2. Скорости и перемещения бесконечно малого объема сплошной среды

1. Тензор скоростей деформации.

Скорости и перемещения точек жидкой частицы. Тензор скоростей деформации. Физический смысл его компонент. Инварианты тензора скоростей деформации

Теорема Гельмгольца (1): скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс А, с угловой скоростью ω = ½Ω = ½ rot υ, и скорости деформации

υ_д = grad F. Скорость деформации является потенциальным вектором, где F – квадратичная функция. Проекция вектора υ

υ_дx = ε_xxξ + ε_xyη + ε_xzζ

υ_дy = ε_yxξ + ε_yyη + ε_yzζ (1.2.1)

υ_дz = ε_zxξ + ε_zyη + ε_zzζ

.

Скорость деформации связана с таблицей ε, которая симметрична:

. (1.2.2)

Эта таблица определяет тензор второго ранга. Его всегда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Симметричный тензор второго ранга называется тензором скоростей деформаций.

Докажем тензорный характер величин ε_ik.. Имеем равенство

υ_в = υ_А + ½Ω×ρ + grad F.

υ_в, υ_А – векторы, Ω×ρ – произведение псевдовектора Ω на вектор ρ – также вектор. Следовательно, υ_д – тоже вектор. Рассмотрим υ_д∙ ρ. Это произведение – скаляр, инвариант ( проекция υ_д на ρ, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как υ_д = grad F, имеем

υ_д∙ ρ = ∂F ∙ ξ₁ + ∂F ∙ ξ₂ + ∂F ∙ ξ₃

∂ξ₁ ∂ξ₂ ∂ξ₃

Но F ( ξ₁, ξ₂, ξ₃) – однородная функция второй степени. По теореме Эйлера об однородных функция можно записать υ_д∙ ρ = 2F. Таким образом , F – инвариант, не зависящий от системы координат.

Если рассмотреть две системы координат и взять за старые координаты

ξ₁, ξ₂, ξ₃, а за новые - ξ′₁, ξ′₂, ξ′₃, выразить старые координаты через новые и сделать некоторые преобразования, получим

ε′_mn = Σ³_{i = 1}Σ³_{j = 1}ε_ij α_mi α_nj – формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой.

С тензором скоростей деформации связана квадратичная форма F. Всегда можно ввести такие координаты ξ₁, ξ₂, ξ₃, в которых квадратичная форма примет вид F = ε₁ ξ²₁ + ε₂ ξ²₂ + ε₃ ξ²₃. В этих координатах тензор скоростей деформаций будет

.

Оси, в которых тензор имеет такой вид, называются главными осями тензора скоростей деформаций, величины ε₁, ε₂, ε₃ – главными скоростями деформаций. Известно, что ε₁, ε₂, ε₃ являются корнями кубического уравнения.

- λ³ + І₁λ² – І₂λ + І₃ = 0

ε_i – инварианты, инвариантами должны быть и коэффициенты I₁, I₂, I₃. Эти коэффициенты называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций.

Тензор ε, при помощи которого в каждой точке жидкости, может быть определено поле скоростей деформационного движения элементарного жидкого объема, заключающего внутри себя точку, в которой тензор задан, как уже известно, носит название тензора скоростей деформации, а отдельные величины таблицы – его компонент. Компоненты ε _xx, ε _yy, ε _zz – называются диагональными, остальные - недиагональными.

Выражения для компонент скорости деформации имеют вид (1.2.1). Скорость деформации υ_д будет определена для любой точки (при известных ξ, η, ζ) частицы, если задана таблица (1.2.2). Выясним физический смысл величин ε_ik – компонент тензора скоростей деформаций. Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть ε_xx ≠ 0, все остальные ε_ik = 0. В этом случае тензор

(1.2.3)

Диагональные элементы тензора скоростей деформаций – относительные скорости равномерного растяжения элементарного объема вдоль координатных осей.

2. Пусть ε_xy = ε_yx ≠ 0, все остальные ε_ik =0. Тогда

(1.2.4)

Недиагональные элементы тензора имеют смысл скорости скашивания угла между отрезками, направленными параллельно осям координат.

В общем случае деформацию элементарного объема можно представить как суперпозицию деформаций растяжений (сжатий) относительно трех координатных осей и деформаций сдвига. Если тензор скоростей деформаций отнести к главным осям ξ, η, ζ, общая деформация частицы может быть представлена как деформация растяжения относительно трех главных осей деформации. Но если тензор нулевой в главных осях, то он будет нулевым и во всех других осях. В этом случае и все инварианты тензора ε равны нулю.

2. Вихрь (ротор) скорости.

Вихрь скорости. Смысл компонент вихря скорости. Вихревые линии, вихревые трубки. Теоремы гельмгольца.

Напомним, что в математическом анализе под ротором какой-либо векторной величины , подразумевается векторное произве­дение

, (1.2.5)

где

- оператор Гамильтона, представляющий собой символический вектор с проекциями = (, , - единичные орты в направлении осей x, y, z).

Ротор скорости , согласно данному выше определению, должен записаться в виде

, (1.2.6)

Обратимся к физической интерпретации ротора скорости. Рассмотрим скорость вращения твердого тела вокруг какой-либо точки. Как известно, она равна

=,

где = - радиус-вектор.

В проекции на оси координат:

, , =.

Найдем . В проекции на ось x имеем

Таким образом, равна угловой скорости вращения частицы жидкости как твердого тела вокруг оси x.

Скорость любой точки жидкой частицы может быть представлена в виде

υ_в = υ_А + ½×ρ + υ_д

где υ_А – скорость полюса, υ_д – чисто деформационная скорость, ½×ρ – скорость точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы с угловой скоростью ½Ω. Вектор

= rot = 2 (1.2.7)

– удвоенная угловая скорость, с которой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, проходящей через точку, принятую за центр. Проекции вихря скорости

Ω_x = ∂υ_y - ∂υ_z = 2ω_x,

∂_z ∂_y

Ω_y = ∂υ_x - ∂υ_z = 2ω_y,

∂_z ∂_x

Ω_z = ∂υ_y - ∂υ_x = 2ω_z.

∂_x ∂_y

Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения относительно этой оси. Поэтому проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.

Вихревые линии и вихревые поверхности. Вихревая трубка

В общем случае объем жидкой частицы при своем движении деформируется и поворачивается, как целое, с угловой скоростью ½Ω. Чтобы лучше представить себе эту совокупность вращающихся частиц, вводят понятие вихревых линий. Вихревой линией называется линия в данный момент времени, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря в этой точке. Дифференциальные уравнения вихревой линии

dx = dy = dz

Ω_x Ω_y Ω_z.

Рис. 1.13.

Векторные линии поля векторов rot носят название вихревых линий. Это значит, что вихревая линия представляет собой такую линию, которая в каждой своей точке касается векторов или векторов угловой скорости вращения частиц, равных . (рис. 1.13.)

Элементарные частицы жидкости, расположенные на вихревой линии, вращаются вокруг этих векторов. Поэтому вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения, т. с. играет роль криволинейной оси вращения для расположенных на этой линии частиц.

Поверхность, образуемая вихревыми линиями, проходящими через каждую точку произвольно проведенной замкнутой линии, не пересекающей саму себя и не содержащей особых точек, называется вихревой трубкой.

