lektsii_ORE_2015

u0 i0 .

Рис. 2.3. Источник напряжения

Рис. 2.4. Источник тока

но большой ток, а идеальный источник тока – создать на разомкнутых зажимах бесконечно большое напряжение.

Рис. 2.2. Ненагруженный Делитель напряжения

Реальные источники напряжения и тока имеют конечное внутреннее сопротивление, их схема замещения состоит из двух элементов – идеального источника и резистора, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника, включенного последовательно с источником напряжения и параллельно с источником тока.

Вольтамперные характеристики реальных источников u i u0 Rвн i , i u i0 uвн R могут быть построены по двум измеряемым величинам: напря-

жению холостого режима u0 и току короткого замыкания i0 (конечно, если источник напряжения допускает короткое замыкание, а источник тока – холостой режим). Нетрудно видеть, что в обоих случаях Rвн

Рис. 2.5. Реальный	источник	Рис. 2.6. Реальный источник
напряжения		тока
4. Линейные цепи

Радиоэлектронная цепь считается линейной, если параметры ее элементов не зависят от токов и напряжений. Примером линейной цепи может быть цепь, состоящая из идеализированных элементов ни один из которых не зависит от протекающих токов и напряжений

Процессы в таких цепях описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Для анализа процессов в линейных электрических цепях используются законы Ома, Кирхгофа и др...

Важным примером линейных цепей являются линейные двухполюсники

– цепи с двумя зажимами, для которых роль частотной характеристики

играет полное комплексное сопротивление – отношение комплексных амп-

литуд напряжения на зажимах двухполюсника и тока через него:

Z j z exp j R jX U	I ,	(2.23)

где z( ) = |Z(j )| – импеданс (полное сопротивление) двухполюсника, R( ) = Re(Z(j )) –активное сопротивление,

X( ) = Im(Z(j )) – реактивное сопротивление.

Простейшими двухполюсниками являются идеальные элементы:

резистор, для которого u(t) = Ri(t), Z(j ) = z( ) = R( ) = R, X( ) = 0; конденсатор, для которого i(t) = Cdu(t)/dt, Z(j ) = 1/(j C), z( ) = –X( ) = 1/( C), R( ) = 0,

индуктивность, для которой u(t) = Ldi(t)/dt, Z(j ) = j L, z( ) = X( ) = L, R( ) = 0.

Линейность сопротивления, индуктивности и емкости носит условный

характер, так как в действительности все реальные элементы электрической цепи являются нелинейными.

Транзисторы, работающие в режимах, когда используются прямолинейные участки их вольт-амперных характеристик, также условно могут рассматриваться как линейные устройства.

Однако в нормальном рабочем режиме элементов отклонения от линейности обычно столь незначительны, что при расчетах могут не приниматься во внимание и такие элементы электрической цепи считаются линейными.

Поскольку процессы в линейных цепях описываются линейными уравнениями, к ним применим принцип суперпозиции. Это значит, что результат действия в линейной цепи сигнала сложной формы можно найти как сумму результатов действий сигналов более простых, на которые разлагается исходный, сложный сигнал.

Для анализа линейных цепей используется два метода: метод частотных

характеристик и метод переходных характеристик.

4.1. Метод частотных характеристик

Линейные цепи обладают уникальным свойством: если на вход цепи подавать гармонический сигнал

то на выходе, независимо от типа линейной цепи, всегда будет тоже гармонический сигнал, отличающийся от входного амплитудой и фазой:

где – комплексный коэффициент передачи линейной цепи.

где Ku – модуль коэффициента передачи цепи. Он показывает, во

сколько	раз	изменяется	амплитуда	сигнала	после		прохождения
электрической цепи. Аргумент коэффициента передачи						ϕ	показывает
сдвиг по	фазе	выходного	сигнала, прошедшего электрическую цепь,
относительно входного.
Сигнал, проходя через электрическую				цепь,	не	искажается, если

цепь имеет следующие идеализированные амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики:

На показаны характеристики идеальной

цепи,	пропускающей			сигналы		без
искажений,		то	есть,		условиями
неискаженной			передачи		сигнала
являются:			постоянство		модуля
коэффициента передачи цепи во всем
исследуемом		диапазоне		частот (K u =

const.) и линейная зависимость фазового сдвига от частоты (ϕ ~ ω).

