5Математический_анализ

21

k lim	f (x)	lim	x2			0
					8)
x	x	x x(4x2
b lim ( f (x) k x) lim					x2			1	.
x			x 4x2 1					4

y 14 - горизонтальная асимптота.

4.Исследуем функцию на четность:

	x2			( x)2		x2
f (x)		;	f ( x)				f (x) f ( x).
	4x2 1			4( x)2 1		4x2 1

Функция является четной и ее график симметричен относительно оси Оу, функция непериодичная.

5.Интервалы монотонности и экстремумы:

2x (4x2 1) 8x (x2 )

2x

x1 0,5,

y

.

Критические точки:

x2

0,

(4x2 1)2

(4x2 1)2

x3

0,5.

x

( ; 0,5)

0,5

( 0,5; 0 )

0

( 0; 0,5 )

0,5

( 0,5 ; )

f

+

Не

+

0

–

Не

–

/(x)

f(x)

возрастает

существует

возрастает

0

убывает

существует

убывает

x 0 – точка максимума: y(0) 0.

6. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба:

2(4x2

1)2 2 16x2 (4x2 1)

24x2 2

y

(4x2 1)4

(4x2 1)3 0,

точек перегиба функция не имеет, так как в точке x 0,5 функция не определена:

x

( ; 0,5)

0,5

( 0,5; 0,5 )

0,5

( 0,5 ; )

f

+

Не

–

Не

+

//(x)

f(x)

вогнутая

существует

существует

вогнутая

выпуклая

7. Построим график функции y	x2
		.
	4x2 1

у

y=0,25

-1

x=-0,5

1

-1

1

x

x=0,5

22

Пример 12. Найти наибольшее и меньше всего значения функции f (x) x2 4x 3 на отрезке

Решение

Имеем f (x) 2x 4; 2x 4 0, т.о. x 2 - критическая точка f (2) 22 4 2 3 1.

Вычислим значения функции на концах отрезка: f (0) 3,

f (3) 0.

Наименьшее значение функции равно –1 и принимается функцией во внутренней точке отрезка, а наибольшее значение равно 3 и принимается на левом конце отрезка.

Пример 13. Найти промежутки выпуклости кривой f (x) x 3 x5 2 и точки

перегиба.
									Решение:
		5								10				1
					3		2
												3
Находим f (x) 1		3				x		,	f (x)	9					x .

Здесь критической точкой является точка x 0 , где вторая производная имеет разрыв. Очевидно, что

f (x) 0	на промежутке x 0 и на этом промежутке функция	f (x)	выпуклая
вверх;
f (x) 0	на промежутке 0 x і на и на этом промежутке функция	f (x)	выпуклая
вниз;
f (0) 2.

Кривая имеет при x 0 точку перегиба (0; 2).