Fizika_Isachenkova_9_rus_2015
.pdfСкалярные и векторные величины. Действия над векторами |
|
|
|
21 |
|||
r |
|
|
|
|
|
r |
в конец |
Замыкающий вектор c, проведенный из начала первого вектора |
a |
||||||
r |
r |
r |
r |
r |
r |
1 |
|
последнего a4 , есть сумма данных векторов: |
c |
= a1 |
+ a2 |
+ a3 |
+ a4 . |
Такой спо- |
соб сложения называется правилом многоугольника. Оно следует из правила
|
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
r |
|
|
|||||
|
9. Модуль суммы векторов. Не путайте модуль суммы векторов, т. е. |
r |
+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
b |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
r |
+ |
r |
|
r |
r |
= |
r |
+ |
r |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
||||
и |
сумму их модулей |
a |
b |
. Равенство |
a |
+ b |
a |
b |
выполняется только |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
+ |
a |
|
+ |
b |
: |
||||
для одинаково направленных векторов. В остальных случаях a |
+ b |
|
|
модуль суммы меньше суммы модулей. Так получается потому, ч о в любом треугольнике (см. рис. 27, б) длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон. Проверьте это на примерах.
|
|
|
|
10. Нуль-вектор. Пусть вектор |
r |
равен вектору |
|
r |
|
Тогда их разность |
|||||||||||||||
|
|
r |
|
a |
|
b. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
r |
r |
Нуль-вектор |
r |
не имеет направления, |
а его модуль равен нулю: |
|||||||||||||||||
|
ar |
− b = |
0. |
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Главные выводы |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направле- |
|||||||||||||||||||||
|
нием, скалярные — только числовым зн чением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2. Сумму двух векторов н ходят по пр вилу параллелограмма или тре- |
|||||||||||||||||||||
|
угольника. |
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3. Разность двух векторов |
|
аходят, проводя вектор из конца вычитаемого |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
вектора в конец уменьшаемого (при совмещенных началах векторов). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. Разность векторов |
r |
|
r |
можно найти как сумму |
|
r |
|
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
− b |
a |
+ (−b). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
5. Произведение вект ра |
нr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= βa. Его направ- |
||||||||
|
|
|
|
a |
на число βrесть вектор |
|
b |
||||||||||||||||||
|
ление совпадает с направлением вектора |
a, если β * 0, |
и противоположно |
||||||||||||||||||||||
|
вектору |
r |
|
|
д |
|
|
|
r |
равен b |
= |
|
β |
|
a. |
|
|||||||||
|
a, |
если β + 0. М дуль вектора b |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Контрольные воп осы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1. В чем р зличиермежду векторными и скалярными величинами? |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2. В каком случае векторы |
r |
и |
r |
одинаково направлены? |
Противоположно на- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
βa |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
правлены?а |
|
|
|
r |
быть меньше модуля вектора |
r |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3. Может ли модуль вектора βa |
a? В каком случае? |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. Как сложить два одинаково направленных вектора? Два вектора противоположных |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
направлений? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5. Как найти сумму векторов по правилу треугольника? Параллелограмма? |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6. Как найти разность двух векторов? Покажите, что вычитание векторов есть дей- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ствие, обратное сложению. |
|
|
|
uur |
|
uuur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
7. Какой смысл имели бы векторы |
BD |
и |
DB на рисунке 27, а? |
Правообладатель Народная асвета
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематика |
|
§ 5. Проекция вектора на ось |
|
|
|
|||||||
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении |
||||||||||
задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое |
||||||||||
проекция вектора? Каковы ее свойства? |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Начнем с понятия проекция точки на ось. Проекция |
||||||
|
|
|
