8. Применение определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

	Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: ,, , .при
	Площадь фигуры, ограниченной линиями: , . на . (Пределы интегрирования иявляются решением уравнения ).
	Площадь сектора, ограниченного кривой, заданно в полярной системе координат . Сектор ограниченный кривой и лучамита. .

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции где- дуга кривой от до.

Площадь поверхности вращения

	Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох участка кривой от до.
	Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ох участка кривой, заданной в параметрическом виде:

Длина дуги плоской кривой

	Если кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением ,от точки до то
	Если кривая задана параметрически: то точки А та В имеют координаты то
	Если кривая задана своим уравнением в полярных координатах: и координаты точек А и В:то

Примеры:

Пример 1. Вычислить интегралы: а) б)в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Т.о., данный интеграл является сходящимся.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение:

Найдем точки пересечения прямой с параболой:

Искомую площадь найдем как разность двух площадей криволинейных трапеций: ограниченных прямой и параболой.

Ответ:(кв.ед.).

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение

Пример 5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох косинусоиды в пределах от до.

Решение:

Объем тела вращения находим по формуле где в нашем случае

Пример 6. Вычислить длину одной арки циклоиды

Решение:

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрически вычисляется так: Найдем для нашего случая

Тогда

Пример 7. Вычислить с помощью формулы трапеций приближенное значение определенного интеграла при n = 10 .

Решение

i
0	0	1
1	0.1	0.909
2	0.2	0.833
3	0.3	0.769
4	0.4	0.714
5	0.5	0.667
6	0.6	0.625
7	0.7	0.588
8	0.8	0.555
9	0.9	0.526
10	1	0.5

Подынтегральная функция . Разобьем сегмент [0;1] на 10 частей, получим точкии вычислим. Составим таблицу.

Используя данные, взятые из таблицы, приближенно вычислим интеграл:

Ответ: