5Математический_анализ

11

Дифференцирование функции f(х) - это операция нахождения ее производной.

Смысл производной

Геометрический

Значение производной функции у= f(х) в точке x x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой x x0 т.е.

y tg .

y

y=f(x)

y0+ y

y0

y

y0

x0 x0+ x x

Физический (механический)

Производная выражает скорость изменения функции у= f(х) в точке х, т.е. скорость прохождения процесса, который описывается зависимостью у= f(х).

Производные элементарных функций См. Приложение 2

Правила дифференцирования

(u v) u v ;

u

u v v u

;

v2

v

(u v) u v v u ;

(Cu) C u ,

C const.

Если y f ( (x)) - сложная функция,

y f (u) ,

u (x)

, тогда – yx

yu ux .

Если x x( y) - обратная функция к у= f(х), то xy

1

.

yx

x x(t),

y t

Если функция задана параметрически

, то

.

yx

x t

y y(t);

Производные высших порядков

Пусть функция у = f(х) определена и имеет производную первого порядка в интервале (a, b) .

Введем обозначение g(x)	f (x) . Если функция g(x)						имеет производную в точке x (a,b) , то
ее производная g (x) называется		производной второго порядка (или коротко второй
производной) функции f (x)	в точке x . Итак,
		g (x)		d	f (x) .
			dx
Вторая производная функции у = f(х) обозначается символами
				d 2 y			d 2 f (x)
				dx2 ,
	y ,	f (x),					dx2	.

Может оказаться, что вторая производная также имеет производную в точке x : dxd ( f (x)).

12

Тогда говорят о существовании производной третьего порядка, которая обозначается символами

		d 3 y		d 3 f (x)
y ,	f (x),	dx3	,	dx3	.
Предположим, что таким образом определена производная (n 1)						- го порядка (n 2) .

Определение 4. Производная n - го порядка ( n - ая производная) функции у = f(х) называется производная от производной ( n 1) - го порядка, если она существует в точке x . Производную n - го порядка (n 3) функции у = f(х) обозначают символами:

	y n ,	f n (x),	d n y	,	d n f (x)	.
			dxn		dxn
В соответствии с этим обозначением n - производная функции y f (x) определяется
равенством	y n yn 1 .
Пример. Функция f (x) x3 имеет в каждой точке производную f (x) 3x 2 . Функция
f (x) также в каждой точке имеет производную			f (x) 6x . Функция f (x) в каждой точке

имеет производную f (x) 6.	Функция f (x) имеет в каждой точке производную f 4 (x) 0.
Все другие следующие производные также равны 0.
Итак,
	f n (x) 0,	ïðè n 4.
Производные высших	порядков имеют	широкое	применение. Так, если S S(t)
описывает закон движения материальной точки,		то его первая производная S (t) определяет
величину мгновенной скорости, а вторая производная S (t)			равна скорости изменения скорости,
то есть ускорению в момент t .

13

4. Дифференциал функции.

Функция у= f(х), дифференцируема в точке х0, если ее приращение в данной точке

можно записать в виде

f (x0 ) f

где 0, при х 0 .

(x0 ) x ( x) x,

При этом

f (x0 ) x является главной частью приращения функции, которая линейно

зависит от

x и называется дифференциалом функции в точке x0 и обозначается df (x0 ) или

dy , т.е. dy y dx.

y

Геометрический смысл дифференциала

y0+Δy

M1

T

dy NT - дифференциал: это приращение ординаты

M0

dy

точки, движущейся по касательной к кривой.

y0

N

x0

x

x

x0+

Из рисунка видно, что при х→0 М1 стремится к М и разность между приращением функции

М1N и дифференциалом функции КN стремится к нулю. Это дает основание

использования

дифференциала для приближенных вычислений:

1). y dy ;

2). f (x x) f (x) f (x) x.

(5.20)

Пример. Вычислить приближенно 4 16,64.

Получим сначала приближенную формулу для вычисления корней любого n - й степени.

1

1

1 n

n x

Поскольку

f (x) n

x x n ,

то

f

(x)

1 x n 1

1 x n

. И соответственно (5.20)

n

n

n x

n

x x

,

n x x n x

n x

Или

n

x

x

n

x

(5.21)

x 1

.

nx

В данном примере

x

4 x x 4 x 1

4x

.

Возьмем за

число близкое до 16,64 и такое, чтобы мы знали 4

x ,

при этом

х должно быть достаточно малым. Понятно, что в нашем случае нужно взять x 16,

тогда x 0,64 и мы получим

4 16,64

4

16

0,64

2 (1 0,01) 2,02.

1

4 16

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача об определении абсолютной

и относительной погрешности вычисления функции при заданной погрешности измерения

аргумента.

Мы ввели понятие дифференциала для функции у = f(х). пусть теперь у=f(u), где

аргумент u=φ(х), то есть у является сложной функцией у=f(φ(х)). Если у=f(u) и u=φ(х) -

дифференцируемые функции, то мы знаем, что y

y u

. Тогда дифференциал этой функции

x

u

x

14

		dy f (x)dx f	(u) u	dx f (u) du ,
			x
потому, что u	dx du . Т.о.	dy f (u) du .		(5.22)
x

Последнее равенство показывает, что форма дифференциала не зависит от того, будет ли функция простой, или сложной. Это свойство носит название инвариантности формы

первого	дифференциала. Следует понимать при этом, что инвариантна только			форма.
Содержание же различно, так как в формуле (5.18) dx x , а в формуле (5.22) du u x dx .
Дифференциал функции		y f (x) , вычисленный по	формуле (5.18), называют еще
дифференциалом первого порядка. Он представляет собой некоторую функцию от x ,				которая
также может иметь дифференциал.
Дифференциалом второго порядка d 2 y дважды дифференцируемой на (a, b) функции у=
f(х) называется дифференциал		от дифференциала первого	порядка этой функции,	то есть
d 2 y d (dy) ,
при этом	d 2 y f (x)dx2 .		(5.23)
Аналогично можно ввести понятие дифференциала Ш, ІV и так далее порядков.
Определение. Дифференциалом n - го порядка (или n -м дифференциалом) d n y				для n

раз дифференцируемой на (a, b) функции, называется дифференциал от дифференциала ( n 1) - го порядка данной функции, т.е. d n y d (d n 1 y) .

d n y f (n) (x)dxn .	(5.24)
Обратим внимание на то, что, если x не является независимой сменной, а функцией,		то
свойство инвариантности формы дифференциала высших порядков нарушается. Так,		в
частности, при n 2

d 2 y f (x)dx2 f (x)d 2 x .

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля. Пусть функция у= f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывная на отрезке [a,b] ;

2)дифференцируема в интервале (a, b) ;

3)на концах отрезка принимает равные значения, то есть f (a) f (b) .

Тогда в середине отрезка существует хотя бы одна такая точка (a,b) , в которой производная функции равна нулю: f ( ) 0 .

С геометрической точки зрения это означает, что если функция у= f(х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то в середине отрезка обнаружится хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. На рис. 5.6 таких точек две: 1 и

2 .

y

0	а 1	2	b x
		Р и с . 5 . 6
Если f (a) f (b) 0 , это	теорема	Ролля	утверждает, что между двумя

последовательными нулями дифференцируема функции есть хотя бы один нуль производной. Все требования теоремы Ролля являются существенными и при невыполнении хотя бы

15

одной из них

вывод

теоремы может быть неверным, что легко увидеть с помощью

геометрической иллюстрации.

y

f ( a )

f ( b )

y

f ( a )

f ( b )

у

f ( b )

f ( a )

0

a

b x

0

a

b

x

a )

б )

0

a

b x

в )

Рис. 5.7

На рис. 5.7, а – нарушено условие непрерывности на отрезке [a,b] ;

на рис. 5.7, бы - нарушено условие дифференцируемости на интервале (a, b) ;

на рис. 5.7, в - нарушено условие

f (a) f (b) .

В результате ни в одном случае не существует такой точки (a,b) , в которой

f ( ) 0 .

Теорема Ролля есть частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа (о конечном приращении функции). Пусть функция у= f(х)

удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывна на отрезке [a,b] ;

2)дифференцируема на интервале (a, b) .

Тогда в середине отрезка существует хотя бы одна такая точка (a,b) , в которой

производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть

f ( )

f (b) f (a)

.

(5.25)

b a

Введем новую функцию g(x) следующим образом:

g(x) f (x)

f (b) f (a)

(x a).

b a

Функция g(x)

удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [a,b] ,

дифференцируема на интервале (a, b) и принимает на его концах равные значения:

g(a) f (a),

g(b) f (b)

f (b) f (a)

(b a) f (a).

b a

Значит, существует точка (a,b) ,

такая, что g ( ) 0 , или g ( ) f ( )

f (b) f (a)

,

b a

ведь f ( )

f (b) f (a)

0 откуда f ( )

f (b) f (a)

.

b a

b a

Формула (5.25) может быть переписана в виде f (b) f (a)

f ( )(b a) .

(5.26)

Выясним содержание теоремы Лагранжа. Приращение

f (b) f (a) -

это изменение

функции на [a,b] ;

f (b) f (a)

- это средняя скорость изменения функции на этом отрезке;

b a

значения производной в точке - это мгновенная скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка в середине отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

16

Геометрическое содержание вытекает из рис. 5.8.

y

А	В

0

a

b

x

Рис. 5.8

Если передвигать прямую АВ параллельно начальному положению, то обнаружится хотя бы одна точка (a,b) , в которой касательная к графику f (x) и хорда АВ, проведенная через

концы дуги АВ, параллельны. (Так как угловой коэффициент секущей АВ k AB f (b) f (a) , b a

а касательной k f ( ) ).

Следствие. Если производная функции f (x) равна нулю на некотором промежутке Х,

это функция тождественна постоянной на этом промежутке.

Рассмотренные теоремы используются для доказательства многих теоретических положений, результаты которых уже непосредственно используются для решения практических задач.

Следующая теорема имеет именно такой характер, она дает практическое правило для

раскрытия неопределенностей вида	0	или	. Сформулируем ее.
0
Теорема 5.8 (правило Лопиталя). Пусть f (x) и g(x) - непрерывны и имеют производные
во всех точках x a из окрестности точки			x a , а в точке a равны нулю или бесконечности.

Тогда предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последняя существует, то есть

		lim	f (x)	lim	f (x)	.				(5.27)
		x a g(x)		x a g (x)
Если отношение	f (x)	снова является неопределенностью вида					0	или		и производные
	g (x)						0

f (x) и g (x) удовлетворяют условиям правила Лопиталя, то для вычисления предела можно применить правило Лопиталя вторично и так далее.

Пример 5.1. Вычислить предел lim

x sin x

.

x 0 tgx sin x

Решение.

Имеем неопределенность типа

0

. По правилу Лопиталя

0

lim

x sin x

lim

1 cosx

lim

(1 cosx) cos2 x

tgx sin x

1

1 cos3 x

x 0

x 0

cosx

x 0

cos2 x

lim

cos2 x

1

.

x 0 1 cosx cos2

x

3

Пример 5.2. Вычислить lim

x n

; a 1, n N.

x a x

Решение.

17

Имеем неопределенность типа			. Используя правило Лопиталя n раз, получим
	n			n x n 1			n(n 1) x n 2
lim		lim				lim		...
x a x		x a x ln a				x	a x ln 2 a

5. Применение производной к исследованию функции и построения ее графика

Монотонность функции

Функция у=f(х) называется	Функция у=f(х) называется убывающей
возрастающей на промежутке a x b ,	на промежутке a x b , если
если для произвольных x1 и x2 ,	x1 , x2 (a;b) и x1 x , имеет место
принадлежащих этому промежутку,	равенство: f (x1 ) f (x2 ) .
x1 x2 , имеет место равенство:
f (x1 ) f (x2 ) .

Как возрастающие, так и убывающие функции, называют монотонными, а промежутки

на которых функция возрастает ( ) , или убывает		( ) - промежутками монотонности.
Возрастание или убывание функции у=f(х)		характеризуется знаком ее производной:
f (x) 0 функция возрастает на	f (x) 0 функция убывает на данном
данном промежутке.	промежутке.

Максимумы и минимумы функции

f(х) - данная функция, x0 - точка из области определения функции f(х)

x0	- точка максимума, если существует	x0	- точка минимума, если существует
такая - окрестность (x0 ; x0 ) точки		такая - окрестность (x0 ; x0 ) точки
x0	, что для всех x x0 из этой	x0	, что для всех x x0 из этой
окрестности выполняется неравенство		окрестности выполняется неравенство
f (x) f (x0 ) .		f (x) f (x0 ) .

x0 - локальная точка экстремума.

Необходимое условие экстремума:

Если функция в точке x0 ( x0 - критическая точка) имеет экстремум, то производная f (x0 ) или равна нулю, или не существует.

Достаточные условия существования экстремума в критической точке:

1) если при переходе через критическую точку x0 производная изменяет знак, то x0 - точка экстремума; если знак изменяется из плюса на минус, то x0 - точка максимума, если знак

изменяется из минуса на плюс, то x0 точка минимума;

2) если f (x0 ) 0 , то x0 - точка максимума функции f (x) , если f (x0 ) 0 , то x0 - точка минимума функции f (x) .

18

Наибольшее и наименьшее значение функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на некотором отрезке необходимо:

1)найти критические точки, принадлежащие данному отрезку и вычислить значение функции в этих точках;

2)найти значение функции на концах отрезка;

3)сравнить полученные значения: тогда наименьшее и наибольшее из них будут соответственно наименьшими и наибольшими значениями функции на заданном отрезке.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

y

Плоская кривая L называется выпуклой

M0

вверх в точке M 0 , если точки кривой,

y0

смежные с точкой

M

лежащие по обе

L

0

стороны от нее, расположены ниже

касательной к кривой, проведенной через эту

точку.