Если замкнутый контур малый (бесконечно малый), то вихревую трубку называют элементарной трубкой, или вихревой нитью.

3. Поток и дивергенция скорости.

Поток вектора скорости. Расход жидкости. Дивергенция скорости. Физический смысл дивергенции скорости. Запись дивергенции в натуральных координатах. Определение вертикальной скорости при движении несжимаемой жидкости.

Поток вектора скорости. Физический смысл

Представим себе, что в поле вектора задана некоторая поверхность σ (рис. 1.14).

Будем полагать, что эта поверхность является ориентированной, т. е. в каждой точке ее задано определенное положительное направление нормали (орт нормали ), причем это направление при перемещении вдоль поверхности меняется непрерывно.

Рис. 1.14.

Таким образом, мы пола­гаем, что задана не только геометрическая форма поверх­ности но и показаны ее «внеш­няя» (та, куда направлены нормали) и «внутренняя» сто­роны. Если поверхность является замкнутой, то приня­то направлять нормали изну­три вовне объема, ограничен­ного поверхностью. Разобьем поверхность на элементарные площадки и составим произведения вида , где - проекция вектора , взятого в произвольной точке площадки , на нормаль. Про­суммируем все подобные произведения и найдем предел этой сум­мы при условии, что все стремятся к нулю, а число их неогра­ниченно возрастает. Этот предел

(1.2.8)

называется потоком вектора через поверхность σ.

По своему смыслу это скалярная величина, численно равная количеству , проходящему через поверхность σ. В частном слу­чае σ может быть замкнута. Тогда дает разность между входящим и выходящим потоками, т. е., в конечном счете, накопление (или наоборот) в объеме τ, стягиваемом поверхностью σ.

Расход жидкости.

Поставим себе задачей установить физический смысл потока вектора скорости через заданную поверхность σ:

Для этого представим себе сначала, что поверхность σ является неподвижной «контрольной» поверхностью, через которую жидкость способна свободно протекать. Легко видеть, (рис. 1.15), что через площадку dσ за единицу времени проходит объем жидкости, заключенный в цилиндре с основанием dσ и образующей .

Величина объема равна . В силу этого соответ­ствует объему жидкости, протекающей через dσ взятому со зна­ком « + », если жидкость течет в сторону нормали, и со знаком «- », если жидкость течёт в противоположном направлении.

Рис. 1.15.

Интеграл равен разности между объемом жидкости, протекающей в сторону, куда направлены нормали, и объемом жидкости, проте­кающей в противоположном направлении. Таким образом, поток скорости через поверхность представляет собой объемный расход. т. е. объем жидкости, протекающей через эту поверхность (счита­ющуюся неподвижной) за единицу времени. Равенство потока нулю при наличии движения возможно лишь в том случае, когда объем жидкости, протекающей в сторону, куда направлены нор­мали, равен объему жидкости, протекающему «внутрь» поверх­ности.

Поток скорости через замкнутую поверхность (нормали к которой направлены вовне) выражает собой общий объем жидкости, вытекающей за пределы пространства, ограниченного поверхностью за единицу времени. В случае несжимаемой жидкости, текущей внутрь поверхности, должен быть равен объему жидкости вытекающей, так как только при этом условии плотность жидкости, заключенной внутри поверхности, может оставаться неизменной. Неравенство нулю потока скорости через замкнутую поверхность возможно лишь в случае сжимаемой жидкости.

Дивергенция скорости

Физический смысл дивергенции скорости.

В курсах математического анализа дивергенция вектора опреде­ляется как

или, через посредство оператора Гамильтона, как скалярное произведение:

Там же выводится формула связи между потоком вектора и его дивергенцией (формула Гаусса-Остроградского):

,

где τ — объем, ограниченный поверхностью σ.

Поэтому для вектора скорости следует записать

, (1.2.9)

Или

И

, (1.2.10)

Последнее выражение расшифровывается следующим образом: объем жидкости, выходящий за единицу времени за пределы τ (или, наоборот, остающийся в нем) равен объемному интегралу от дивергенции скорости. (В случае вытекания дивергенция отри­цательна).

Отсюда легко перейти к физической интерпретации . Для этого, воспользовавшись теоремой о среднем, вынесем в (1.2.10) из-под знака интеграла. Тогда

Поскольку равен разности входящих и выходящих потоков, т.е. , то считая τ малой величиной , последнее выражение можно записать в виде .

Переходя к пределу, получим

Таким образом, дивергенция скорости равна относительному изменению объема фиксированной частицы жидкости в единицу времени. Или, иначе говоря, она представляет собой разность входящих в единичный объем и выходящих из него потоков жидкости за единицу времени.

Запись плоской дивергенции в натуральных координатах.

Дивергенцию двухмерного движения будем называть пло­ской. Для горизонтального движения (параллельно хОу) она за­пишется как

Запишем ее в натуральных координатах, направив ось Ох (l) вдоль горизонтальной линии тока, а ось Оу (п) по нормали к ней влево от направ­ления движения. Тогда имеем (рис. 1.16).

Рис. 1.16

, (1.2.11)

Производная , равная приращению модуля скорости при смещении вдоль линии тока на единицу длины, называется дивергенцией модуля. Она является величиной положительной, если модуль скорости в направлении движения растет, и величиной отрицательной, если модуль скорости в направлении движения убывает. Производная представляет собой угол поворота (в радианах) вектора скорости при смещении по нормали к линии тока на единицу длины. Величина представляет собой часть дивергенции, обусловленную непараллельностью линий тока, раз­личием их направления; поэтому ее часто называют дивергенцией направления. Она является величиной положительной, если , т. е. линии тока в направлении движения расходятся, и величиной отрицательной, если , т. е. линии тока сходятся.

В виде иллюстрации приведем примеры дивергенции модуля и дивергенции направления различных знаков (рис. 1.17).

В общем случае негоризонтального движения дивергенция скорости может быть представлена в виде

,

где представляет собой дивергенцию горизонтальной составляющей скорости, которую мы можем представить в виде суммы дивергенций модуля и дивергенции направления. Тогда будем иметь

, (1.2.12)

где υ — модуль скорости горизонтального движения.

Рис. 1.17

Определение вертикальной скорости при движении несжимаемой жидкости

Из физического смысла дивергенции скорости ясно, что для несжимаемой жидкости она равна нулю, ибо в этом случае не может быть накопления или уменьшения жидкости в единичном объеме. (Входит столько же сколько и выходит). Таким образом,

.

(В случае плоского движения )

При горизонтальном движении, пользуясь натуральными координатами, будем иметь

Из последнего соотношения следует, что в случае плоско-параллельного движения несжимаемой жидкости положительная дивергенция направления (расхождение линий тока в направлении движения) сопровождается отрицательной дивергенцией модуля, т.е. убыванием модуля скорости вдоль линий тока (рис. 1.18. а). Напротив, при сближении линий тока в направлении движения имеет место возрастание скорости (рис.1.18.б)

Рис. 1.18 Рис. 1.19

Остановимся на вопросе об оценке знака и величины скорости вертикальных движений в атмосфере. При грубых оценках воздух можно рассматривать как жидкость несжимаемую, т.е. можно пользоваться равенством .

