ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Филиал в г.Туапсе

Теоретический курс по дисциплине «механика жидкости и газа»

для специальности 020602 «Метеорология»

Подготовила: преподаватель Солнцева А.А.

Туапсе

2009

ВВЕДЕНИЕ

Предмет исследования механики жидкости и газа. Краткие сведения из истории развития дисциплины и связь с другими естественными науками. Основные методы исследования.

Теоретическая механика изучает простейшие, механические формы движения и взаимодействия материальных тел, используя понятия материальной точки и системы материальных точек. Материальная система может быть дискретной и сплошной. Простейший пример сплошной среды – неизменяемая среда или абсолютно твердое тело. Раздел теоретической механики, занимающейся движениями изменяемых сред, носит наименование механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам – механики жидкости и газа или гидромеханики. Развитие авиации вызвало интерес к вопросам силового взаимодействия воздуха с движущимися в нем телами и движения тел в воздухе; так появилась аэромеханика. Углубление знаний в области движения сжимаемых жидкостей (газов) привело к возникновению газовой динамики и аэротермодинамики.

Современный этап развития механики жидкости и газа характеризуется значительно возросшей связью с физикой. Предмет механики жидкости и газа сводится не только к одному механическому движению жидкости и газа и механическому взаимодействию их с твердыми телами, но и к сложным физическим процессам, сопровождающим механические движения.

Основное свойство модели жидкой и газообразной среды – ее сплошность, т.е. непрерывность распределения массы и физико-механических характеристик среды. Для динамики существенно и второе основное свойство жидкой и газообразной среды – ее легкая подвижность или текучесть.

В настоящем курсе мы будем иметь дело преимущественно с двумя простейшими моделями жидкой или газообразной среды: идеальной (без внутреннего трения) и вязкой (ньютоновской, с напряжением трения, пропорциональным скорости сдвига).

Созданию первых идей механики жидкости и газа больше всего способствовали вопросы строительства водопроводов, плавания судов, полета метательных снарядов. Основной гидродинамической проблемой античного времени явилось выяснение сущности взаимодействия между движущимся твердым телом и окружающей его средой (водой или воздухом) при плавании или полете. Общеизвестны заслуги Архимеда в создании гидростатики. Его работы послужили толчком к появлению ряда гидравлических аппаратов (поршневой насос Ктезибия, сифон Герона и т.д.). Идеи Архимеда были продолжены Стевином (принцип затвердевания), Галилеем (заключение о пропорциональности сопротивления первой степени скорости движения тела относительно среды) и Паскалем (закон о независимости давления жидкости на расположенную внутри нее площадку от ориентации этой площадки в данной точке покоящейся жидкости). Гюйгенс установил закон пропорциональности сопротивления квадрату скорости. Ньютон в своих «Началах» приводит вывод квадратичного закона сопротивления. Особенное значение имело установление Ньютоном основных законов и уравнений динамики, обобщение которых на сплошные среды привело к образованию гидродинамики. Общепризнана роль Эйлера как основоположника теоретической гидродинамики (трактат «Общие принципы движения жидкостей»). Основы учения о движении вязкой жидкости были заложены Навье и получили свое завершение в работах Стокса. Рейнольдсу принадлежит вывод первых дифференциальных уравнений турбулентного движения несжимаемой жидкости. Широко известна роль Д.И.Менделеева в развитии учения о газах при больших и малых давлениях. Появление авиации наложило отпечаток на всю историю развития гидроаэродинамики (теория крыла и винта). Следует отметить работы Жуковского и Чаплыгина в этом направлении.

В настоящее время механика жидкости и газа широко развивает те свои разделы, которые находятся в наиболее тесной связи с новыми задачами естествознания и техники. Таковы учения о сверх- и гиперзвуковых потоках реальных, однородных и неоднородных газов, плазмы, вопросы космической газодинамики, механики обычных вязких и разнообразных «реологических» жидкостей, проблемы кровообращения, перемещения живых существ в жидкости и многие другие вопросы биофизики и бионики.

