- •Определенный интеграл
- •Определенный интеграл и его содержание
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Связь между определенным и неопределенным интегралом
- •Способы вычисления определенного интеграла Интегрирование по частям
- •Интегрирование подстановкой
- •Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8. Применение определенного интеграла
Связь между определенным и неопределенным интегралом
При сравнении определенного и неопределенного интеграла видно, что это разные понятия: определенный интеграл - это число, а неопределенный интеграл - это функция. И все же между ними существует связь, которая разрешила найти удобный способ для вычисления определенного интеграла. Прежде чем сформулировать его, рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Таким образом, пусть в определенном интеграле нижняя граница постоянна и равна, а верхняя граница изменяется, поэтому обозначим ее черезх, а чтобы не путать с переменной интегрирования, обозначим последнюю через . Пустьнепрерывна на. Рассмотрим интеграл. Каждому значению переменнойотвечает определенное значение интеграла. Итак, представляет собой функцию от . Обозначим ее черези найдем производную от этой функции по переменной. Для этого зададим переменнойприращениеи вычислим приращение
(8.15)
Используя свойства определенного интеграла 8.14 и 8.13 из формулы (8.15), получим
,
где находится междуи.
По определению производной
.
Таким образом, мы выяснили, что то есть мы доказалитеорему:
Если - непрерывная функция наи, то имеет место равенство
(8.16)
Итак, производная от определенного интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхней границы. При >0имеет геометрическое толкование - площадь криволинейной трапеции
Из рис. 8.6 видно, что с изменением эта площадь изменяется, то есть действительноявляется функцией переменной
Сформулируем и докажем теперь теорему Ньютона - Лейбница.
Теорема.4. Если какая-то первообразная для непрерывной функции, то справедлива формула
. (8.17)
Эта формула и называется формулой Ньютона - Лейбница. Докажем ее. По условию теоремы является первообразной для. Но из формулы (8.16) вытекает, чтоявляется также первообразной для функцииДве первообразные для одной функции отличаются на постоянное слагаемое, значит,
(8.18)
Предоставим , тогда
Отсюда, используя (8.9), имеем, что откуда
(8.19)
С учетом (8.19) формула (8.18) примет вид
При из этого имеем, что
или, изменив обозначение переменной интегрирования на , получим формулу (8.17).
Введем обозначение , тогда формула (8.17) приобретает вид
(8.20)
Формула (8.20) (Ньютона-Лейбница) дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная для подынтегральной функции. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения разных задач, что позволило значительно расширить круг применений определенного интеграла. Итак, задача вычисления определенного интеграла свелась к последовательности двух задач: вычисления неопределенного интеграла (первообразной), а потом вычисления приращения первообразной на заданном промежутке. Для вычисления неопределенного интеграла применяются два основных метода: метод подстановки и интегрирования по частям. Рассмотрим некоторую специфику применения этих методов при вычислении определенного интеграла.