Список литературы

1. Акимов В.П. Математика для политологов. 2-е изд., испр. и доп. Москва: МГИМО, 2011.

2. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления: Учебно.-метод. пособие по курсу «математика» для спец. 061100. Орел: Изд-во ОРАГС, 2001.

3. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. М.: Высшее образование, 2008.

4. Высшая математика. Общий курс / Под ред. А.И.Яблонского. Минск: Высшая школа, 1993.

5. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебник для вузов: Рек. Мин. обр. М.: Логос, 2003.

6. Гусакова В.И. Шепелова Н.С. Математика: Учебно-метод. пособие. Ростов н/Д: СКАГС, 2008.

7. Гусакова В.И., Кривошлыков В.Н., Шепелова Н.С. Математика: Методические указания для самостоятельной работы студентов. Учебно-метод. пособие. Ростов н/Д: СКАГС, 2010.

8. Дегтерев Д.А. Введение в теорию игр для политологов и международников. Москва: МГИМО, 2010.

9. Математика и информатика. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Д. Будаева. М.: Высшая школа, 2004.

10. Тугуз Ю.Р. Математика. Ч.1. Математический анализ и линейная алгебра. Ростов н/Д: СКАГС, 2005.

Тесты по разделу «Математический анализ»

Вопрос 1

Найти множество значений функции

1. Y=[-3; 3];

2. Y=[1/2; ∞);

3. Y=[3/2,6);

4. Y=[-4; 2].

Вопрос 2

Найти область определения функции

1. Х=(3/2; ∞);

2. Х=(0; ∞);

3. Х=(3/2);

4. Х=[0; -∞).

Вопрос 3

Выяснить четность (нечетность) функции

1. четная;

2. нечетная;

3. общего вида.

Вопрос 4

Выяснить четность (нечетность) функции

:

1. четная;

2. нечетная;

3. общего вида.

Вопрос 5

Вычислите предел

1. 0;

2. ∞;

3. 1;

4. 2.

Вопрос 6

Вычислите предел

1. 0;

2. ∞;

3. 1;

4. 3/4.

Вопрос 7

Вычислите предел

1) -;

2) ∞;

3) ;

4).

Вопрос 8

Вычислите предел

1) 2;

2) 3;

3) 0,3;

4) 0.

Вопрос 9

Вычислите предел

1) 0;

2) 1;

3) 2;

4) 4.

Вопрос 10

Вычислите предел

1) 0;

2) 0,5;

3) 2,5;

4) 3.

Вопрос 11

Вычислите предел

1) 0;

2) 1/2;

3) 4/9;

4) 1/3.

Вопрос 12

Вычислите предел

1) 0;

2) 1;

3) 2;

4) ∞.

Вопрос 13

График четной функции симметричен

1. относительно оси ординат;

2. относительно оси абсцисс;

3. относительно начала координат.

Вопрос 14

Определить, является ли функция непрерывной; если нет, то выяснить характер точки разрыва:

1. разрыв первого рода;

2. разрыв второго рода;

3. устранимый разрыв;

4. непрерывная функция.

Вопрос 15

Производная произведения двух функций u(x)и v(x) имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тесты по разделу «Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии»

Вопрос 1

Какой из определителей вычислен правильно?

1) ;

2) ;

3) никакой;

4) .

Вопрос 2

Алгебраическое дополнение – это выражение вида:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 3

Какое из уравнений является уравнением параболы?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 4

В методе Крамера для системы линейных алгебраических уравнений если , то

1) решение системы уравнений не существует;

2) решение системы уравнений существует и любая тройка чисел является решением;

3) решение системы уравнений: существует, единственно, находится по формулам ,,.

Вопрос 5

Что называется матрицей?

1) число;

2) вектор;

3) число, составленное из элементов таблицы чисел по некоторому правилу;

4)прямоугольная таблица чисел, действия с которыми производятся по некоторым правилам.

Вопрос 6

Верно ли записана расширенная матрица системы уравнений

1)	да;
2)	записана матрица системы уравнений;
3)	нет.

Вопрос 7

Какой геометрический смысл линейного уравнения от в двумерном пространстве?

1)	плоскость;
2)	прямая;
3)	кривая линия

Вопрос 8

Какое из следующих уравнений является уравнением прямой в отрезках на осях?

1)	Ax+By+C=0;
2)	y=kx+a, y=kx+b;
3)	.

Вопрос 9

Какое из следующих выражений есть уравнение директрисы параболы?

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 10

Что является характеристическим уравнением матрицы ?

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 11

Даны матрицы и. Тогда матрица В, будет обратной к А при λ, равном.

1)	−1;
2)	0;
3)	−3/2;
4)	1.

Вопрос 12

Даны прямые: . Тогда перпендикулярными являются прямые

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 13

Даны матрицы и. Тогда матрица С = А−2В имеет вид:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 14

Даны матрицы и. Тогда матрицаимеет вид:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 15

Вычислите значение определителя:

1)	62;
2)	64;
3)	0;
4)	– 44.

Вопрос 16

Если точка является решением системы линейных уравнений,то

1)	;
2)	;
3)	3;
4)	.

Глоссарий

Алгебраическим дополнениемэлемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j :

.