Для решения задач механики жидкости и газа применяют точные и приближенные математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений движения, уравнений переноса тепла, веществ и т.п., выражающих законы физических процессов в жидкости и газе. Для получения суммарных характеристик используются общие теоремы механики и термодинамики. Значительная сложность явлений вынуждает механику жидкости и газа широко применять эксперимент, обобщение результатов которого приводит к эмпирическим закономерностям, а иногда и к полуэмпирическим теориям.

Строгая математическая постановка задач механики жидкости и газа приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому даже в сравнительно простых задачах теоретического расчета движения идеальной несжимаемой жидкости оказывается удобным применять электрогидродинамическую аналогию (ЭГДА), заменяющую вычисление скоростных полей в потоке жидкости замером разностей электрических потенциалов. В случае сверхзвуковых скоростей для той же цели служит газогидравлическая аналогия (ГАГА), позволяющая изучать сверхзвуковые обтекания тела газом путем наблюдения волн, образующихся на поверхности воды при обтекании тела той же формы.

Невозможность непосредственного использования уравнений для изучения хаотических турбулентных движений жидкости или газа, привела к созданию статистических методов.

Гидроаэродинамический эксперимент используется в лабораториях исследовательских институтов. Теоретически изучаются лишь простейшие схематизированные случаи движения жидкости или газа. Более сложные явления исследуются экспериментально. При этом теория учит, как ставать эксперимент, как наиболее точно проводить измерения, как обобщать результаты отдельных экспериментов на целые классы явлений и устанавливать общие закономерности. Таким образом, методы механики жидкости и газа использую непрерывное взаимодействие теории и эксперимента.

Многие области техники используют достижения механики жидкости и газа (авиация, кораблестроение). Широко использует механику жидкости и газа современная теплотехника, химическая индустрия, металлургия, гидростроительство, нефтяная промышленность и современная метеорология. Например, динамика атмосферы широко использует механику сжимаемой жидкости и теорию турбулентного движения воздуха над поверхностью Земли при наличии различных физических факторов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Понятие жидкости и газа в гидромеханике. Понятие физически бесконечно малого объема и гипотеза сплошной среды. Основные величины: плотность, скорость, напряжение. Основные свойства жидкости. Математический аппарат механики жидкости и газа. Элементы векторного и тензорного исчисления.

Понятие жидкости в широком смысле этого слова охватывает в гидромеханике как мало сжимаемые капельные жидкости, так и легко сжимаемые жидкости, которыми являются газы. Жидкостями называются вещества, обладающие текучестью при приложении к ним самых незначительных сил сдвига. Основные свойства жидкой и газообразной среды – сплошность и текучесть. Для большинства жидкостей касательное напряжение (внутреннее трение) в среде отличны от нуля только при наличии относительного движение сдвига между слоями среды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует. Среди жидкостей есть и такие, которые не отвечают допущению о текучести. Они называются реологическими (битум).

Обладая общими свойствами непрерывности и текучести, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам. В отличие от газа, расстояние между молекулами в жидкости крайне малы, что приводит к возникновению молекулярных сил сцепления. Под действием этих сил жидкость подвергается сильному сжатию, и влияние малых изменений давления не сказывается на изменении объема. Поэтому, в отличие от газов жидкости можно считать несжимаемыми. Для жидкостей характерны и капиллярные свойства. В газах межмолекулярные расстояния велики, силы взаимодействия между молекулами сравнительно малы. Для газов характерно свойство сжимаемости. Общепринято жидкость и газ называть общим термином – жидкость, различая только несжимаемую и сжимаемую жидкости.

В основе классической гидродинамики лежат следующие предположения:

справедливость классической механики – механики Ньютона,

справедливость классической термодинамики,

справедливость схемы сплошной среды.

