется оценка σy с.к.о. результата косвенных измерений

через оценки с.к.о. σ~x1 и σ~x 2 :

~

~2

~

2

~

~

~

σy =

σx1

+ σx2

+ 2 rx1х

2 σx1

σx2 .

(4.7)

Оценки коэффициента корреляции

~

rx1х2 вычисляют на основании резуль-

татов прямых измерений исходных величин:

~

1

nmin

∑(xi1 − x1)(xi2 − x2 ),

(4.8)

rx1x2 =

(nmin −1)

~

~

σx

1

σx

2

i=1

где nmin − наименьшее из чисел наблюдений n1

и n2 .

~

> 0, одна из погрешностей

При положительной корреляции, т.е. когда rx1x 2

имеет тенденцию возрастать при увеличении другой, если же корреляция отри-
цательна, то	~		< 0 и погрешность измерения одной величины обнаруживает
	rx x	2
	1

тенденцию к уменьшению при увеличении погрешности измерения другой величины. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале −1≤~rx1х2 ≤+1. Если ~rx1x2 =0, то погрешности измерения не коррелированы.

О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором в координатах х1, х2 изображены пары последовательно получаемых результатов измерения

величин х1, х2.

На рисунке 4.1 изображены случаи совместного распределения результатов измерения при положительной (рисунок 4.1,a) и отрицательной (рисунок 4.1,б) корреляции. Результаты измерений на рисунке 4.1,в не коррелированы.

36

Чаще всего наличия корреляции следует ожидать в тех случаях, когда обе величины измеряются одновременно однотипными средствами измерений, причем измерения внешних влияющих величин (электрических, магнитных, температурных, условий питания и прочее) одновременно заметно влияют на формирование случайных погрешностей их измерения. В некоторых случаях причиной корреляции между результатами измерений может стать сам проводящий измерения, т.к. искусство и опыт наблюдателя оказывают значительное влияние на результаты измерений.

а х2	б	х2	в	х2
x2		x2		x2

x	х1	x	х1	x	х1
1		1		1

Рисунок 4.1

В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированы, то очень мало, и коэффициентом корреляции в выражениях (4.5) и (4.7) можно пренебречь.

Рассмотренные выражения можно использовать и в том случае, когда искомая величина является суммой m измеряемых прямыми способами величин:

			m
			y = ∑x j .		(4.9)
			j=1
В этом случае в качестве наиболее достоверной оценки					y принимается
сумма оценок x j:
			m
			y = ∑x j ,		(4.10)
			j=1
а с.к.о. оценки итогового результата находят по формуле
	m		m
σy = ∑σ2x j		+ 2	∑σx k σxl rx k xl ,		(4.11)
	j=1		k,l =1
			k ≠l
где σx j - с.к.о. j-го слагаемого;

37

rx k xl - коэффициент корреляции между случайными погрешностями

k-го и l-го слагаемых.

При неизвестных с.к.о. слагаемых в выражение (4.11) следует подставлять их оценки σ~x j , а оценки коэффициентов корреляции вычисляют по формуле

~			1				n min
	=						∑(x ki − x k )(x li − x l ) ,	(4.12)
rx k x l
		(n min	~		~
			−1)σx	k	σx	l	i =1

где nmin - наименьшее из чисел наблюдения хk и хl .

Если исходные измерения независимы, то все коэффициенты корреляции равны нулю и с.к.о. оценки y определяют из более простого выражения

~	m	~ 2		(4.13)
σy =	∑σx j .
	j=1

Рассмотрим теперь общий случай, когда требуется оценить истинное значение величины y, которая связана с величинами xj(j=1,…,m), измеряемыми пря-

мыми способами, некоторым нелинейным уравнением
y = F(x1,..., xm ) .	(4.14)

Найдем такие оценки истинных значений x j измеряемых прямыми способами величин x j, которые, будучи подставлены в уравнение (4.14), давали бы оценку y истинного значения косвенно измеряемой величины, обладающую

наименьшей дисперсией и, следовательно, наибольшей точностью по сравнению со всеми другими мыслимыми оценками. Поскольку эти оценки связаны с соответствующими случайными погрешностями, то можно записать равенство:

y +λy = F[(x1 + λx1 );...;(xm + λxm )] ,

(4.15)

где λy – случайная погрешность оценки y ;

λx j ( j =1,...,m) – случайная погрешность оценки x j .

Естественно предположить, что относительные случайные погрешности оценок малы по сравнению с единицей:

	λx j	<<1.	(4.16)
	x j

Тогда уравнение (4.15) можно разложить в m–мерный ряд Тейлора по степеням случайных погрешностей. Ограничимся только первой степенью:

m ∂F

y +λy = F(x1;...; xm ) + ∑j=1(∂x j )λx j .

Полученное таким образом равенство сводится к следующим двум:

	m	∂F
	y = F(x1;...; xm ) ; λy = ∑(		)λx j .
	j=1	∂x j

(4.17)

(4.18)

38

Вычислим теперь дисперсию σ2y случайной погрешности λy оценки y :

m

∂F

m

∂F

2

m

∂F

2

=

∂F

(4.19)

σy =D ∑

λx j

=M

∑

λx j

∑

M[λxk λxl ].