Для реальной линейной цепи модуль коэффициента передачи зависит от частоты, а зависимость ϕ ~ ω , как правило, нелинейная. Для каждой конкретной линейной цепи АЧХ и ФЧХ можно определить экспериментально или рассчитать теоретически.

4.2.Метод переходных характеристик. Прохождение прямоугольных импульсов через линейные цепи

Кроме частотного подхода в радиоэлектронике широко используется временной подход. В этом случае электрическая цепь характеризуется переходной функцией или переходной характеристикой.

Переходная характеристика – это отклик цепи, то есть – это напряжение на выходе цепи при подаче на еѐ вход единичного скачка напряжения.

При анализе цепей методом переходных характеристик в качестве элементарного сигнала выбирают мгновенный скачок напряжения, т.е. напряжение, претерпевающее в фиксированный момент времени изменение на некоторую величину U m 1, которая может быть принята равной единице. Такой сигнал носит название единичного скачка напряжения. Зависимость от времени выходного напряжения, отнесенного к величине скачка входного напряжения

,носит название переходной характеристики цепи.

Очевидно, что по самому ее смыслу переходная характеристика определяет искажения сигналов, проходящих через линейные цепи.

При скачке напряжения, приложенного к цепи состоящей из последовательно включенных R и C элементов, в первый момент времени конденсатор C не заряжен и всѐ напряжение приложено к резистору R. Затем конденсатор начинает заряжаться, а напряжение на резисторе

уменьшается. Найдем, по какому закону изменяются напряжения на C и R. Так как токи, протекающие через резистор и конденсатор

одинаковые ( IR=IC ), то

. Полученное дифференцеальное уравнение имеет решение:

.

Константа A определяется из начальных условий: при t = 0 UC = 0.

Следовательно, A = -U1. Тогда

Так как входное напряжение U2 равно сумме напряжений на

конденсаторе и резисторе, то .

Таким образом, при подаче на последовательную RC цепь скачка напряжения на конденсаторе напряжение растет, а на резисторе - уменьшается по экспоненциальному закону.

4.3. Преобразования сигналов в нелинейных цепях.

Нелинейными называются элементы и цепи, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.).

Нелинейными элементами могут быть сопротивления, индуктивности и емкости, диоды , транзисторы.

Вольт-амперная характеристика линейного элемента - прямая, проходящая

	через	начало	координат	(рис.	3.1).	R	U	Ktg const
							I

НЭ имеют нелинейную ВАХ

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Основные радиотехнические преобразования (модуляция, детектирование, преобразование частоты и т.п.) осуществляются с помощью

нелинейных электрических цепей или линейных цепей с переменными

параметрами (параметрических цепей).

Нелинейными элементами, входящими в состав нелинейных электрических цепей, являются полупроводниковые и любые другие приборы, имеющие нелинейную вольтамперную характеристику (рис.6.1.).

Для анализа нелинейных преобразований и расчета нелинейных цепей необходимо использовать вольтамперные характеристики нелинейных элементов в

аналитической форме.

Однако реальные характеристики имеют сложный вид, затрудняющий их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения. Поэтому в

электронике используются способы представления реальных характеристик относительно простыми функциями, приближенно отображающими истинные характеристики. Замена реальной характеристики приближенно

представляющей ее функцией называется аппроксимацией.

Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента.

Наиболее распространенными способами аппроксимации является

аппроксимация степенным полиномом вида:

i a	a u a u2		a u3	..... a un	(6.1)
0	1	2	3	n

где a0, a1, a2, а3,...аn - коэффициенты аппроксимации; i - ток, протекающий

через	нелинейный	элемент;	u	-	приложенное	напряжение.
	Для удовлетворительной		точности		аппроксимации	необходимо

большое число членов. При этом решение системы уравнений, содержащих большое число неизвестных, очень сложно, поэтому функция, аппроксимирующая характеристику, выбирается таким образом, чтобы она

точно воспроизводила только рабочий участок характеристики нелинейного элемента. При этом, чем меньше рабочий участок, тем меньшая степень полинома требуется для этого.