Рассмотрим более подробно третье предположение. Если представить, что имеется некоторая среда и что в объеме τ заключена масса среды М, можно найти ее среднюю плотность ρ_ср = М/τ. Предположим, что объем τ уменьшается, стягиваясь в точку. Т.к. среда неоднородна плотность сначала будет зависеть от объема, а затем, когда среда в объеме станет почти однородной, плотность практически не будет изменяться. При дальнейшем уменьшении объема плотность начнет колебаться.

Объем, размеры которого, с одной стороны, пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером рассматриваемого явления, так что его средние характеристики можно считать постоянными, а с другой стороны, содержит в себе настолько много молекул, что эти характеристики будут устойчивы по отношению к изменению объема, будем называть физически бесконечно малым объемом. Выражение τ→0 означает переход к физически бесконечно малому объему.

Если отвлечься от молекулярного строения жидкости, то можно представить ее как непрерывно распределенную по пространству среду, обладающую физическими свойствами реальной жидкости. Такая среда является приближенной моделью реальной жидкости, и для нее мы можем уже строго стягивать объем в точку и делать предельный переход в обычном смысле. Предположение о справедливости модели сплошной среды равносильно предположению о существовании физически бесконечно малого объема.

Под сплошной понимают некоторую фиктивную среду, представляющую собой систему материальных точек, заполняющих пространство непрерывно, без образования пустот. Введение гипотезы сплошной среды дает возможность рассматривать все характеристики потока как непрерывные функции координат и времени. Последнее означает, что при изучении гидромеханических явлений в полной мере можно использовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений, составлять и решать соответствующие дифференциальные уравнения.

Рассмотрим некоторые основные величины жидкости. Остановимся на понятиях плотности, давления, температуры, скорости, напряжения.

Средней плотностью среды в объеме ∆τ называется отношение , где ∆m — масса, заключенная в объеме ∆τ. Плотностью ρ в данной точке называется предел:

(0.1)

Будем рассматривать величину отношения . Так как реальная среда имеет дискретное строение, то плавное уменьшение ∆τ будет сопровождаться скачкообразным изменением ∆m, соответ­ствующим пересечению поверхности молекулы. Этому соответствует скачкообразное изменение , но пока знаменатель велик. Эти скачки являются малыми, а величина стремится к определенному предельному значению. Однако, начиная с некоторого малого объема ∆τ₀, скачкообразное изменение становится заметным, и кривая принимает вид пилообразной линии.

Таким образом, в дискретной среде ρ не может быть непрерывной функцией координат, а оказывается ве­личиной, скачкообразно меняющейся от точки к точке от нуля до очень больших величин. Если же учесть еще постоянное движение молекул, которые непрерывно меняют свое положение, то станет ясным, что ρ не может быть и непрерывной функцией времени.

Совершенно аналогичные рассуждения можно провести при введении понятия гидродинамического давления р, которое пред­ставляет собой предел отношения совокупности импульсов ударов отдельных молекул ∆F в единицу времени на рассматриваемую площадку ∆S, т. е.

(0.2)

Сжимаемость. Понятие несжимаемой жидкости.

Плотность жидкостей и газов меняется при изменении температуры и давле­ния, хотя и в разной степени для различных сред. Так, при возра­стании температуры от 4 до 16°С плотность воды убывает на 0,1%, а плотность газов — на 4%. При изменении давления от 1 до 100 атмосфер плотность воды возрастает на 0,5%, а плотность газа увеличивается в 100 раз. Изменчивость плотности р в зависимости от давления р можно характеризовать производной или связанной с нею величиной скорости звука: . Чем больше сжимаемость, т. е. , тем, очевидно, меньше а.

Жидкость, в которой плотность при движении остается постоян­ной, называется несжимаемой жидкостью. Это имеет место в том случае, когда р сохраняет одно и то же значение во всех точках пространства в данный момент , времени и в каждой зафиксиро­ванной точке во времени не меняется (хотя можно представить себе неоднородную жидкость, в которой плотность меняется во времени так, что при движении частиц жидкости их плотность будет оставаться постоянной, — случай, который мы будем счи­тать исключенным).