Если направить ось Оz по вертикали вверх, то поток можно представить в виде

,

где - дивергенция горизонтальной составляющей скорости, равная либо , либо . Таким образом,

.

Это значит, что положительная дивергенция горизонтальной составляющей скорости (т.е. вектора скорости ветра на синоптических картах) сопровождается уменьшением вертикальной составляющей скорости в направлении снизу вверх (рис.1.19)

Отрицательным значениям соответствует рост с высотой.

Полагая начало координат находящимся на земной поверхности и интегрируя последнее равенство от нуля до некоторой высоты h, имеем

Или

где есть среднее значение дивергенции горизонтальной составляющей скорости. Так, например, в области повышенного давления в слое трения имеет место (рис.1.20.а), что обусловлено действием сил трения. Этому соответствует , т.е. в области повышенного давления имеют место нисходящие движения воздуха. Напротив, в области пониженного давления, где (рис. 1.20.б), .

Рис. 1.20

4. Понятие и физический смысл циркуляции скорости.

Циркуляция вектора скорости. Примеры определениея циркуляции скорости. Ускорение циркуляции.

Понятие и физический смысл циркуляции скорости

Циркуляция вектора скорости.

Пусть в поле вектора проведена замкнутая кривая l, не пересекающая саму себя и не содержащая особых точек. Будем называть ее конту­ром l, если дополнительно задано направление обхода, т. е. ориентация кривой. В каждой точке контура определен вектор и, следовательно, его проекция на .

Циркуляцией вектора по контуру называется криволинейный интеграл от проекции вектора на контур, т. е. . Он считается положительным, если направление интегрирования совпадает с ориентацией контура, и отрицательным, если контур ориентиро­ван противоположно. (Положительная ориентация соответствует случаю, когда внешняя нормаль при обходе остав­ляет контур слева).

Выражение для циркуляции, согласно определению, может быть записано в одной из следующих форм:

Соответственно, циркуляция вектора скорости:

(1.2.13)

Примеры определения Г.

Чтобы нагляднее понять смысл Г можно представить себе, что с контуром совпадает лента, на ко­торой имеется большое число лопастей (рис. 1.21). Если циркуля­ция скорости положительна, то лопасти будут двигаться в на­правлении ориентации контура; если же она отрицательна, то лопасти будут двигаться в на­правлении, противоположном ориентации контура.

Рис. 1.21

Пример 1. Поток представ­ляет собой вихрь с радиусом ядра и угловой скоростью вращения жидкости в ядре а, причем вращение происходит против часовой стрелки (рис. 1.22).

Найдем циркуляцию скорости по контуру АВСDА, лежащему внутри ядра и ограниченному двумя дугами АD и ВС, радиусы ко­торых , и отрезками АВ и DС радиусов, угол между ко­торыми равен α.

Рис.1.22

Направление обхода контура полагаем про­тивоположным движению часовой стрелки.

На участках АВ и СD , так как здесь вектор скорости перпендикулярен к пути интегри­рования, на участке ВС , на участке DА посколь­ку в последнем случае скорость направлена по касательной в сто­рону, противоположную направле­нию обхода. Таким образом,

Если изменить ориентацию контура, т. е. производить обход в направлении движения часовой стрелки, то циркуляция изменит знак, сохранив свою абсолютную величину.

Пример 2. Найдем в том же потоке циркуляцию скорости но контуру l, представляющему собой окружность радиуса r₅, охва­тывающую ядро и обходимую в направлении, противоположном часовой стрелке:

Пример 3. Линии тока представляют собой прямые, параллельные оси Ох причем величина скорости меняется по закону (рис. 1.23) Найдем циркуляцию скорости по контуру АВСDА, где AB=CD=m, AD=DC=n

Рис. 1.23

Поскольку на участках BC и DA , а на участке CD

Таким образом,

Циркуляция в плоском движении

В приведенных выше при­мерах рассматривалась циркуляция скорости в ряде конкретных случаев плоско-параллельного движения, причем брались контуры, лежащие в плоскости движения. Установим важное для дальней­шего свойство циркуляции при плоском движении; в случае плоско-параллельного движения циркуляция скорости по любому контуру равна циркуляции скорости по проекции этого контура на плоскость движения.

Для доказательства представим элемент контура в виде вектор­ной суммы:

+ где представляет собой составляющую элемента , лежащую в плоскости движения, а — составляющую, перпендикулярную к этой плоскости (рис.1.24). Тогда .

Второй интеграл правой части равен нулю, так как во всех точках контура . В первом интеграле берется в точках кон­тура, в то время как пред­ставляет собой элемент проек­ции контура на плоскость движения.

Но так как в слу­чае плоско-параллельного дви­жения во всех точках прямой, перпендикулярной к плоскости движения, скорость имеет одну и ту же величину, то представляет собой скорость в соответствующих точках контура и, следовательно:

,

или

,

что и нужно было доказать.

Рис. 1.24

Из доказанного положения следует, в частности, что циркуляция скорости по любому контуру, лежащему в плоскости, перпен­дикулярной к плоскости движения, будет равна нулю.

Ускорение циркуляции (1 теорема Томпсона)

Будем называть жидким контуром непрерывный ряд одних и тех же частиц жидкости, образующих замкнутую линию, на кото­рой задано направление обхода (ориентация). Во время переме­щения эта линия деформируется (растягивается или укорачивает­ся), но можно показать, что в непрерывном скоростном поле она все время остается замкнутой. Приращение тех или иных величин при элементарном перемещении вдоль контура, положение кото­рого в некоторый момент зафиксировано, будем обозначать бук­вой δ. В соответствии с этим циркуляция скорости по контуру в данный момент времени определяется выражением

При движении жидкости циркуляция скорости по данному жидкому контуру будет меняться. Это будет происходить как за счет изменения каждого элемента δl длины контура, его растя­жения или укорачивания, так и за счет изменения , поскольку меняется модуль вектора и наклон вектора по отношению к эле­менту контура. Это видно из рис. 1.25, где показано положение контура в два последовательных момента времени t₁ и t₂. Субстанциональная производная

, (1.2.14)

т. е. приращение циркуляции скорости по жидкому контуру при перемещении контура за единицу времени, условно называется ускорением циркуляции.

Наряду с вектором скорости в каждой точке потока в данный момент времени можно определить вектор ускорения соответствую­щей частицы и тем самым выделить поле ускорения. При этом цир­куляция ускорения по контуру в данный момент времени опреде­лится выражением

Теорема Томпсона

Ускорение циркуляции равно циркуляции ускорения.

Ч

д1

Рис. 1.25

Для доказательства произведем дифференцирование в правой части равенства (1.2.14):

Первое слагаемое правой части выражает собой вклад в из­менение циркуляции, обусловленный исключительно изменением проекции скорости. Второе слагаемое представляет собой часть изменения, обусловленную удлинением (в алгебраическом смысле) элементов контура при его перемещении. Производная вы­ражает собой величину удлинения отрезка δl за единицу времени. Легко видеть, что это удлинение может произойти лишь в резуль­тате различия касательных составляющих скорости на концах элемента (рис. 1.26). За малый отрезок времени ∆t начало элемента пройдет в направлении касательной расстояние , конец -

расстояние и приращение длины элемента окажется равным . За единицу времени удлинение составит . Таким образом,

и

поскольку интегрирование по замкнутому контуру в том случае, когда под интегралом находится полный дифференциал, дает нуль. Поэтому

что и доказывает теорему. Итак,

, (1.2.15)

Рис. 1.26

5. Связь между циркуляцией скорости и полем ротора скорости.

