Математика в виде шпор 1-18 / 15

15.Методы интегрирования: Интегрирование методом замены переменных, Интегрирование по частям, Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование методом замены переменных

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g( z)dz. Поэтому  f(х) dx =  f [g(z)] g( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

 udv = uv -  vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям и позволяет свести данный интеграл к более простому.

Пример

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

При этом справедлива следующая теорема:

• Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

• Действительно, если произвести подстановку t=x-b, то дроби первого и второго типа будут интегрируемы в элементарных функциях т. е.

• Квадратные трехчлены третьей и четвертой дробей можно представить в виде (x²+px+q)=(x+p/2)²+(q-p²/4) и, учитывая, что (q-p²/4)>0, ввести вещественную постоянную и сделать подстановку t=x+p/2, тогда задача интегрирования может быть решена с использованием известных формул интегрирования.