Возможность замены данной реальной среды моделью несжи­маемой жидкости зависит не от того, мала или велика сжимаемость этой среды, а от того, сколь большую роль играет сжимаемость в рассматриваемом явлении. Так, в большинстве задач гидромеха­ники капельные жидкости и, прежде всего, воду можно рассматри­вать как несжимаемые.

Вязкость реальных жидкостей и газов. Понятие идеальной жидкости. Как уже указывалось, любое сколь угодно малое уси­лие, приложенное к частицам реальных жидкостей и газов, вызы­вает смещение частиц друг относительно друга. Однако опыты обнаруживают, что сдвигающие усилия, стремящиеся вызвать скольжение одного слоя частиц по другому, сопровождаются воз­никновением специальных сил, препятствующих этому. Эти силы прилагаются к каждому слою и направлены противоположно на­правлению относительного смещения этого слоя.

Рис. 1

На рис.1 слева показано распределение скоростей в потоке, обтекающем плоскую стенку. Возрастание скорости по мере удаления от стенки приво­дит к тому, что вышележащий слой жидкости опережает нижеле­жащий и со стороны последнего на вышележащий слой действует сила, препятствующая этому опережению, т. е. направленная про­тивоположно движению. Напротив, нижележащий слой отстает от вышележащего, что вызывает возникновение силы, приложенной к нижележащему слою и препятствующий этому отставанию, т. е, направленной в сторону движения.

Свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление сдвига­ющим усилиям называется внутренним трением, или вязкостью, а соответствующие этому сопротивлению силы называются силами вязкости.

Сущность этого процесса заключается в обмене молекулами между слоями. При этом из нижнего слоя в верхний в среднем по­ступают молекулы с меньшим количеством движения, а на их место — сверху приходят более быстрые. Таким образом, именно молекулярный обмен количеством движения и обуславливает вяз­кое взаимодействие между слоями. Силу вязкости F_в следует по­нимать как результат осреднения, в указанном выше смысле, что позволяет ввести ее определение в виде предельного отношения.

(0.3)

(∆F— молекулярный обмен количеством движения за единицу времени).

Жидкая сплошная среда, в которой силы вязкости отсутствуют, т. е. скольжение одного слоя относительно другого не встречает со­противления, называется идеальной жидкостью. Известны жидкости со сравнительно малой вязкостью (спирт, воздух и др.) и с большой вязкостью (смола, нефть, глицерин и др.), причем вязкость меняется с изменением температуры. Но возможность за­мены реальной среды моделью идеальной жидкости зависит не столько от абсолютной величины сил вязкости, сколько от их отно­сительной величины, в сравнении с другими, действующими на ча­стицы среды силами, а это, в основном, определяется сущностью решаемой задачи. Так, например, в тонком слое жидкости или газа, непосредственно прилегающем к поверхности обтекаемого потеком твердого тела (пограничном слое), скорость меняется очень быстро, возрастая от нуля на поверхности тела до значений порядка скорости невозмущенного потока (на внешней границе слоя). Скорости сдвига в этом слое оказываются весьма значи­тельными, поэтому возникают большие силы вязкости, сравнимые, например, с силами инерции. Ввиду этого, исследуя движение жидкости в пограничном слое или решая задачи, связанные со свойствами этого слоя, мы не можем отвлечься от сил вязкости и считать жидкость идеальной. Напротив, вне пограничного слоя скорость движения меняется сравнительно медленно, скорости сдвига малы и вместе с ними малы и силы вязкости. Поэтому во многих задачах, касающихся движения жидкостей и газов вне по­граничного слоя, силами вязкости пренебрегают и пользуются моделью идеальной жидкости.