Физический смысл взаимосвязи завихренности и циркуляции. Интенсивность вихревой трубки.

Физический смысл взаимосвязи завихренности и циркуляции

Предположим, что в поле вектора скорости имеется поверхность σ, натянутая на некоторый контур . Если во всех точках этой поверхности вектор определен и непрерывен вместе со своими частными производными, то справедлива теорема Стокса, которую можно перефразировать по отношению к скорости. Именно:

При этом ориентация нормалей к поверхности связана с ориента­цией контура правилом правого винта.

Или, используя общепринятое обозначение :

( 1.2.16)

Если взять малые и , то, воспользовавшись тео­ремой о среднем из (1.2.14), получим

В пределе

(1.2.17)

т.е.

Таким образом, мы убеждаемся, что наличие циркуляции по бесконечно малому контуру ∆l> 0, связано с наличием потока вихря через площадку ∆σ→0, выражаемого величиной ∆Г и ∆σ. Или, в предельном случае, наличием Ω_п. в рассматриваемой точке.

Для того, чтобы дать физическое истолкование связи между циркуляцией и потоком вихря, рассмотрим произвольную поверх­ность σ, ограниченную контуром l. Разобьем эту поверхность на малые площадки ∆σ, ограниченные элементарными контурами dl, которые мы будем считать ориентированными так же, как и кон­тур l. В этом случае

(1.2.18)

где dГ — циркуляция по контуру, ограничивающему площадку dσ.

Действительно, как видно из рис.1.27, линейные интегралы по общим участкам соседних контуров будут иметь одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки. Поэтому при суммировании циркуляции по всем элементарным контурам в результате останутся лишь линейные интегралы по участкам, лежа­щим на контуре l, сумма которых дает =Г.

Таким образом, можно констатировать, что наличие циркуляции обусловлено завихренностью жидкости или, иначе говоря, враще­нием жидкости в каждой точке с угловой скоростью .

Рис. 1.27

Применим формулу (1.2.16) к вычислению циркуляции ско­рости в примерах. В примере 1 ротор скорости направлен от чертежа к читате­лю и по модулю равен 2 а. Беря за поверхность σ плоскость кон­тура АВСDА и учитывая, что нормали к поверхности σ по на­правлению будут совпадать с , получаем

В примере 2 на поверхности, не принадлежащей ядру. Поэтому

Легко видеть, что этой же величине будет равна циркуляция по любому контуру, охватывающему ядро вихря.

Наконец, в примере 3 ротор скорости направлен вглубь чер­тежа и по модулю равен k. Поэтому

Как видно, с помощью теоремы Стокса мы пришли к тем же результатам, что и при непосредственном вычислении циркуляции скорости.

Интенсивность вихревой трубки

Прежде всего, определим интенсивность вихревой трубки как величину потока вихря, про­ходящего через какое-либо ее сечение, и далее выявим ее основное свойство. Для этого рассмотрим объем τ, заключенный внутри вихревой трубки и ограниченный двумя произвольно выбранными основаниями σ₁ и σ₂ (см. рис. 1.28). В соответствии с формулой (1.2.10), можно записать

(1.2.19)

(σ = σ₁ + σ₂ + σ₃, σ₃ - боковая поверхность). В векторном анализе доказывается равенство . Если подинтегральная функ­ция непрерывна и дифференцируема, что мы предполагаем, то это означает равенство нулю правой части. Таким образом,

Или, что эквивалентно:

В этом равенстве перед первым интегралом взят знак минус, ибо мы считаем, что поток втекает через σ₁, т. е. направлен про­тив внешней нормали. Кроме того, , ибо σ₃, есть по­верхность трубки тока, в си­лу чего . Таким обра­зом приходим к равенству:

(1.2.20)

Рис. 1.28

Оно означает, что интен­сивность вихревой трубки есть величина постоянная. Из (1.2.18) ясно также, что количество вихревых ли­ний, вошедших через одно сечение, равно количеству вошедших через другое. Отсюда следует вывод, что внутри трубки тока вихревые линии не могут ни начинаться, ни заканчиваться, ибо иначе это привело бы к нарушению равенства. (Но они могут замыкаться сами на себя). Поскольку циркуляция по любому контуру, охватывающему вихревую трубку, согласно формуле Стокса , то,

учитывая полученный выше результат , будем иметь

(1.2.21)

(5.9)

Следовательно, циркуляция по любому контуру, охватываю­щему вихревую трубку, равна одной и той же величине. Это означает, например, что если в сосуде с небольшим отверстием жидкость, в силу каких-либо причин, начала вращаться, то при истечении она будет резко закручиваться. (Стенки сосуда можно трактовать как вихревую поверхность).

6. Функция тока и потенциал скорости.

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Определение функции тока по заданному полю скорости. Потенциал скорости. Потенциальные течения. Плоские течения. Примеры определения потенциала скорости по заданному полю скорости.

Функция тока и потенциал скорости

Для определения поля скорости в общем случае нужно найти три скалярные функции координат и времени v_x, v_y и v_z. Однако в некоторых случаях движения существует такая скалярная функ­ция, производные которой по координатам равны проекциям ско­рости. В этих случаях для определения поля скорости достаточно найти одну лишь эту функцию, что значительно упрощает задачу. Такой функцией в одних случаях служит функция тока, в других— потенциал скорости.

Функция тока для плоско-параллельного движения несжимаемой жидкости

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Рассмотрим плоско-параллельное движение. Функцией тока будем называть такую скалярную функцию координат и времени, градиент которой равен по модулю скорости, но повернут относительно вектора скорости на 90°, в одном и том же направлении во всех точках (рис. 1.29).

Располагая оси Ох и Оу так, чтобы поворот от первой оси ко

второй происходил бы в том же направлении, что поворот от v к grad Ψ, имеем:

, .

Иными словами, Ψ это такая функция, производные которой по координатам удовлетворяют соотношениям:

, (1.2.22)

Отсюда следует, что если Ψ₁, есть функция тока, то и Ψ₁ + С, где С - произвольная постоянная; также будет функцией тока. Иначе говоря, функция тока определяется с точностью до аддитивной произвольной постоянной.

•

Рис.1.29

Если известна функция тока, то равенство (1.2.22) позволяет без труда найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определе­ние функции тока по полю скорости, разрешима не всегда, так как функция тока существует не во всех случаях движения. Действи­тельно, для существования функции Ψ, удовлетворяющей усло­виям (1.2.22), необходимо и достаточно, чтобы имело место равен­ство

,

Так как лишь в этом случае смешанные вторые производные и ,

определяемые из (1.2.22), будут равны. Это значит, что

функция существует в том и только в том случае, когда выпол­няется условие

.

Иначе говоря, введенная вышеуказанным образом функция тока существует лишь в случае плоскопараллельного движения несжи­маемой жидкости. Следует указать, что функции тока, опреде­ляемые, правда, по-иному, могут быть введены также и для пло­скопараллельного движения сжимаемой жидкости и для осесимметричного потока.