0

x0

x

Если f (x) 0 , то график является

выпуклым вверх на данном промежутке.

Плоская кривая L называется выпуклой

y

L

вниз (вогнутой) в точке M 0 , если точки

y0

M0

кривой, смежные с точкой M 0

лежащие по

обе стороны от нее, расположены выше

касательной к кривой, проведенной через эту

точку.

Если f (x) 0 , то график является

0

x0

x

выпуклым вниз (вогнутым) на данном

промежутке.

Точкой перегиба кривой L называется

y

L

точка M 0 , которая отделяет выпуклую вверх

часть кривой от выпуклой вниз.

Достаточный признак точки перегиба: если

M0

при данном x x

0

вторая производная

функции y f (x) равняется нулю и при

переходе аргумента через данное значение

x0 она изменяет знак, то точка

0

x

M 0 (x0 , f (x0 )) является точкой перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от

точки, лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении от начала

координат этой точки по кривой.

Прямая y k x b называется асимптотой графика функции f (x)

для x

(x ) , если разность

f (x) (k x b) - бесконечно мала для x (x ) .

Асимптоты функции y f (x)

19

					Невертикальные,
		Вертикальные,		y kx b, k lim	f (x)	; b lim ( f (x) kx).
	x a , если хотя бы одно из
					x
	двух предельных значений			x		x
				если k 0, k , то уравнение y kx b определяет
	lim	f (x),	lim f (x)
				наклонную асимптоту. Если k 0, lim f (x) b, то
	x a 0		x a 0
	являются бесконечными					x
				асимптота y b является горизонтальной.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

I.

1)область определения;

2)область значений;

3)наличие точек разрыва и их характер; определить невертикальные (наклонные и горизонтальные) асимптоты;

4)четность, нечетность (указать характер поведения графика функции);

5)периодичность;

6)нули (указать точки пересечения с осями координат).

II. Интервалы монотонности и экстремумы

1)определить интервалы монотонности;

2)определить критические точки І рода и значения функции в них;

3)указать точки экстремума.

III. Промежутки выпуклости и точки перегиба

1)определить промежутки выпуклости графика;

2)определить точки перегиба и значения функции в них. ІV. Внести данные в таблицы.

V. Построить график функции в декартовой системе координат. Пример 5. Дана функция y3 x3 3ax 2 y 2 0 . Найти y .

Решение:

Продифференцировать левую и праву части, учитывая, что y является функцией от x .

3y 2 y 3x2 3a(2xy 2 2 yx 2 y ) 0 .

Решим данное уравнение относительно y :
	6axy2 3x2		2axy2			x2
						.
yx	3y 2 6ayx2	yx	y
				2	2ax2 y

x a cost,

Пример 6. Найти производную функции, заданной уравнением:

y a sin t.

Решение:

y		yt	;	y a cos t,	x a sin t, тогда	y	ctgt.
x		xt		t	t	x
Пример 7. Найти уравнение касательной и нормали к кривой y x ln x 1 в точке x0								1.
					Решение:
Уравнение касательной:	y y0			y (x0 ) (x x0 ) .

20

y (x ln x 1) ln x 1,	y (1) 1,	y0 y(1) 1 ln 1 1 1.
Уравнение касательной: y 1 1(x 1) y x .

Уравнение нормали: y y0			1	(x x0 ) ,

y (x0 )

y x 2 - уравнение нормали.

Пример 8. Найти y , если y x2 cos3x. Решение:

y 2x cos3x 3sin 3x x2 ,

y 2 cos3x 6sin 3x 6sin 3x 9x2 cos3x(2 9x2 ) cos3x 12x sin 3x.

Пример 9. Вычислить lim xm 1. x 1 x 1

Решение:

Имеем неопределенность вида 00 . Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

		xm 1			mx m 1
	lim			lim		m.
		x 1			1
	x 1			x 1

Пример 10. Вычислить lim ln x .

x xn

Решение:

Имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

				1
	ln x						1
lim		lim		x		lim		0.
	xn
x		x n xn 1				x n xn

Пример 11. Исследовать функцию y	x2		и построить ее график.
	4x2 1

Решение:

1.Область определения: x ( ; 12) ( 12 ; 12) (12 ; ).

2. Функция имеет разрывы при x 0,5;

x 0,5.

								x	2		, x 0,5 0,
3.	lim			y	lim
	x	1	0		x	1	0	4x2	1		, x 0,5	0.
	2				2
Ведь	x 0,5 - вертикальная асимптота.
.Асимптоты
x 0,5;				x 0,5 - вертикальные

Невертикальные y k x b