В большинстве задач гидромеханики предполагается, что ско­рость является непрерывной функцией координат, т. е. меняется плавно от одной точки к другой. Но легко видеть, что плавность изменения скорости является прямым результатом действия вяз­кости, как фактора, сглаживающего различия в скоростях смеж­ных слоев. Для идеальной жидкости допущение непрерывности скоростного поля представляется противоречащим самому опреде­лению идеальной жидкости, так как при отсутствии сил вязкости здесь должно иметь место беспрепятственное скольжение одного слоя по другому, т. е. скачкообразное изменение скорости. В этом b заключается внутреннее противоречие понятия идеальной жид­кости. Мы пренебрегаем силами вязкости в уравнениях движения, пренебрегаем ими как источниками потерь энергии, но не можем пренебречь действием этих сил, как фактора, формирующего не­прерывное скоростное поле.

Жидкость, в которой силами вязкости пренебречь нельзя, назы­вается вязкой жидкостью.

Понятие температуры. Теплопроводность жидкостей.

По своему смыслу температура T суть понятие статистическое и пред­ставляет собой осредненную кинетическую энергию молекул W.

Согласно эмпирическому закону Фурье, поток тепла через единичную поверхность в единицу времени q равен взятому с обратным знаком произведению градиента температуры коэффициент теплопроводности, т. е.

(0.4)

Коэффициент теплопроводности представляет собой поток тепла, возникающий при единичном градиенте.

Скоростью точки сплошной среды называется производная v = dr/dt,

где r – радиус-вектор, определяющий положение точки. Определим среднюю по объему скорость v как отношение количества движения к массе: v_ср = К/М.

Соответственно скорость в точке, к которой стягивается объем, будет

v = lim v_ср = lim К/ М (0.5)

τ→0 τ→0

Действие жидкости, находящейся вне поверхности S, на жидкость, находящуюся внутри S, может быть представлено действием системы сил, распределенных по поверхности S.Выделим на поверхности площадку ΔS.

Пусть n – нормаль к ΔS в какой-то средней точке А. Обозначим через F_n силу, с которой жидкость, находящаяся с той стороны площадки, куда направлена нормаль, действует на жидкость, находящуюся с другой стороны площадки ΔS. Тогда средней поверхностной силой, приходящейся на единицу площади (напряжением), будет вектор τ_{n ср} = F_n/ ΔS. Предел, к которому стремится τ_{n ср}, когда ΔS стягивается к точке А:

(0.6)

определяет напряжение в этой точке.

Рассмотрим основные свойства жидкости. Жидкость есть сплошная среда, которая обладает следующим свойством: в случае, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, в ней наблюдается только нормальные напряжения и отсутствует касательные. Наблюдающиеся нормальные напряжения в жидкости являются большей частью напряжениями сжатия, но не растяжения. В газах вообще не наблюдаются напряжения растяжения. В реальных капельных жидкостях напряжения растяжения могут иметь место, но они невелики.

В механике жидкости и газа наряду с векторными величинами рассматриваются еще и тензорные, каковыми являются такие основные физические понятия, как скорость деформации и напряженное состояние среды, перенос количества движения или другой какой-нибудь векторной величины. Особое значение приобретают понятия векторного и тензорного поля с присущими им операциями векторного и тензорного анализа.

Элементы тензорного исчисления

Объекты различной физической природы требуют при матема­тическом описании различного числа компонент. Так скалярные величины тина температуры, плотности, давления могут быть пол­ностью охарактеризованы только своими численными значениями. Другие являются лекторами (перемещение, скорость, ускорение, сила, момент силы и т. д.). Для их определения надо указать не только численное значение величины, но и ее направление в про­странстве. Однозначно заданы они могут быть совокупностью трех величин, например проекциями па осп какой-либо координатной системы. Примерами более сложных объектов являются тензор напряжений и тензор скоростей деформаций в жидкости, требую­щие дли своего описания девяти компонент. Свойства анизотроп­ных тел определяются совокупностью 81 величины и т. д.

