Уравнения движения во вращающейся системе координат ортогональные координаты

При аналитическом описании физических явлений, как пра­вило, используется координатный метод. Выбор системы коорди­нат носит, в известной мере, субъективный характер. Поэтому естественно поставить вопрос, во-первых, о математической формули­ровке какой-либо физической задачи, выраженной в самой общей инвариантной форме, независящей от системы координат; и, во-вторых, о переходе от обобщенной записи к конкретной с использованием той координатной сетки, которая наиболее целе­сообразна при решении поставленного вопроса.

Ниже мы приведем основные сведения, касающиеся методов записи уравнений в инвариантной форме и способов их преобразо­вания при переходе от одной координатной системы к другой. При этом основное внимание будет уделяться наиболее употребитель­ным в практике ортогональным системам координат.

Наиболее часто используются декартовы косоугольные или прямоугольные координаты (х, у, z)=(х₁, х₂, х₃) . Однако, наряду с ними, широко применяются криволинейные координаты q₁, q₂, q₃ (переход к криволинейным координатам производится с целью упрощения рассматриваемой задачи, так как за счет их удачного выбора можно упростить уравнения или уменьшить число аргументов. Например, при наличии осевой симметрии вводят цилиндрические координаты, получая двумерную задачу, так как рассматриваемое явление не зависит от угла порота). Криволинейные координаты однозначно связаны с декартовыми,

т. е.

q₁ = q₁ (x₁, x₂, x₃); q₂ = q₂ (x₁, x₂, x₃); q₃ = q₃ (x₁, x₂, x₃)

и обратно

x₁ = x₁( q₁, q₂, q₃); x₂ = x₂(q₁, q₂, q₃); x₃ = x₃(q₁, q₂, q₃)

Условие q₁ = const определяет координатную поверхность. Ясно, что координатные поверхности, соответствующие одной и той же координате, не пересекаются между собой. Наоборот поверх­ности, отвечающие q_i = const и q_j = const, пересекаясь образуют координатную линию q_k = const. Каждая точка пространства фик­сируется как результат пересечения трех координатных поверх­ностей или двух координатных линий. В качестве примера ука­жем, что в цилиндрической системе координат (R, φ, z) коорди­натными поверхностями являются:

R = const— круговой цилиндр,

φ = const — полуплоскость,

z = const— плоскость перпендикулярная оси z, а координатные линии:

R = const, φ = const — прямая,

φ = const, z = const — прямая,

R = const, z = const — окружность.

Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямо­угольной системе координат может быть представлен как

=x₁ +x₂ +x₃ x_i (Б.1)

где — орты.

Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямоугольной системе координат может быть представлен как

+, (1)

где - орты.

Расстояние между двумя близкими точками соответственно запишется в виде

. (2)

Перейдя к ортогональной криволинейной системе координат q_1, q₂, q₃, мы можем рассматривать как диагональ элементарного криволинейного параллелепипеда, образованного координатными поверхностями.

Если ds_j (j = 1,2,3) есть длины ребер, то

, (3)

где – орты рассматриваемой системы координат.

Величины ds_j можно записать через координаты dq_j, введя коэффициенты пропорциональности H_j, называемые параметрами Ламе. Тогда

. (4)

Теперь вместо (3) будем иметь выражение

. (5)

Дифференцируя (5) по каждой из координат, получим

.

Возведем в квадрат обе части последнего равенства. Это равносильно скалярному умножению левой и правой частей уравнения на себя, т.е.

.

Или, поскольку e_j – орты, то .

Поэтому

. (6)

В свою очередь, продифференцировав (1), приходим к соотношению

.

Откуда

. (7)

Подставляя (7) в (6), находим

или

. (8)

Элемент поверхности с учетом (4) можно записать в виде

. (9)

Элемент объема :

. (10)

ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Рассмотрим теперь некоторые дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах.

1. Градиент скалярной величины. Согласно определению гра­диента скалярной величины φ его проекции на координатные ли­нии

2. Дивергенция потока. По своему физическому смыслу дивер­генция — это разность потоков свойства α, переносимого жидкостью, втекающих в единичный объем и вытекающих из него за единицу времени. Рассмотрим элементарный объем dτ (рис. Б.1) Через площадку dσ =ds₂ds₃ втекает — αυ₁ds₂ds₃, а вытекает. Знак минус в первом потоке появляется за счет того, что он направлен против внешней нормали). Их сумма или, с учетом (Б.4), .Аналогично, для площадокds₁ds₃ и ds₁ds₂, соответственно: и. Общая сумма, отнесенная к объему (Б. 10), дает нам дивергенцию

(Б.12)

3.Оператор Лапласа скалярной функции φ. На основании фор­мулы векторного анализа ∆φ =divgrad φ, учитывая (Б.11) и (Б.12) можно записать, что

(Б.13)

Здесь роль αυ_i играют компоненты градиента

4. Вихрь (ротор) скорости (). На основании формулы Стоксаиспользуя теорему о среднем, можно записать, что.

Для элементарной координатной поверхности (рис. Б. 2) dσ₃ последнее соотношение

Рис. Б.2

можно переписать в виде

Знак осреднения опущен, ибо в пределе мы имеем точное равен­ство.

При указанном на рисунке направлении обхода и скорости это равенство можно развернуть и представить в виде

Имея в виду, что ds_i=H_idq_i и , получаем

Аналогично могут быть получены Ω₁ и Ω_2, так что, обобщая, можно записать

(Б.14)

где i, j, k образует циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.

5. Оператор Лапласа для вектора скорости. Для отыскания его выражения следует воспользоваться формулой векторного анализа ∆=grad div -rot rot . Выведенных выше соотношений вполне достаточно для того, чтобы найти проекции ∆на оси координат. Опуская элементарные, но весьма длинные вкладки сразу запишем

(Б.15)

6. Конвективная производная скорости. В векторном анализе выводиться формула

, (а)

или в координатной форме

(б)

Поскольку скалярное произведение должно быть неизменно в любой системе координат, то, например, приi=1 можно записать

. (в)

Соответственно при i=1 два последних слагаемых в соотношении (б) будут ₃-._.Раскрывая ина основании (Б.14), получимСкладывая последнее выражение с (в), будем иметь

Аналогично могут быть получены формулы для i=2, 3. В общем виде выражение для конвективной производной можно представить как

. (Б.16)

7. Конвективная производная для скалярной функции φ. Как известно она может быть записана в виде скалярного произведения

(gradφ) =. (Б.17)