ЛЕКЦИЯ №7

Простейшие способы аппроксимации: 1. Полином первой степени / n = 1 /.

(1)

Это уравнение описывает прямую, смещенную относительно начала координат .Средний участок анодно-сеточной характеристики лампы или входной характеристики полевого транзистора мало отличается от подобной прямой. Если работа схемы ограничивается этим участком, то вольтамперную характеристику можно представить в виде уравнения (1). Т.к. наклон прямолинейного участка соответствует статической крутизне S ,то

(2)

где I0 - ток, при u=0.

Этот вид аппроксимации применяется в усилителях и не может быть использован для нелинейных преобразований.

2. Полином второй степени / n = 2 /.

i a	a u a u2		(3)
0	1	2

Это уравнение представляет собой квадратичную параболу (рис.6.3).

Правая часть параболы соответствует начальному участку характеристики биполярного или полевого транзистора, следовательно, этот вид аппроксимации может использоваться только при малых сигналах, при которых рабочая точка перемещается в пределах квадратичного участка

1,2 (рис.6.3) реальной характеристики.

Аппроксимация полиномом 2-ой степени используется при анализе процессов преобразования и умножения частоты, модуляции и детектирования амплитудно-модулированных колебаний.

3. Экспоненциальный полином. Обычно используются одночленные или

двучленные полиномы или Экспоненциальные функции удовлетворительно описывают характеристики

полупроводниковых приборов, однако анализ нелинейных преобразований с помощью экспоненциального полинома оказывается достаточно сложным и проводится сравнительно редко.

4. Кусочно-линейная аппроксимация

При этом способе аппроксимации реальная характеристика заменяется ломаной линией, состоящей из 2-х прямолинейных отрезков. Аппроксимирующая функция в этом случае имеет вид:

(6.5)

Этот вид аппроксимации является довольно грубым, но он учитывает самые характерные черты нелинейной характеристики и используется при рассмотрении вопросов умножения, усиления мощных колебаний, детектирования, выпрямления переменных токов, т.е. для больших сигналов, где I - начальный ток (при u=0) и a - коэффициент, определяемый свойствами p-n перехода.

4.4. Воздействие гармонического колебания на нелинейный элемент (НЭ)

В зависимости от положения начальной рабочей точки (РТ) и амплитуды входного сигнала различают 3 варианта:

1)линейный режим НЭ (режим малого сигнала на линейной части х- ки) – усилитель При линейном режиме положение РТ в процессе работы НЭ влияет лишь на величину постоянной составляющей, и не влияет на форму коллекторного тока, который совпадает с формой приложенного напряжения.

2)Нелинейный режим без отсечки тока

3) нелинейный режим с отсечкой тока

4.5.. Нелинейное преобразование в радиоэлектронике

Рассмотрим примеры преобразования частоты с использованием НЭ –

нелинейного преобразования.
1) Пусть на входе НЭ действует	только	одно напряжение
u=u0+UmCos t, тогда при аппроксимации передаточной
характеристики степенным полиномом вида
i=ao+a1u+a2u2+…+anun ,		(1)
ток i(t) в общем виде может быть записан так:
i(t)=Io+Im1Cost + Im2Cos2t + Im3Cos3t +		(2)

Т.о., при воздействии на НЭ гармоническим сигналом с частотой , через него протекает ток, в составе которого наряду с первой гармоникой с частотой присутствуют все последующие гармоники: 2, 3, и т.д.

2)на НЭ воздействуют одновременно два гармонических колебания

u1=Um1Cos1t,	u2=Um2Cos2t.	(3)
Для упрощения анализа ограничимся аппроксимацией передаточной
характеристики полиномом второй степени:
	i=ao+a1u+a2u2.	(4)
На входе НЭ напряжение равно сумме двух напряжений
	u1+ u2=Um1Cos1t+ Um2Cos2t ,	(5)
тогда ток в цепи определяется выражением
	i = a0+a1(u1+u2)+a2(u1+u2)2 .	(6)
Определим спектральный состав выходного тока, для этого подставим
(5) в (6). При этом второе слагаемое выражения (6) примет вид:
a1(u1+ u2) =a1(Um1Cos 1t+ Um2Cos 2t)=
а1Um1Cos 1t + a1Um2Cos 2t .		(7)