Важнейшим свойством функции тока является следующее: во всех точках линии тока функция тока имеет одну и ту же вели­чину. В самом деле, поскольку grad Ψ, а вектор направлен по касательной к линии тока, то проекция grad Ψ на направление линии тока, т. е. производная , равна нулю, и, значит, в направлении линии тока Ψ

не меняется. Это означает, что эквискалярные линии функции Ψ, т. е. линии Ψ =const, представляют собой линии тока.

Рис. 1.30

Докажем другое свойство функ­ции тока: разность между значениями функции тока в двух точках равна объему жидкости, протекаю­щей за единицу времени между этими точками, рассчитанному на единицу высоты потока.

Действительно, указанный объем равен, очевидно, потоку Q скорости через цилиндрическую поверхность σ, опирающуюся на линию АВ, которая соединяет обе точки А и В, причем высота поверхности σ равна единице.

.

Но из рис. 1.30 видно, что , т.е. . Поэтому

.

Определение функции тока по заданному полю скорости

Эта задача сводится к отысканию функции по известным частным производным.

Пример.

Найдем функцию F, удовлетворяющую следующим условиям:

, .

Функция F существует не при любых f₁ и f₂, а лишь в том случае, когда последние функции удовлетворяют условию

, так как только в этом случае смешанные вторые производные и , будут равны. В нашем случае это условие выполняется и, значит, функция F существует. Для отыскания ее используем сначала первое из условий. Из него получим , где о величине можно сказать лишь то, что она не зависит от x, но может зависеть и от y. Действительно, дифференцируя последнее равенство по x, можно убедиться в том, что оно равносильно первому из равенств. Для определения функции используем теперь второе из условий, для которого необходимо равенство

.

Отсюда находим , ,

где С – произвольная постоянная.

Окончательно .

При отыскании функции тока задача сводится к определению функции Ψ, удовлетворяющей условиям и .

Приведем примеры отыскания .

Плоский источник. Так как в этом случае , , то для определения имеем равенства:

, .

Условия существования при этом выполняется, так как выражения и получены с помощью допущения о несжимаемости жидкости. Используем первое из равенств и находим

.

Для определения используем второе равенство

,

Откуда =0,т.е. . Таким образом,

.

Уравнение линий тока плоского источника найдем, приравняв функцию тока постоянной величине. Тогда получим , что равносильно равенству или y=C₄x, где С₄ – произвольная постоянная. Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, исходящие из начала координат.

Безвихревое движение жидкости. В случае вращения против часовой стрелки имеем:

, .

Поэтому для определения Ψ служат равенства:

, .

Условие существования Ψ выполняется, так как жидкость является несжимаемой. Находим .

Уравнение линий тока Ψ=const сводится к уравнению семейства концентрических окружностей x²+y²=const.

В случае безвихревого вращения по часовой стрелке будем иметь

.

Потенциал скорости

Понятие и важнейшие свойства потенциала скорости

Потенциалом скорости называется скалярная функция φ, гра­диент которой равен скорости:

. (1.2.23)

Иными словами, φ — это функция, удовлетворяющая условиям:

, , . (1.2.24)

или условию

. (1.2.25)

Очевидно, что если некоторая функция φ удовлетворяет равен­ствам (1.2.23), (1.2.24) или (1.2.25), то и функция φ +С, где С — про­извольная постоянная, будет удовлетворять им. Таким образом, потенциал скорости определяется с точностью до аддитивной про­извольной постоянной.

Эквискалярные поверхности функции φ называются эквипотен­циальными поверхностями.

Если потенциал скорости известен, то равенства (1.2.24) позво­ляют тотчас же найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определение φ по известному полю скорости, разрешима не всегда, так как потенциал скорости существует лишь при выполнении опре­деленных условий. В самом деле, в математике показывается, что для существования функции φ, удовлетворяющей условиям (1.2.24) или условию (1.2.25), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

, , . (1.2.26)

(очевидно, что лишь в этом случае смешанные вторые производ­ные от φ не будут зависеть от порядка дифференцирования). Равенства (1.2.26) равносильны условиям

, , ,

или условию

rot =0.

С учетом этих равенств, из теоремы Стокса следует, что

.

Таким образом, для существования потенциала скорости необ­ходимо и достаточно, чтобы движение было безвихревым. Отсюда вытекает, в частности, что в случае потенциального движения ли­нии тока не могут быть замкнуты. Действительно циркуляция по замкнутой линии тока не может быть равна нулю, ибо суммирова­ние проекций скорости идет по всему контуру с одним и тем же знаком. С другой стороны, в нашем случае Г = 0. Полученное про­тиворечие и доказывает высказанное выше утверждение.

Укажем важнейшие свойства φ.

1. Эквипотенциальные поверхности и линии тока взаимно ортогональны, так как в каждой точке поверхности φ= const вектор grad нормален к поверхности и в то же время совпадает по направлению с касательной к линии тока. (Очевидно, что в на­правлении движения φ растет). Это же означает, что изолинии φ и Ψ взаимно ортогональны.

2. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости являет­ся гармонической функцией. В самом деле, условие несжимае­мости означает, что проекции скорости удовлетворяют равенству

.

Вводя в него выражения v_x, v_y, v_z из равенства (1.2.24), получаем

.

т. е. потенциал скорости представляет собой решение уравнения Лапласа (является функцией гармонической).

Поэтому задачи отыскания поля скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости сводятся к отысканию решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям, которыми одна задача собственно и отличается от другой.

Примеры определения потенциала скорости. Задача об опре­делении потенциала скорости по заданному полю скорости сво­дится к отысканию функции по ее частным производным. В слу­чае плоско-параллельного движения задача решается подобно тому, как находится функция тока. Приведем примеры определе­ния φ.

Плоский источник. В этом случае движение является безвихревым, т. е. потенциал скорости существует и для его определения служат уравнения:

, ,

откуда получаем

φ =Qln(x²+y²)+const.

Эквипотенциальные поверхности φ = const определяются уравнением x²+y² = const, т .е. представляют собой семейство соосных круговых цилиндров, ось которых совпадает с осью Oz.

В случае плоского стока

φ = - Qln(x²+y²)+const.

Безвихревое вращение жидкости. Если жидкость вращается против часовой стрелки, то для определения φ имеем уравнения:

,

из которых находим

Следует указать, что, используя свойство ортогональности линий тока и эквипотенциальных поверхностей, можно в ряде про­стых случаев определить форму и положение последних непосред­ственно, исходя из рассмотрения линий тока и не прибегая к опре­делению φ.

3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

1. Закон сохранения масс.

Интегральная запись закона сохранения масс. Дифференциальная запись закона сохранения масс (уравнение неразрывности). Сжимаемая и несжимаемая жидкости.

Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящий со скоростями, незначительными по сравнению со скоростями света.

Рассмотрим различные математические формы записи этого закона.

Интегральная запись закона сохранения масс

Рассмотрим в момент времени t некоторый объем жидкости τ, ограниченный поверхностью S. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент t в объеме τ, перемещаясь, заполнят в момент t′ объем τ′ с массой М′. Предположим, сто в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы, тогда закон сохранения массы запишется в виде М = М′.