Бесконечно малые величины.Функция(х) называетсябесконечно малой величиной при х  х₀ или при х  , если её предел равен нулю:

Бесконечным рядом (рядом)называется выражение вида,где– члены ряда;

-n-ыйили общий член ряда, если члены ряда:

• числа, то ряд называется числовым;

• числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

• числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

• положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

• числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

• функции, то ряд называется функциональным;

• степени x, то ряд называется степенным;

• тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

ВекторA_mназываетсялинейной комбинациейвекторов A₁,A₂,..,A_m-1векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.

Векторы A₁,A₂,..A_mвекторного пространства R называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁+ λ₂A₂+ … + λ_mA_m=0.

В противном случае векторы A₁,A₂,..A_mназываютсялинейно независимыми.

Вектор Х, не равный нулю, называетсясобственным векторомматрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ.

Число λназывается собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х.

Уравнениеназывается характеристическим уравнением матрицы А.

Гиперболойназывается геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная ± 2а.

Графиком функцииу=f( х )называется совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента,значения функции.

Замечательные пределы.Существуют два замечательных предела:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядкас постоянными коэффициентами имеет вид: y'' +py' +gy =r(x), гдеp, g некоторые действительные числа,r(x) – некоторая функция. Еслиr(x)=0, то уравнение называетсяоднородным, в противном случае −неоднородным.

Матрица А^-1называетсяобратнойпо отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1= Е.

Матрица называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля, в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной.

Матрицей размера mxnназывается прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Квадратнойматрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы а_ij, у которых i=j, называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. Например, для квадратной матрицы n-го порядка главная диагональ: а₁₁, а₂₂, а₃₃…а_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной.

Единичнойназывается диагональная матрица, элементы которой равны единице.

Умножение матрицА на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Минором М_ijэлемента а_ijназывается определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –й строки и j-го столбца.

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий членпри неограниченном увеличении номераnстремится к нулю:.Если, то рядрасходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Непрерывность функции. Определение 1. Функция(х) называетсянепрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точкех₀(т.е. существует(х₀)); 2) имеет конечный предел функции прих  х₀; 3) этот предел равен значению функции в этой точке, т. е.

Определение 2.Функция у =(х) называетсянепрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Общим решением дифференциального уравнения (1) n-го порядка называется такое его решение у = φ (х, С₁,… С_n), которое является функцией переменной х и произвольных постоянных C₁,C₂,…C_n.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, переменную и производные различных порядков данной функции. В общем случае дифференциальное уравнение можно записать так:

G(x, y, y',…, y⁽ⁿ⁾)=0 , (1)

где G – некоторая функция от n+2 переменных (n >0), при этом n – порядок старшей производной, входящей в запись, называется порядком дифференциального уравнения.

Определителем матрицыпервого порядка А=(а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

Обозначается Δ₁= а₁₁, или│А│= а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле Δ₂= │А│= а₁₁а₂₂– а₁₂а₂₁.

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле

Δ₃= │А│= а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃– а₁₂а₂₁а₃₃– а₃₂а₂₃а₁₁.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Предел числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности { а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такой номер N (зависящий от), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенствоа_n– А.

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:

А - а_nА +.

Предел числовой последовательности обозначается:

.

Предел функции в точке. Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящемся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от), что для всех х , не равных х₀и удовлетворяющих условиюх- х₀, верно неравенствоf(x)– А.

Этот предел функции обозначается:

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится приl<1 и расходится приl>1. Признак Даламбера не дает ответа, еслиl=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Производнойфункции у =(х) называется предел отношения приращения функцииу к приращению аргументах при стремлениих к нулю. Если функция в точке х₀имеет конечную производную, то функция называетсядифференцируемойв этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Рангом матрицы Аназывается наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Теорема.Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j– определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:, где j=1,…n.

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А^-1существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Теорема. Если функция (х) является бесконечно малой величиной при х  х₀ или при х  , то функция f (x)=1/(х) есть величина бесконечно большая при х  х₀ или при х  . И обратно, если функция f (x) есть величина бесконечно большая при х  х₀ или при х  , то функция (х) = 1/f(x) является бесконечно малой величиной при х  х₀ или при х  .

Теорема.Пусть функцияy=f(x) непрерывна в интервале [a,b] иF(x) –любая первообразная дляf(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функцииf(x) на [a,b] равен приращению первообразнойF(x) в этом интервале, т. е. Это и есть формула Ньютона-Лейбница.

Точка х₀называетсяточкой разрывафункции(х), если эта функция не является непрерывной.

Различают точки разрыва: первого рода(когда существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа прих  х₀, не равные друг другу) и

второго рода(когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

К точкам разрыва первого рода относят также точки устранимого разрыва,когда предел функции прих  х₀ существует, но не равен значению функции в этой точке.

Функция F(х)называетсяпервообразной функцииf (х) на промежуткеХ, если в каждой точкехэтого промежуткаF(х) =f(х).

Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежуткеХназываетсянеопределенным интеграломот функцииf (х).

Функция у = f(х) называетсяпериодическойс периодомТ0, если для любыххиз области определения функцииf(х+Т) = f(х).

Функция у = f(х)называетсячетной, если для любых значений х из области определенияf(х)= f(х), и нечетной, если f(х) = f(х). В противном случае функцияу=f(х)называется функцией общего вида.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C₁,C₂,…C_n.

Эллипсомназывается геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2а.

У

чебное издание