Уравнения в ортогональных координатах

Теперь мы можем приступить к выводу сформулированных выше законов сохранения в любых ортогональных координатах.

1. Уравнения неразрывности. Полагая в (Б.12) α≡ρ, мы можем сразу записать

(Б.18)

Или с учетом (Б.17)

. (Б.18').

2. Уравнения движения. Учитывая формулы (Б.11), (Б.15), (Б.16), мы вместо (8,7) должны записать уравнение вида:

(Б.19).

3. Уравнение теплопроводности. Оно может быть получено на основе формул (Б.13), (Б.17), где φ≡Т. Формулу для диссипативной функции дадим без предварительного вывода, который в принципе прост, но слишком громоздок. Тогда вместо (9.11) получим

(Б.20)

Уравнения для случая общих неортогональных систем координат могут быть представлены в следующем виде:

Неразрывности

Количества движения

Теплопроводности

Все они составлены для случая контравариантных компонентов. Здесь G – фундаментальный определитель метрического тензора ‌||g_ik||; g^ik – контравариантная производная контравариантного вектора. Остальные обозначения сохранены.

Цилиндрические и сферические координаты

Теперь обратимся к наиболее употребительным цилиндрическим и сферическим координатам и запишем их с помощью уравнений (Б.18), (Б.19), и (Б.20).

1. Цилиндрические координаты. q₁=r, q₂=φ q₃=z; υ₁=υ_r, υ₂=υ_φ, υ₁=υ_z (рис. Б.3)

Рис. Б.3

При этом декартовы координаты связаны с цилиндрическими формулами: х₁ =r cos φ, x₂ = r sin φ, x₃=z (х₁= х, х₂=у, х₃=z).

По формулам (Б. 8) легко найти, что Н₁ = 1, H₂=г, H₃=1. Подставляя эти значения H_i, в (Б. 18), (Б. 19), (Б.20) соответ­ственно будем иметь:

Уравнение неразрывности

(Б.21)

Уравнение динамики в проекции на оси координат

(Б.22)

, (Б.22')

; (Б.22'')

Уравнение теплопроводности

(Б.23)

Рис. Б.4

2. Сферические координаты. Рассмотрим сферическую систему координат на земле, направив ось г по радиусу Земли, θ —угол до­полнения к широте, λ — долгота (рис. Б.4). В этом случае q₁= r, q₂= θ, q₃= λ, υ₁= υ _r, υ₂= υ _θ, υ₃= υ _λ. При данном выборе коорди­нат ω_λ =0, ибо угловая скорость вращения Земли перпендикуляр­на широтным кругам.

Из рисунка ясно, что х = r sin θ cos λ, у=r sin θ sinλ, z=r cosθ По формуле (Б. 8) находим, что Н₁ = 1, Н₂=г, Нз=r sinθ. Тогда уравнения (Б. 18'), (Б. 19) и (Б. 20) соответственно за­пишутся в виде:

; (Б.24)

, (Б.25)

(Б.25')

(Б.25'')

(Б.26)

§ 5. Турбулентные уравнения в криволинейных ортогональных координатах

К ранее выведенным уравнениям (Б. 19) и (Б. 20) нам необхо­димо подключить члены отражающие, турбулентные потоки коли­чества движения и тепла. Поэтому прежде всего остановимся на выводе выражений для тензора скоростей деформаций, где ско­рости понимаются как осредненные. Для этого рассмотрим инва­риант δs² (δs — элемент дуги в пространстве).

В любых ортогональных координатах

Продифференцировав последнее соотношение по времени,

Получим

Поскольку , то справедливы следующие равенства:

, .

Учитывая последние выражения, будем иметь

.

Или, ввиду того что , получим

(Б.27)

В прямоугольных декартовых координатах H_i=1, поэтому , и, как легко видеть,

Сравнивая последнее выражение с (2.13), мы убеждаемся, что множителями при элементарных площадках являются со­ставляющие тензора скоростей деформаций. Естественно, что это же имеет место и в любых других системах координат, т. е. можно записать

. (Б.28)

Из (Б.28), (Б.27), опуская элементарные промежуточные выкладки, находим

; (Б.29)

. (Б.30)

Все прочие выражения получаются из предыдущих циклической перестановкой чисел 1, 2, 3. Для случая цилиндрических коорди­нат из (Б. 29) и (Б. 30) следуют следующие выражения для со­ставляющих тензора турбулентных напряжений (17.13):

,

(Б.31)

Для сферических координат:

.

,

(Б.32)

Дивергенция тензора турбулентных напряжений может быть записана как:

(Б.33)

Таким образом, правая часть уравнения (Б.19) измениться за счет того, что вместо членов молекулярного трения, входящих в уравнение с множителем μ, мы должны писать соотношения (Б.33). Соответственно дивергенция тензора в цилиндрических координатах имеет вид:

(Б.34)

В сферических:

(Б.35)

Добавляя к правой части (Б.19), (Б. 22), (Б. 25) турбулент­ные члены соответственно (Б.ЗЗ), (Б. 34), (Б. 35) и опуская моле­кулярные, мы получим уравнения движения турбулентного по­тока.

Что касается уравнения неразрывности, то его вид (Б. 18) в случае пренебрежения пульсациями плотности при осреднении не меняется. При этом под скоростью и плотностью следует пони­мать их осредненные величины.

В уравнении теплопроводности дивергенцию турбулентного по­тока тепла в ортогональных координатах, согласно. (Б.12), можно записать в виде:

(Б.36)

Для цилиндрических координат:

Б.37

Для сферических координат:

В (Б. 20), (Б. 23), (Б. 26) также прибавляем к правой части соответственно выражения (Б. 36) либо (Б. 37) или (Б. 38) и, опуская молекулярный поток тепла и члены с диссипацией, полу­чаем турбулентные уравнения притока тепла.