По определению плотности ρ масса в объеме dτ равна dm = ρdτ. Масса в объемах τ и τ′ соответственно будет

М = ∫∫∫ ρdτ, М′ = ∫∫∫ρ′dτ (1.3.1)

τ τ′

Закон сохранения массы примет вид

∫∫∫ ρdτ = ∫∫∫ρ′dτ

τ τ′

или

d ∫∫∫ ρdτ = 0

dt τ

Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределнные источники. Пусть в объеме dτ в течение промежутка времени dt за счет источников поступает масса жидкости dm = qdτdt. Здесь q имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени. Поэтому эту величину можно назвать плотностью источников. Масса жидкости, которая в момент времени t находилась в объема τ, будет изменяться во время движения. За время dt она получит приращение Δm = dt ∫∫∫ qdτ.

τ

За конечный промежуток времени от t до t′ приращение массы будет равно

t′

ΔМ= ∫ (∫∫∫ qdτ) dt. (1.3.2)

t τ

Теперь можно записать М′ = М + Δ. (1.3.3)

Подставляя (1.3.1) и (1.3.2) в (1.3.3), получаем

t′

∫∫∫ ρdτ + ∫ (∫∫∫ qdτ) dt = ∫∫∫ ρ′qτ. (1.3.4)

τ t τ τ′

Это равенство запись закона сохранения масс при наличии пространственно-распределенных источников для конечного объема и конечного промежутка времени.

Интегральная запись закона (1.3.4) для бесконечно малого промежутка времени, если предположить t′ = t + Δt

∫∫∫ ρ′qτ - ∫∫∫ ρdτ = Δt ∫∫∫ qdτ

τ′ τ τ

Делим на Δt и устремляем Δt к нулю и получаем

d ∫∫∫ ρdτ = ∫∫∫ qdτ. (1.3.5)

dt

Равенство (1.3.5) – запись закона сохранения масс для конечного объема для данного момента времени при наличии пространственно-распределенных источников.

Дифференциальная запись закона сохранения масс (уравнение неразрывности).

1. В переменных Эйлера

Исходим из записи закона сохранения масс (1.3.5).

∫∫∫ [ ∂ρ + ∂ (ρυ_x) + ∂ (ρυ_y) + ∂ (ρυ_z) – q ] dτ = 0 (1.3.6)

τ ∂t ∂x ∂y ∂z

Равенство (1.3.6) имеет место для любого объема τ. Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю. Из (1.3.6) следует, что

∂ρ + ∂ (ρυ_x) + ∂ (ρυ_y) + ∂ (ρυ_z) = 0 (1.3.7)

∂t ∂x ∂y ∂z

Раскрывая в (1.3.7) производные от произведений и вводя обозначение индивидуальной производной dρ , получаем

dt

dρ + ρ div v = q - это равенство есть дифференциальная форма записи

dt

закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью q.

Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т.е. индивидуальная производная от плотности по времени равна нулю. В переменных Эйлера это записывается в виде dρ = 0

dt

Уравнение неразрывности в случае несжимаемой жидкости имеет вид

div v = q или ∂υ_x + ∂υ_y + ∂υ_z = q (1.3.8)

ρ ∂x ∂y ∂z

Частные случаи уравнения неразрывности.

Движение установившееся. dρ = 0. Уравнения неразрывности имеет вид

dt

∂(ρυ_x) + ∂ (ρυ_y) + ∂ (ρυ_z) = 0 или div (ρv) = 0

∂x ∂y ∂z

Жидкость несжимаема. В этом случае dρ = 0.

dt

∂υ_x + ∂υ_y + ∂υ_z = 0 или div v = 0

∂x ∂y ∂z

Движение плоское – это такое движение, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой прямой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические величины имеют одно и то же значение.

∂ρ + ∂ (ρυ_x) + ∂ (ρυ_y) = 0 - уравнение неразрывности для плоского движения

∂t ∂x ∂y

∂(ρυ_x) + ∂ (ρυ_y) = 0 - если движение установившееся

∂x ∂y

∂υ_x + ∂υ_y = 0 – для несжимаемой жидкости

∂x ∂y

2. В переменных Лагранжа.

Исходим из интегральной записи закона сохранения масс. От переменных x, y, z перейдем к переменным Лагранжа a, b, c, которые определяют положение частиц в момент времени t₀ в соответствующем объеме τ₀.Объем

τ₀ не зависит от времени. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в общем случае при наличии источников имеет вид

∂ρ + ρ ∂ ln D (x, y, z) = q (1.3.9)

∂t ∂t D (a, b, c)

Если q = 0. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа имеет вид

ρ D (x, y, z) = ρ′ D (x′, y′, z′) (1.3.10)

D (a, b, c) D ( a, b, c)

Если жидкость несжимаема, то ρ′ = ρ, уравнение неразрывности записывается в виде

D (x, y, z) = D (x′, y′, z′) или D (x, y, z) = 1 (1.3.11)

D (a, b, c) D ( a, b, c) D (a, b, c)

В случае плоского движения уравнение неразрывности запишется в виде

ρ D (x, y) = ρ′ D (x′, y′) или ρ D (x,y) = ρ₀ (1.3.12)

D (a, b) D ( a, b) D (a,b)

В случае одномерного движения, когда x = x(a,t), y = c₁, z = c₂, уравнение неразрывности будет иметь вид

ρ ∂x = ρ′ ∂x′ или ρ ∂x = ρ₀

∂a ∂a ∂a

2. Закон количества движения.

Массовые и поверхностные силы. Закон количества движения в интегральной форме.

Закон количества движения для системы материальных точек устанавливает связь между изменением количества движения и силами, которые вызывают это изменение. Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса.

Массовые силы – силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости. Например, сила веса, тяготения, электростатического притяжения или отталкивания, силы инерции и т.п. Пусть F^м – главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем τ. Средней массовой силой, действующей на массу М, называют величину F_ср = F^м/М. Вектор

(1.3.13)

называется массовой силой, действующей в данной точке.

Обычно сила F известна как функция координат точек пространства и времени F = F (x, y, z, t). Если сила F известна во всех точках выделенного объема τ, то можно подсчитать главный вектор F^м сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. Главный вектор массовых сил будет

Поверхностные силы

Пусть объем τ ограничен поверхностью S. Жидкость, находящаяся вне объема τ, действует через поверхность S на жидкость внутри τ. Силы, с которыми частицы жидкости, находящиеся снаружи поверхности S, действуют на поверхностные частицы объема τ, называют поверхностными. Например, силы давления, силы, действующие со стороны потока на поверхность погруженного в него тела или реакции тела на поток, силы внутреннего трения (вязкости) в среде.

Выделим на S элемент поверхности ΔS с нормалью n. Главный вектор поверхностных сил, действующих на площадку ΔS, будет . Пусть площадкаΔS стягивается в точку. Вектор

_{, (1.3.14)}

Называют напряжением поверхностных сил, действующим в рассматриваемой точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади). Этот вектор зависит от координат точки, времени и положения площадки (т.е. от направления нормали). Главный вектор поверхностных сил, действующих на поверхность S

Интегральная запись закона количества движения

Выделим в движущейся жидкости некоторый объем τ, ограниченный поверхностью S. Пусть вектор К – количество движения массы жидкости, заполняющей этот объем. В элементарном объеме dτ заключена масса ρdτ. Количество движения этой массы, имеющей скорость υ

ΔК = ρvdτ.