точки — это основание перпендикуляра, опущенного из |
|||||||
|
|
|
данной точки на ось. На рисунке 30 очка M1 — это проекция |
|||||||
|
|
|
точки M на ось Ox, точка N1 — про кция |
а |
на эту ось. |
|||||
|
|
|
очки N |
|||||||
|
|
|
|
А что такое проекция ектора натось? |
|
|||||
Рис. 30 |
|
|
|
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между |
||||||
|
|
проекциями начала и конца |
е |
|
|
|||||
|
|
|
ектора на эту ось, взятая со |
|||||||
знаком «+» или «−». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, |
||||||||||
а знак «−» — если угол тупой. |
|
|
в |
|
|
|||||
Обозначать проекцию вектора будем той сже буквой, что и вектор, но с ин- |
||||||||||
дексом внизу (например, ax — проекция вектора |
r |
|
|
|||||||
a на ось Ox). |
|
|||||||||
На рисунке 31, a угол ϕ между векторомаи осью Ox острый, а на рисун- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
ке 31, б угол ϕ — тупой. Поэтому проекция вектора a на ось Ox положительна |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
— отрицательна (bx = −D1C1 + 0). |
|||
(ax = A1B1 * 0), а проекция вектора b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
Рис. 31 |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция век- |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
р |
то а равна нулю (рис. 32). |
|
|
|
|||||
|
|
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и |
||||||||
|
угол между вектором и осью. |
|
|
|
||||||
а |
|
|
|
|
||||||
|
|
На |
рисунке |
31, a в треугольнике |
ABB2 |
гипотенуза |
||||
|
AB = a, |
катет AB2 |
= ax, а угол между ними равен ϕ. Следова- |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
тельно, |
|
|
ax = a cos ϕ. |
|
|
||
Рис. 32 |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус |
||||||||||
угла между вектором и осью. |
|
|
|
|
|
Правообладатель Народная асвета
Проекция вектора на ось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 33 |
|
|
в |
|
|
|
Рис. 34 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это правило справедливо при любых зн ченияхсугла ϕ. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Для тупых углов (см. рис. 31, б) cos ϕ + 0, и по формуле bx = b cos ϕ полу- |
||||||||||||||||||||
чится b |
x |
+ 0 (как и должно быть по определению проекции). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||
А можно ли найти модуль и н пр вление вектора по его проекциям на коор- |
||||||||||||||||||||
динатные оси? |
|
r |
|
|
uuur |
|
леж щийяв плоскости xOy (рис. 33). Его проек- |
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||
Рассмотрим вектор d |
AC, |
|||||||||||||||||||
ции на оси Ох и Oу легко определить из рисунка: dx = 8, dy = 6. Из треугольника |
||||||||||||||||||||
ACD по теореме Пифагора |
|
|
|
|
|
|
а |
2 |
|
2 |
8 |
2 |
+ 6 |
2 |
= 10. Раз- |
|||||
|
|
ахо им модуль: d = |
dx |
+ dy = |
|
|
||||||||||||||
делив AD на AC, получим cos ϕ = |
dx |
= 0,8. По значению косинуса находим угол |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ ≈ 37°. Таким образ м, вект р, лежащий в заданной плоскости, определяется |
||||||||||||||||||||
двумя проекциями на |
си к |
|
рдинат. Вектор, произвольно направленный в про- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
(рис. 34). |
|
|
|
|
||||||
странстве, оп еделяется т емя проекциями ax, ay, az |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Обратим внимание на важное свойство проекций: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проекция суммы векто ов на ось равна сумме их проекций на эту ось. |
||||||||||||||||||||
С помощью рисунка 35, |
|
а, б проверьте, что из равенства |
r |
r |
|
r |
||||||||||||||
|
c |
= a |
+ b следует |
|||||||||||||||||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx = ax + bx. При проверке не забывайте о знаках проекций. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35 |
|
|
|
Правообладатель Народная асвета |
24 |
Кинематика |
Главные выводы
1.Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав его проекции на оси координат. а
2.Проекция вектора на ось — это длина отрезка, з ключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взяття со зн ком «+» или «−».
3.Если угол между вектором и осью острый, ео его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, сли прямой — равна нулю. в
4.Проекция вектора на ось равна произ ед нию го модуля на косинус угла между вектором и осью. с
5.Проекция суммы векторов на ось равна умме их проекций на эту ось.