∂x j

∂x j

k,l =1 ∂xk ∂xl

j=1

j=1

случайных по-

Для математических

ожиданий

произведений

M[λxk λxl ]

грешностей имеем

2

2

= σ

;

k =l;

σ

x

x

M[λ

λ

k

l

(4.20)

x k

xl

] =

; k ≠ l .

2σ

xk

σ

xl

r

Поэтому можно записать

xk xl

~

m

∂F

2

m

∂F

∂F

~

~

~

.

(4.21)

~ 2

σy = ∑

σx j

+ 2 ∑

rx k x l

∂x k

σx k σx l

j=1

∂x j

k ,l =1

∂x l

k ≠l

~

Поскольку коэффициенты корреляции

не зависят от значений оценок

~

rxkxl

~

xk

и xl , то из выражения (4.21) следует, что дисперсия оценки косвенно изме-

ряемой величины достигает минимума в том случае, когда из возможных оценок исходных величин выбраны те, дисперсии которых минимальны. Такими оценками для измеряемых прямыми способами величин являются средние арифметические соответствующих рядов наблюдений.

Произведения частных производных уравнения косвенного измерения на с.к.о. результатов измерения соответствующих аргументов называются част-

ными погрешностями косвенного измерения:
Ex		= (	∂F	)σx		.	(4.22)
	j				j
			∂x j

Таким образом, в качестве наиболее достоверного значения y косвенного

измеряемой величины y следует понимать значение, получаемое подстановкой в формулу (4.14) косвенного измерения средних арифметических x j рядов из-

мерений искомых величин, т.е. путем применения формулы (4.18); с.к.о. этой оценки определяется из формулы

~	m	~ 2	m ~	~	~	,	(4.23)
σy =	∑ E x j		+ 2 ∑ E x k	E x l	rx k x l
	i =1		k ,l =1
			k ≠l

причем значения частных производных вычисляются при средних арифметических значениях аргументов хj .

Распределение результата косвенных измерений будет нормальным, если нормальны распределения результатов прямых измерений. В этих условиях для

вычисления доверительного интервала случайной погрешности & по формуле

39

&	~	(4.24)
	= tp σy

используется значение коэффициента tp , прямо выбираемое из таблицы Ж.1 учебного приложения [2] при количестве измерений n>30. Если же n≤30, предварительно должно быть определено «эффективное» число степеней свободы, которое затем учитывается при определении tp из таблицы Ж.1:

m

~

~

2

m

1

2

kэ = nэ −1 =

∑Ex

j

δx

j

∑

E

x j

j=1

j=1 n j −1

где nj – число прямых измерений величины хj;

~

~

/ x j.

δхj

= σx j

~2
			,	(4.25)
δ	x j

Не все частные погрешности косвенного измерения оказывают одинаковое влияние на формирование итоговой погрешности результата косвенного измерения. Некоторые из них могут быть значительно меньше других, а поскольку значение погрешности все равно должно округляться до двух значащих цифр, они не будут оказывать заметного влияния на значение погрешности.

Если в равенстве

~	=	m	~	2
σy		∑E		x j
		j=1
и k-я частная погрешность такова, что

~	m	~	2	,	(4.26)
σy <1,05	∑E		x j
	j=1
	j≠k

то этой погрешностью можно пренебречь, поскольку при округлении уже 1,0499… принимается за 1,0.

Возведя обе части неравенства (4.26) в квадрат и приняв во внимание, что

m ~

2

~2

~

2

,

∑E

x j

= σy − E

x k

j=1

j≠k

получим

~ 2

~

2

~

2

− Ex k ),

σУ <1,1025(σУ

откуда следует, что частными погрешностями, меньшими

~ 2

~

Ex k

< 0,306 σ

У

можно пренебречь. Округлив последнее неравенство, получим:

~

1 ~

Ex

<

σ

.

(4.27)

k

3

У

40

Эта формула в метрологии называется критерием ничтожных погрешностей, а сами погрешности, отвечающие условию (4.27), называются ничтожными или ничтожно малыми.

Формула (4.27) легко распространяется на случай нескольких погрешностей и приводит к следующему критерию ничтожности суммы квадратов частных

~ ~

погрешностей Ex k ; Ex k+1 ;K:

~	2	~	2	+K <	1	~	(4.28)
E	xk	+ E	xk +1		3	σy .

Использование критерия ничтожных погрешностей позволяет найти те величины, повышение точности измерения которых, позволяет уменьшить суммарную погрешность результата. Очевидно, не имеет смысла повышать точность измерения тех величин, частные погрешности которых и без того ничтожно малы.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений приведен на рисунке 4.2.

Исходные данные:

х11…хn11;

х21…хn22; P

Расчет x1, х2

Расчет y = f (x1, x2 )

Расчет ~ х ~ х

σ 1 , σ 2

Расчет ~x x

r 1 2

~ ~

Расчет Ex1 ,Ex 2

Расчет ~ y

σ

А

41

					А
			да						нет
					n ≤30
		Расчет nэ −1
	да				нет
								P=0,95	tP=1,96;
		nэ ≤30
								P=0,99	tP=2,576;

		да	nэ −1		нет
			целое число?
Определение tP					Расчет tP,
из nэ−1 и P				используя n1 −1, n2 −1,
				t1	и t2; n −1 и P
					э

Расчет &

Представление результата косвенного измерения

y = y ± &; P

Рисунок 4.2 – Алгоритм обработки результатов косвенных измерений

42