Третье слагаемое выражения (6):

a

2

(u + u )2

= a

(U

Cos t+ U Cos t)2 =

1

2

2

m1

1

m2

2

a

U

2Cos2 t + a

U

2Cos2 t + 2a

U

Cos tU

Cos t =

2

m1

1

2

m2

2

2

m1

1

m2

2

a

2

·½

·U

2 +a ·½

·U

2Cos2 t + a

2

·½

·U

2

+ a

2

·½

m1

2

m1

1

m2

·U

2Cos2 t +

2a

U

m1

U

·½·Cos(

+

)t +

2a

U

m1

U

m2

2

2

m2

1

2

2

m2

·½·Cos( 1 2)t =

½·a

(U

2

+ U

m2

2) +

2

m1

½·a U

2Cos2 t+ ½ ·a

2

U

2Cos2 t +

2

m1

1

m2

2

a2Um1Um2 Cos( 1

+

2)t + a2Um1Um2

Cos( 1

2)t.

(8)

Т.о., в

спектре

выходного тока

присутствуют

составляющие с

частотами:

1, 2, - исходные колебания

2 1, 2 2, - гармоники ( 1 + 2), ( 1 2). – комбинационные частоты

Если аппроксимация передаточной характеристики проводилась бы полиномом третьей степени, то в составе выходного тока учитывались бы еще и другие составляющие: 3 1, 3 2, ( 1 ± 2 2), (2 1 ± 2), т.е. в общем случае при аппроксимации полиномом n-ой степени спектр будет содержать гармоники и составляющие, частоты которых определяются выражением:

±p 1 ± q 2 , (9) где p и q – целые числа (0, 1, 2, 3, …), причем p+ q n, n - степень аппроксимирующего полинома.

В зависимости от нагрузки, ( типа фильтра), на выходе НЭ можно выделить одно или несколько близких по частоте комбинационных колебаний. По такому принципу строятся модуляторы, демодуляторы, преобразователи частоты.

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

Фильтры предназначены для формирования электрических сигналов с заданными свойствами и выделения определенной области частот спектра.

ИЗБИРАТЕЛЬНОСТЬ –общее свойство всех фильтров - способность выделения заданной полосы частот

К характеристикам фильтров относятся:

1)передаточная функция;

2)амплитудно-частотная характеристика;

3)фазо-частотная характеристика;

4)частота среза ωср (fср );

5)постоянная времени τ;

6) полоса пропускания (подавления) Δω (Δf);

7)резонансная частота;

8)добротность .

Вобщем случае фильтр можно рассматривать как четырехполюсник с передаточной функцией

, (2.41)

где U1(p) U2(p) – входное и выходное напряжение четырехполюсника в операторной форме; a и b – вещественные постоянные величины; m, n = 1,2,3, …; n – определяет порядок фильтра. Для установившейся частоты р = jω и передаточную функцию можно привести к виду

(2.42)

Модуль передаточной функции (2.42) называется амплитудночастотной характеристикой

. (2.43)

Фазо-частотная характеристика также может быть найдена из (2.42) и представлена в виде

(2.44)

Диапазон Δω = ω2 –ω1 или полосы частот, в которых проходят сигналы, называются полосами пропускания. В полосе пропускания значение коэффициента передачи фильтра относительно велико, а в идеальном случае постоянно.

Для полосового фильтра частоты ω1 и ω2 определяются при спаде коэффициента передачи на 3 дБ.

Частота среза ωср (fср ) – частота на которой наблюдается спад коэффициента передачи на 3 дБ по сравнению с коэффициентом передачи на нулевой (для ФНЧ) или бесконечной (для ФВЧ) частоте.

Диапазон частот Δω = ω2 –ω1 (рис. 2.23,г), в которых сигналы подавляются, образуют полосу задержания. В полосе задержания коэффициент передачи фильтра относительно мал, а в идеальном случае равен нулю.

Для заграждающего фильтра частоты f1 и f2 определяются при спаде коэффициента передачи на 3 дБ.

Резонансная частота fР – частота, на которой коэффициент передачи фильтра имеет максимальное значение (для полосового фильтра) или минимальное значение (для заграждающего фильтра).