Контрольные вопросы |
я |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Что такое проекция точки на ось? Проекция вектора на ось? |
|
|||||
2. |
Когда проекция вектора на ось: а) равнаанулю; б) положительна; в) отрица- |
||||||
тельна? |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Как найти проекцию вектора на ось, зная его модуль и угол между вектором |
||||||
и осью? |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
При каком значе ии угла между вектором и осью его проекция будет: а) мак- |
||||||
|
|
д |
|
|
|
|
|
симальна; б) равна полови е модуля вектора? |
|
||||||
5. |
Как найти модуль вектора по его проекциям на координатные оси? |
|
|||||
6. |
Равна ли проекция раз ости двух векторов на ось разности проекций этих векто- |
||||||
ров на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа. |
|
||||||
(рис. |
|
ро |
|
r |
r r |
|
|
|
а |
|
|
|
|||
|
|
c |
= a + b |
находим по правилу |
треугольника |
||
Решение. Сумму векторов |
|||||||
Н |
|
|
|
|
r |
r |
|
(рис. 37, ) или параллелограмма (рис. 37, |
б). Так как векторы a |
и b взаимно |
|||||
Рис. 36 |
|
|
|
Рис. 37 |
|
Правообладатель Народная асвета
Проекция вектора на ось |
25 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 38 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны, |
модуль вектора |
|
нахо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
дим по теореме Пифагора: c = |
a2 |
+ b2r |
= |
|
|
|
|
|
в |
т |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
с |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
32 + 42 |
= 5. |
|
Разность |
векторов |
d = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
Рис. 39 |
|||||||||||
= a − b определим по правилам вычитания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
векторов (рис. 38, а, rб). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = |
a2 |
+ b2 |
= |
32 + 42 |
= 5. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Модуль вектора d находим аналогично: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: с = 5; d = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
а |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. Выразите вектор a |
|
|
|
b |
и c |
(рис. 39). Как связаны между |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
через векторы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу? |
|
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|||||||||||||||
|
По правилу треугольника н ходим: c |
= a + b. |
a |
= c |
− b. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
оси Ох и Оу, |
получаем: ax = 2, ay = 4, bx = 4, |
|||||||||||||||||||||
Проецируя векторы a, |
|
b |
|
и c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
by = −2, cx = 6, cy = |
2. |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Вычислением убе имся, что |
проекции |
связаны |
|
так |
же, |
как |
и |
векторы: |
||||||||||||||||||||||||||||||
a = c |
|
− b |
, a = c |
− b . |
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
x |
|
x |
|
y r |
y r |
yr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
= cx − bx; |
ay = cy − by. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ: a = c |
− b |
; |
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
оr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Упражнение 1 |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1. |
Постройте |
|
векто ы |
a + b, |
a |
− b |
|
и |
b |
− a для каждой |
пары |
векторов |
||||||||||||||||||||||||||
r |
и |
r |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
изобр женных на рисунке 40, а, б, в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|||
|
2. Модуль вектора |
|
a |
|
равен 5. Постройте векторы: |
4a; |
0,2a; |
−3a; |
− |
|
a |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Рис. 40
Правообладатель Народная асвета
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематика |
Рис. 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
3. Найдите проекции векторов (рис. 41) на координатные оси Ох и Оу. |
|||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Модули aе= b = 4. Постройте сумму |
||
4. Вектор a |
перпендикулярен вектору b. |
||||||||||||
векторов |
r |
r |
и разность |
r |
|
r |
е ли: 1) α = 2, β = 4; 2) α = −2, β = 0,5. |
||||||
αa + βb |
αa |
− βb, |
|||||||||||
|
r |
|
r |
r |
|
|
r |
r |
r |
|
в |
|
|
5. Вектор c = a + b |
и вектор |
d = a − b |
|
|
|
||||||||
вз имно перпендикулярны. Найдите |
|||||||||||||
соотношение между модулями векторов |
r |
r |
|
|
|||||||||
a |
и b. Сделайте чертеж. |
||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
приложенная к телу, направлена под углом α = 30° к горизон- |
||||||||||||
6. Сила F, |
|||||||||||||