Удобно с целью унификации назвать скалярные величины тен­зором нулевого ранга (3° - одна компонента), векторные — тензо­ром первого ранга (3¹ — три компоненты}, тензор второго ранга требует 3² величин, четвертого — - З⁴ и т. д. Таким образом, прихо­дим к понятию тензора п-го ранга, имеющего 3ⁿ компонент, и будем с этих позиций рассматривать операции над конкретными физическими объектами.

Примером возникновения понятия тензоров может служить на­пряженное состояние в жидкости. Напряжение есть сила внутрен­него взаимодействия частиц жидкости, отнесенная к единице пло­щади. Ее векторное описание в принципе невозможно, ибо помимо величины и направления в пространстве должна быть также известна ориентация площадки, к которой она приложена. Чтобы избавиться от последнего ограничения, напряжение в точке сле­дует выразить через три величины, приложенные к площадкам строго фиксированным в пространстве. В качестве последних удобно выбрать координатные поверхности пли плоскости в случае декартовых координат. Тогда сила, приложенная к каждой из этих поверхностей, является уже вектором и может быть задана тремя компонентами, а всего их, естественно, будет девять.

Напряжение, как мы видели, записывается в виде матрицы (Р_ij):

. (0.7)

Отметим, что для тензоров вообще удобна матричная запись. При этом скалярная величина запишется просто (а).

Если - вектор, то будем иметь матрицу-столбец

. (0.8)

Для тензора второго ранга (a _ij) (i,j— 1, 2, 3) матрица имеет

вид

(0.9)

Суммой (разностью) тензоров является тензор, компоненты ко­торого представляют собой сумму (разность) компонент слагае­мых. Для тензора второго ранга, например, имеем

c_ij= a _ij+b _ij

Ясно, что складывать (вычитать) можно лишь тензора одного ранга и в результате получаем тензор того же ранга. По сути дела речь идет о сложении или вычитании двух аналогичного вида матриц.

Умножение тензора на скалярную величину α сводится к умно­жению на нее всех его компонент, т. е. α (a_ij) = (αa_ij).

Внешним произведением тензоров называется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Его компоненты представляют собой всевозможные комбинации произведений ком­понент сомножителей. Пример произведения тензоров первого ранга дает диада ( - скорость)

. (0.10)

В итоге получаем тензор второго ранга. Аналогично при умножении тензоров второго ранга a_ij, b_km получаем тензор четвертого ранга aijkm =a_ijb_km.

Существует тензор, называемый единичным, при умножении на который каждый тензор 2-го ранга переходит сам в себя. Он обозначается U, а его компоненты δ_ij, , причем δ_ij=1, если i=j и δ_ij=0, если i≠j

Таким образом,

. (0.11)

Легко удостовериться, что

(0.12)

Тензор может быть симметричным или антисимметричным по паре индексов, если при их взаимной перестановке его компоненты или не меняются (симметричный) или изменяют свой знак на про­тивоположный (антисимметричный).

Поэтому, если S_ij симметричный тензор, то

S_ij = S_ji

Легко убедиться, что это эквивалентно равенству компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали, так что справедливо следующее:

(0.13)

Следовательно, у симметричного тензора имеется лишь шесть не­зависимых компонент.

Для антисимметричного тензора A_ij должно выполняться усло­вие

A_ij = -A_ji.

Ясно, что все диагональные элементы антисимметричного тен­зора равны нулю, при i = j имеем A_ii = -A_ii , т, е. величина равна себе самой с обратным знаком, что означает А_ii = 0. Матрица для антисимметричного тензора имеет вид

(0.14)

В этом случае имеется три независимых компоненты.

Любой тензор второго ранга a_ij может быть разложен на сумму

симметричного и антисимметричного тензоров, т.е.

(0.15)

Обозначая и , видим что S_ij = S_ji и A_ij = -A_ji.

Все рассмотренные операции над тензорами отражают конкретные свойства величин, с которыми приходится сталкиваться в раз­личных областях физики и, в частности, гидромеханике.