Тема 4. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных: основные понятия. Предел и непрерывность. Дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Тема 5. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Методы интегрирования: замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и тригонометрических функций.

Определенный интеграл и его геометрический смысл. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения. Ряды

Тема 6. Дифференциальные уравнения

Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения линейного уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Понятие о приближенных методах решения дифференциальных уравнений.

Тема 7. Ряды

Понятие о числовом ряде. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Понятие о функциональном ряде. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Раздел 3. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

Тема 8. Аналитическая геометрия на плоскости

Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

Тема 9. Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц.

Свойства определителей. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства.

Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Теорема Крамера (система n-линейных уравнений с n- переменными). Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений.

Векторы на плоскости и в пространстве. N- мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Вопросы к зачету

1. Графики и свойства основных элементарных функций.

2. Предел функции.

3. Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции.

4. Непрерывность функции в точке и на интервале.

5. Точки разрыва первого и второго рода.

6. Производная и дифференциал.

7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа.

8. Функции нескольких переменных и их непрерывность.

9. Производные функции нескольких переменных.

10. Дифференциалы функции нескольких переменных.

11. Поиск экстремума функции одной переменной.

12. Поиск экстремума функции двух переменных.

13. Неопределенный интеграл, основные теоремы.

14. Определенный интеграл, основные теоремы.

15. Методы интегрирования: интегрирование подстановкой, интегрирование по частям, интегрирование рациональных функций.

16. Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении.

17. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

18. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения линейного уравнения.

19. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

20. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

21. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Признак Даламбера.

22. Степенные ряды. Свойства степенных рядов. Теорема Абеля.

23. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.