§9. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

Пусть на отрезке задана непрерывная дифференцируемая функция . Тогда по свойству непрерывной функции на этом отрезке всегда найдутся такие точки, в которых функция будет принимать наибольшее и наименьшее значения.

Правило нахождения.

1. Находим производную и приравниваем ее к нулю.

- критические точки. Исключаем точки, не входящие в отрезок .

2. Вычисляем значение функции в критических точках, не доказывая вида экстремума.

3. Вычисляем значение функции на концах отрезка.

4. Из всех значений выбираем наименьшее и наибольшее, т.е. находим тотальный максимум и тотальный минимум.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

1. 

.

2. - наибольшее значение.

3. 

- наименьшее зхначение.

§10. Решение прикладных экстремальных задач

Если функция непрерывна на отрезке , то она по свойству непрерывных функций достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Если непрерывна на отрезке и имеет единственный экстремум, то этот экстремум является наименьшим значением функции в случае и наибольшим значением в случае .

Практический интерес имеют не сами и функции, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность составления функции, описывающей рассматриваемое явление или процесс.

Схема решения прикладных задач.

1. По условию задачи вводим независимую переменную величину и т.д.

2. Составляем функцию, зависящую от введенного аргумента и описывающую данное явление.

3. По условию задачи находим интервал изменения аргумента.

4. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном интервале.

Пример: Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество материала, при условии, что он должен вмещать 108 куб. л. воды.

- прямоугольный параллелепипед.

Решение.

1. 

2. 

3. 

4. 

х		6
	-	0	+

при х = 6 площадь принимает наименьшее значение.

Вывод: При стороне основания АВ = 6 и высоте параллелепипеда на лужение резервуара пойдет наименьшее количество материала. Чтобы такой резервуар имел наименьшую поверхность, высота резервуара должна быть в два раза меньше стороны квадратного основания.