Количество движения массы, заключенной в объеме τ

(1.3.15)

Закон количества движения можно сформулировать так: производная по времени от количества движения некоторой системы масс равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. Запишем закон количества движения в виде

(1.3.16)

Проинтегрируем от t₁ до t₂ и получим

(1.3.17)

- запись закона количества движения для конечного промежутка времени.

Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме импульса массовых сил и импульса поверхностных сил.

(1.3.18)

Равенства (1.3.16), (1.3.17), (1.3.18) дают интегральную запись закона количества движения.

3. Тензор напряжений.

Тензор напряжений и физический смысл его компонент. Модели идеальной жидкости и вязкой ньютоновской жидкости. Тензоры напряжений для них. Уравнения движения сплошной среды в напряжениях.

Тензор напряжений и физический смысл его компонент

Будем исходить из формулы Коши. Формула Коши

τ_n = τ_x cos (n,ˆ х) + τ_y cos (nˆ, у) + τ_z cos (n ˆ,z). (1.3.19)

дает возможность вычислить напряжение в точке на площадке с нормалью n,

если известны τ_x, τ_y, τ_z — напряжения, действующие на площадки,

перпендикулярные со­ответствующим осям координат. Из формулы Коши следует, что напряжение в точке как угодно ориентированной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин:

(1.3.20)

Докажем, что таб­лица (1.3.20) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования τ_ik при переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', z'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, k и i', j', k'. Получим

τ _x′ = τ_xα₁₁ + τ_yα₁₂ + τ_zα₁₃

τ _y′ = τ_xα₂₁ + τ_yα₂₂ + τ_zα₂₃ (1.3.21)

τ _z′ = τ_xα₃₁ + τ_yα₃₂ + τ_zα₃₃

Рассмотрим одну из этих формул. Предста­вим τ_х' через проекции τ_x′x′,, τ _x′y′,,

τ _x′z′ на оси х', у', z'.

τ _x′ = i′ τ_x′x′ + j′ τ _x′y′ + k′ τ _{x′z′ .} (1.3.22)

Соответственно τ_x, τ_y, τ_z — через проекции на оси х, у, z:

τ_x = iτ _xx + jτ _xy + kτ _xz

τ_y = iτ _yx + jτ _yy + kτ _yz (1.3.23)

τ_x = iτ _zx + jτ _zy + kτ _zz

Подставляя (1.3.22) и (1.3.23) в (1.3.21) получаем векторное равенство

i′ τ_x′x′ + j′ τ _x′y′ + k′ τ _x′z′ = α ₁₁( iτ _xx + jτ _xy + kτ _xz) + α ₁₂ ( iτ _yx + jτ _yy + kτ _yz ) +

+α ₁₃ (iτ _zx + jτ _zy + kτ _zz) (1.3.24)

Умножая последовательно (1.3.24) скалярно на i′, j', k', получим выражения для τ_x′x′, τ _x′y′ , τ _x′z′ через составляющие таблицы Т в координатах (х, у, z).

Выпишем одно из равенств (заметим, что (i'·i) = α ₁₁, (i'·j)= α _12, (i'·k)= α ₁₃):

τ_x′x′ = α ₁₁ α ₁₁τ_xx + α ₁₁ α ₁₂τ_xy + α ₁₁ α ₁₃τ_xz + α ₁₂ α ₁₁τ_yx + α ₁₂ α ₁₂τ_yy + α ₁₂ α ₁₃τ_yz + α ₁₃ α ₁₁τ_zx + α ₁₃ α ₁₂τ_zy + α ₁₃ α ₁₃τ_zz. (1.3.25)

Получим аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (1.3.25) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга. Тензор Т = ||τ _ik|| назы­вается тензором напряжений.

Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор τ_x — напряжение на площадку, перпендикуляр­ную оси х (рис. 1.29):

τ_x = τ_xxi + τ_xyj + τ_xzk.

Здесь τ_xx — нормальное напряжение;τ_xy, τ_xz, являющиеся про­екциями вектора τ_x на оси координат у и z, есть напряжения, касательные к площадке.

Рис. 1.29

Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нор­мальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к пло­щадкам, перпендикулярным осям координат.

Модели идеальной жидкости и вязкой ньютоновской жидкости. Тензоры напряжения для них.

Введем модели сплошной среды, которые отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. В рассматриваемых моделях тензор напряжений симметричен.

Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Будем считать жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши.

τ_n = τ_x cos (n,ˆ х) + τ_y cos (nˆ, у) + τ_z cos (n ˆ,z). (1.3.26)

По определению идеальной жидкости

τ_п = р_пп, τ_х = р_хi, τ_y = р_yj , τ_z = p_zk. (1.3.27)

Подставив (1.3.27) в (1.3.26), получим

р_пп = p_xi cos (n,ˆ х) + р_уj cos (n,ˆ у) + p_zk cos (n,ˆ z). (1.3.28)

Поскольку

n = cos (n,ˆ х) i + cos (n,ˆ у) j + cos (n,ˆ z) к, (1.3.29)

из (1.3.28) следует, что

p_n = p_x = p_y = p_z = — p. (1.3.30)

Формулы (1.3.27) перепишутся в виде

τ_п = — рп,

τ_x = -pi, τ_y=pj, τ_z=-pk. (1.3.31)

Из (1.3.31) следует, что в идеальной жидкости величина нормаль­ного напряжения не зависит от ориентировки площадки. Вели­чину р называют давлением. Из (1.3.31) следует, что составляющие тензора напряжений

τ _ii = —р, τ _ik = 0 (i ≠ k). Тензор напря­жений идеальной жидкости будет иметь вид

. (1.3.32)

В тензор (1.3.32) входит только величина p – скаляр.

Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напря­жения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью υ . Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине, где S — площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение

. (1.3.33)

Здесь μ — коэффициент, который зависит от свойств жидкости.

Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верх­ней — равна скорости пластины. Распределение скоростей по­перек линейно зависит от расстояния

. (1.3.34)

В силу (1.3.34) , и выражение для τ_yx можно записать в виде

.

Для многих жидкостей равенство (1.3.33) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент μ называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга.

В соответствие с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае.

Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия:

1. в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

2. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;

3. жидкость изотропна, т. е, ее свойства одинаковы по всем направлениям.

Условие 1) означает, что τ _ik = О при i≠k, если все ε _mn = 0.

Условие 2) означает, что τ _ik могут быть представлены через ε _mn (учитывая симметрию тензора напряжений).

Условие З) означает, что коэффициенты α _ik не зависят от выбора системы координат.

В главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и глав­ными осями тензора напряжений.

(1.3.35)

Равенство (1.3.35) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в ка­ких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.

Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид

(1.3.36)

Для составляющих получим

,

.

Получим окончательное выражение для составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости:

,

,

,

,

,

. (1.3.37)

В формулы (1.3.36), (1.3.37) входят два параметра: λ и μ. Если λ=μ=0, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент μ, назы­вают коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), λ— вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объем­ной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не λ, а величину λ′ = λ+⅔μ.. Наряду с μ для несжимае­мой жидкости часто рассматривают величину ν, называемую ки­нематическим коэффициентом вязкости

Коэффициент μ может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Величинаμ слабо зависима от давления. Наиболее часто используют приближенные формулы для зависимости от температуры. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость

Здесь α берется из эксперимента, μ₀ – значение коэффициента вязкости при Т=Т₀.