тальной поверхности (рис. 42). Модуль этойасилы F = 60 H. Найдите проекции |
|||||||||||||
r |
на оси Ох и Оу. |
|
|
я |
|
|
|
|
|||||
силы F |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 6. Путь и перемеще ие |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Автобус с футболь ымиаболельщиками отправился с Октябрьской |
|||||||||||||
площади г. Минска в 9 часов утра. Можно ли определить, где окажется |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
н |
|
|
автобус в 11 часов, если известно, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
что за два часа он проделал путь |
||||||
|
|
|
|
д |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
s = 100 км? |
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
В 11 часов автобус мог нахо- |
||||
|
|
|
|
|
|
диться в самых различных местах |
|||||||
|
р |
|
|
|
|
|
|
(удаленных от Минска не более чем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
на 100 км) (рис. 43). Он мог при- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
быть, например, в Столбцы или Мо- |
||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
лодечно. Не исключено, что к 11 ча- |
||||||
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
сам автобус вернулся в Минск. Зна- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чит, для определения конечного |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
положения |
тела |
недостаточно |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
знать его начальное положение и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
пройденный им путь. |
|
|||
|
Правообладатель Народная асвета |
|
Путь и перемещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
||||
|
Кроменачальногоположения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тела и пройденного пути, для оп- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ределения конечного положения |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
||||||||
тела следует знать и траекторию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
его движения. В нашем примере |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
траектория |
движения |
|
автобуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
проходила по автомагистрали до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Логойска (где к минчанам при- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
соединились |
местные |
болель- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
щики), а затем — по шоссе до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|||||||||
Борисова |
(рис. |
44). |
Отсчитав |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 44 |
||||||
от |
начальной |
точки |
маршрута |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
100 км вдоль траектории, мы убедимся, что в 11 ча ов а тобусеприбыл в Борисов. |
|||||||||||||||||
|
А можно ли, зная начальное положение тела (ра |
матри аемого как матери- |
|||||||||||||||
альная точка), найти его конечное положение с помощью в его одной физической |
|||||||||||||||||
величины? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
||
|
Можно. Такая величина называется перемещениемс. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Перемещение — это вектор, соедин ющий начальное положение тела |
||||||||||||||||
с его конечным положением (для заданногоr |
промежуткаа |
времени). |
r |
||||||||||||||
|
Обозначается перемещение символом |
r |
. На рисунке 44 вектор |
r — пе- |
|||||||||||||
ремещение автобуса из Минска в Логойск, вектор |
r |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
r |
— из Логойска в Бори- |
||||||||||||||||
сов, а вектор |
r |
— из Минска в Борисовя. |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
r3 |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Видно, что для каждого из участков вектор |
r определяет и направление из |
|||||||||||||||
начальной точки траектории в ко ечаую, и расстояние между ними. Оно равно |
|||||||||||||||||
r, |
т. е. модулю данного перемеще ия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из рисунка 44 п нятно также и следующее. Если известны начальная точка |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то, пр ве я его из этой точки, мы найдемr |
конечную точ- |
|||||||||||
траектории и вектор |
r , |
||||||||||||||||
ку данного участка движения. Например, |
если начало вектора |
r |
совмещено с |
||||||||||||||
точкой «Логойск» (см. |
д |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
ис. 44), то конец этого вектора совпадет с местоположе- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
нием стадиона «Борисов-Арена» (рис. 45). |
||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
Можно ли сравнивать путь, пройден- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ный телом, с его перемещением? Нельзя, |
|||||||||||
|
|
а |
|
|
|
поскольку |
путь |
s |
— скаляр, а перемеще- |
||||||||
|
|
|
|
|
ние |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r — вектор. Сравнивать путь s мож- |
||||||||||||
|
Н |
|
|
|
|
|
но с |
модулем |
перемещения |
r, |
который |
||||||
|
|
|
|
|
|
является скалярной величиной. Равен ли |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
путь модулю перемещения? |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
В рассматриваемом примере путь, прой- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 45 |
денный автобусом за два часа, s3 = 100 км. |
||||||||||
|
|
|
|
Правообладатель Народная асвета |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематика |
|||
Это длина траектории движения автобуса от Минска через Логойск до Борисова. |
|||||||||||||||||
Ясно, что модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Мин- |
|||||||||||||||||
ска до Борисова. Оно составляет 70 км. Значит, |
r3 = 70 км, т. е. путь автобуса |
||||||||||||||||
был больше модуля его перемещения: s3 * |
r3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус дви- |
|||||||||||||||||
гался все время по прямой, не изменяя направления движения. Зн чит, во всех |
|||||||||||||||||
случаях путь не меньше модуля перемещения, т. е. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s , |
|
r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как складываются между собой пути и как — п р м щ ния? |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
Пройденные пути складываются арифметически: |
s1 + s2 = s3, а перемеще- |
||||||||||||||||
ния — по правилам сложения векторов. |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r |
+ |
r |
= |
r |
|
|
|
|
|||||
Из рисунка 44 видно, что |
(по пра илу треугольника). Равен |
||||||||||||||||
r1 |
r2 |
r3 |
|||||||||||||||
ли при этом модуль |
r3 сумме модулей |
r1 + |
|
|
е |
|
|
|
|||||||||
r2? От етьте самостоятельно. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
При решении задач важно уметь находить |
|||||||||||
|
|
|
|
|
проекции |
перемещенияв |
. |
Построим вектор |
|||||||||
|
|
|
|
|
перемещения куска мела по школьной доске |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(см. рис. 18) из точки A в точку С. Из рисун- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
uuur |
|
|
|
|
|
|
ка 46 видно, что проекции вектора |
r = |
AC |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
на координатные оси Ох и Оу выражаются |
||||||||||||
|
|
|
|
|
через координаты начальной и конечной точек |
||||||||||||
|
|
|
|
|
следующим образом: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
я |
|
= xС − xA = |
x; rу = yС − yA = |
|
|
|||||||
Рис. 46 |
|
|
|
а |
|
|
rx |
y. |
(1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекция вектора перемеще ия на координатную ось равна разности ко- |
|||||||||||||||||
ординат конца и начала этого вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для точки, движущейсянв пространстве (см. рис. 19), к равенствам (1) сле- |
|||||||||||||||||
дует добавить: |
|
д |
|
|
rz = |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Главные выводы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за опреде- |
|||||||||||||||||
ленный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина. |
|
||||||||||||||||
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение |
|||||||||||||||||
тела с его конечным положением (для заданного промежутка времени). |
|
|
|||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Модуль перемещения не больше пути, пройденного за тот же проме- |
|||||||||||||||||
жуток времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по |
|||||||||||||||||
правилам сложения векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности |
|||||||||||||||||
координат конца и начала этого вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Правообладатель Народная асвета
Путь и перемещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
||||
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Что такое путь и что такое перемещение? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Может ли перемещение равняться нулю, если путь не равен нулю? Приведите примеры. |
|||||||||||||||||||||
3. Может ли путь равняться нулю, если перемещение не равно нулю? |
|
|
|
||||||||||||||||||
4. Почему путь нельзя сравнивать с перемещением, а только с его модулем? |
|
||||||||||||||||||||
5. В каком случае путь равен модулю перемещения? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. Зависит ли перемещение тела от выбора системы отсчета? Ответ подтвердите |