Второй коэффициент вязкости λ исследовать трудно. В слу­чае, если жидкость несжимаема, то divv = 0 и он выпадает из уравнений.

Уравнения движения сплошной среды в напряжениях

(1.3.38)

(1.3.39)

Равенства (1.3.38), (1.3.39) представляют собой дифференциальную запись закона количества движения в общем случае. Предположим, что движение сплошной среды происходит при отсутствии источников массы, т. е. q = 0. Закон количества движения в векторной форме будет иметь вид

(1.3.40)

или в проекциях на оси координат

,

,

. (1.3.41)

Уравнение (1.3.40) или эквивалентную ему систему уравнений (1.3.41) обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях.

4. Закон сохранения энергии.

Внутренняя энергия жидкого объема. Закон сохранения энергии в интегральной форме. Вектор потока тепла. Нетеплопрая дижкость. Жидкость, подчиняющаяся закону теплопроводности Фурье. Дифференциальная запись закона сохранения энергии.

Полная энергия жидкого объема. Закон сохранения энергии в интегральном виде.

Для записи такого фундаментального физического закона, как закон сохранения энергии, необходимо установить, из каких видов энергии складывается полная энергия жидкого объема, определить виды притоков энергии извне и учесть превращения одного вида энергии в другой.

Внутренняя энергия.

Рассмотрим сначала некоторую покоящуюся однородную массу жидкости М в объеме τ. Пусть О означает ее исходное состояние, которое, вообще говоря, определяется некоторым на­бором параметров (например, давлением, температурой и др.). В результате нагрева, сжатия и других воздействий масса жид­кости перейдет в новое состояние, определяемое другими значе­ниями параметров. Переход массы жидкости из исходного по­ложения О в другое связан с изменением Δε энергии. Будем считать, что в исходном состоянии масса М имела запас энергии ε₀. Тогда можно ввести величину

(1.3.42)

Если каким-то образом выбрана величина ε₀ и известно Δε (экспериментально или теоретически), то для любого нового со­стояния величина ε может быть определена по формуле (1.3.42). Таким образом, через Δε определяется величина внутренней энергии ε данной массы жидкости. Естественно ввести вели­чину Е — внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости Е — функ­ция координат и времени:

(1.3.43)

Из определения (1.3.43) следует, что запас внутренней энергии в массе dm равен dε = Edm = Eρdτ. Внутренняя энергия конеч­ной массы жидкости в объеме τ

Выражение для Е обычно известно из физики. Для совер­шенного газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, уравнение состояния которого есть уравнение Кла­пейрона р = pRT, внутренняя энергия зависит только от тем­пературы. Выражение для внутренней энергии имеет вид

где с_ν – теплоемкость при постоянном объеме. Здесь в качестве исходного берется состояние, в котором абсо­лютная температура равна нулю. Когда нет процессов диссо­циации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии по­ступательного Е_п, вращательного Е_вр и колебательного Е_к дви­жений молекул. Для одноатомного газа с_ν= const и

Для случая двухатомного газа в определенном диапазоне температур, когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и

При более высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул. Теполоемкость колебательных степеней свободы зависит от температуры, и внутренняя энергия может быть представлена в виде

Полная энергия жидкого объема.

Если жидкость движется, то она обладает кинетической энер­гией. Кинетическая энергия dT_K массы dm, движущейся со скоростью v, равна

Кинетическая энергия массы, заключенной в объеме τ

Полной энергией называется сумма кинетической и внутренней энергии данной массы газа

Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме.

Изменение полной энергии некоторой массы жидкости за промежуток времени от t₁ до t₂ происходит за счет работы мас­совых и поверхностных сил, за счет притока за тот же проме­жуток времени тепловой энергии вследствие наличия объемно-распределенных источников тепла, а также притока тепла через поверхность. Если обозначить через А_τ работу массовых сил, A_s — работу поверхностных сил, Q_τ — объемное поступление энергии, Q_s- количество тепла, поступившее через поверхность за время от t₁ до t_2, то закон сохранения энергии запишется в виде

(1.3.44)

Здесь - значение полной энергии в момент времениt. В соответствии с определением полной энергии имеем

(1.3.45)

Вычислим слагаемые, входящие в правую часть (1.3.44)

Работа, совершенная массовыми силами за конечный промежуток времени от t₁ до t₂ будет

(1.3.46)

Работа поверхностных сил за конечный промежуток времени

(1.3.47)

Энергия, поступившая в объем τ за время от t₁ до t₂ будет

(1.3.48)

За время от t₁ до t₂ в объем τ через поверхность S проникнет количество тепла

(1.3.49)

Подставляя (2), (3), (4), (5), (6) в (1), получаем интегральную запись закона сохранения энергии для конечного промежутка времени

(1.3.50)

Разделим обе части равенства на разность t₂-t₁ и устремим эту разность к нулю, получим еще одну запись закона сохранения энергии

(1.3.51)

Таким образом, скорость изменения полной энергии некоторой массы жидкости равна сумме мощности, развиваемой объемными и поверхностными силами, скорости объемного поступления энергии и потока энергии через поверхность.

Вектор потока тепла. Нетеплопроводная жидкость.

Получим формулу для потока тепла t_n. Рассмотрим тетра­эдр (рис. 1.30), три грани которого параллельны координатным плоскостям.

рис. 1.30

Введем те же обозначения, что и при выводе фор­мулы Коши: S_x, S_y, S_z— площади граней, перпендикулярных осям координат; S_n^:—площадь грани с нормалью n; h — высота тетраэдра, опущенная на грань S. Объем тетраэдра будет равен

τ= ⅓Sh.Запишем для этого тетраэдра закон сохранения энер­гии, применив к интегралам теорему о среднем

(1.3.52)

Здесь ,,.

Сократив все члены равенства (1) на S и устремив h к нулю, получим

(1.3.53)

Из физических соображений ясно, что t_n=-t_-n, где t_n описывает поток энергии внутрь, а t_-n – поток через площадку с нормалью (-n) – описывает поток изнутри. Введем величины t_x, t_y, t_z. Получаем

(1.3.54)

Из формулы (1.3.54) следует, что совокупность (t_x, t_y, t_z) образует вектор. В этом легко убедиться, если записать (1.3.54), выбирая по­следовательно в качестве n орты новой системы координат х', у, z'. Полученные формулы связи (t_X', t_y', t_z′) и (t_x, t_y, t_z) представляют собой известные формулы преобразования компо­нент вектора при переходе от одной системы координат к другой. Вектор

t = t_xi + t_yi + t_zk (1.3.55)

называют вектором потока тепла. Величина t_n есть проекция этого вектора на n: t_n= (t·n).

Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла t равен нулю. Равенство t = 0 в проекциях на оси коор­динат t_x = t_y = t_z = 0.

Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явления теплопроводности оказывают малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предпо­ложением об идеальности жидкости. Если жидкость идеальная и нетеплопроводная, то уравнение энергии может быть упрощено. Для идеальной жидкости τ_x = -ip, τ_y = -jp,

τ_z = -kp и

.

Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости имеет вид

.