|||||||||||||||||||||
примерами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
||||
Пример решения задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площад- |
|
т |
|
|
|||||||||||||||||
ку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В |
|
|
|
||||||||||||||||||
по краю площадки (рис. 47). Размеры площадки 60 80 м. |
е |
|
|
|
|||||||||||||||||
Определите модули перемещений пешехода и конькобежца |
|
|
|
||||||||||||||||||
и пути, пройденные ими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
Рис. 47 |
||||||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||||
а = 60 м |
|
|
Из рисунка 47 видно, что перемещенияспешехода и конькобежца |
||||||||||||||||||
b = 80 м |
одинаковы. Модуль перемещения: |
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r — ? |
|
|
|
|
r = |
a |
2 |
+ b |
2 |
= |
|
|
2 |
= 100 м. |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3600 м + |
6400 м |
|
|
|
|
||||||||
r2 — ? |
|
|
Путь пешехода: s1 = |
|
+ b = 60 м + 80 м = 140 м. |
|
|
|
|||||||||||||
s1 — ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Путь конькобежца: s2 = |
яr = 100 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
s2 — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
r1 = |
r2 = 100 м; s1 |
= 140 м; s2 = 100 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Упражнение 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Численное значение путинили модуля перемещения показывает счетчик |
|||||||||||||||||||||
пробега автомобиля? П чему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Такси сове шило |
дейс по маршруту Минск — Червень — Березино. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Изобразите в тет ади пе емещения такси на участках Минск — Червень ( rМЧ ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
Червень — |
|
|
о |
) |
и Минск — |
Березино |
( |
|
r |
). Докажите, |
что |
||||||||||
Бе езино ( |
r |
|
|||||||||||||||||||
r |
r |
|
+ |
r |
|
ЧБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МБ |
|
|
|
|
rМБ = |
rМЧ |
rЧБ. |
Используя рисунок 44 и численные данные, приведенные в |
||||||||||||||||||
тексте пар гр фа,рн йдите модули этих перемещений. Сравните сумму модулей |
|||||||||||||||||||||
rМЧ + |
rЧБ |
с модулем |
rМБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Воспроизведите рисунок 46 в тетради, дополнив его векторами переме- |
|||||||||||||||||||||
щений |
r |
= |
uur |
|
r |
uur |
Какое равенство выполняется для векторов |
r |
|||||||||||||
r |
AВ и |
r = BC. |
r , |
||||||||||||||||||
r |
r 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r2 и |
r ? |
Найдите числовые значения для проекций этих векторов на оси Ох и |
|||||||||||||||||||
Оy и дляНмодулей этих векторов. Равен ли модуль |
r сумме модулей |
r1 и |
r2? |
||||||||||||||||||
4. Спортсмен на тренировке пробежал N = 6,5 круга радиусом R = 50 м. Ка- |
|||||||||||||||||||||
кой путь проделал спортсмен? Чему равен модуль его перемещения? |
|
|
|
Правообладатель Народная асвета
30 |
Кинематика |
5.Строительный кран поднимает груз на высоту h = 30 м. Одновременно кран передвигается на расстояние l = 10 м. Определите перемещение груза, его вертикальную и горизонтальную составляющие. Изобразите их соответствующими векторами. Чему равны модули этих векторов? а
6.Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длинойlРешение§ т
знакомились с понятием «скорость». Сравнимвкорости движения разных тел. За одну секунду черепаха (рис. 48,аа) может преодолеть несколько сантиметров, человек — до 10 м, геп рд (рис. 48, б) — до 30 м, гоноч-
Скорость |
с |
е |
|
||
|
|
|
В 7-м классе вы изучали равномерное прямолинейное движение, по- |
ный автомобиль — около 100 м. Около 8 км за секунду пролетает по орбите спутник Земли (рис. 49, ая). Но д же скорости космических кораблей — «черепашьи» по сравнению со скоростью микрочастиц в ускорителях. В современном ускорителе (риса. 49, б) электрон за одну секунду пролетает почти 300 000 км!
Скалярная или векторн я величина — скорость? Каковы закономерности равномерного прямоли ей ого движения?
Из 7-го класса мы з аем, что движение, при котором за любые равные про-
межутки времени тело прохо ит одинаковые пути, называется равномерным. |
|||
|
|
н |
|
|
д |
||
|
о |
|
|
Равномерно м жно вигаться как по прямолинейной, так и по криволинейной тра-
|
р |
|
инаковыми будут не только пути, но и перемещения? |
|||
ектории. В как м случае |
||||||
Проделаем |
|
пыт. |
Проследим |
за падением металлического |
шарика в |
|
а |
т убке, |
заполненной |
вязкой жидкостью (густым |
сахарным |
||
вертикальной |
||||||
Н |
|
|
|
|
|
|
Рис. 48 |
|
|
|
|
|
|
Правообладатель Народная асвета