Fizika_Isachenkova_9_rus_2015

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении

61

ходит потому, чтоrв момент времени

tп скорость тела v = 0, а направле-

ние движения тела изменяется на

а

противоположное (см. график 2 на

рис. 88, а также рис. 85). Моменту

времени tп на графике 2* соответ-

ствует вершина параболы.

А каким будет график пути?

Для движения, при котором на-

правление скорости не изменя-

т

ется, график пути совпадает с

графиком проекции перемещения

е

(рис. 90, графики 1а и 1б). Если

в

же скорость меняет свое направ-

Рис. 90

ление, то эти графики совпадают

лишь при 0 + t + tп (см. рис. 90,

графики 2 и 2б). После момента поворота

tп проекция перемещения начинает уменьш ться,

с

путь продолжает расти. Он

увеличивается на столько, на сколько за то же время уменьшается проекция

а

перемещения. Графики пути изображены на рисунке 90 штриховыми линиями.

Так как координата x = x0 +

rx,

то гр фик координаты получается из графика

проекции перемещения смещением на |x0| (вверх при х0 * 0 или вниз при х0 + 0).

На рисунке 91 сплошная ли ия —

я

а

это график rx, линия 1+ — график

координаты

при

х0 = 80 см,

ли-

ния 1− — график коор инаты при

х0 = −80 см.

н

Скорость

при

равн перемен-

д

ном движении линейно зависит от

времени. А как зависит ско ость от

перемещения?

о

Выразим

время

из

фор-

мулы

(1):

р

Подста-

t = vx

− v0x .

ax

вив t

а

(2),

получим:

в равенство

r = v0x + vx

vx − v0x .

x

2

ax

Следовательно,

Н

r

=

v2

− v2

(5)

x

0x ,

x

2ax

Рис. 91

Правообладатель Народная асвета

62 Кинематика

откуда	= v2	+ 2a
v2			x	r .	(6)
x	0x			x

Формула (6) показывает: при равнопеременном движении квадрат скорости линейно зависит от перемещения.

Отметим, что при движении с постоянным ускорением соотношения, имею-

т

щие вид (1) и (3), выполняются не только для проекций, но и для векторов:

r

r

r

е

а

v = v0

+ at;

(7)

r

r

r 2

r

= v t

+

at

.

(8)

0

2

с

Формулы (7) и (8) справедливы и для прямолин йного, и для криволинейного

r

uuuuuur

движения при a

= const.

Главные выводы

а

в

ая

1. При равнопеременном движении перемещение и координата движуще-

гося тела — квадратичные функции времени.

2. Графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени

для равнопеременного движения вл ются участками парабол.

3. Вершина параболы на гр фике проекции перемещения соответствует

моменту времени, при котором мгновенная скорость равна нулю.

1.Как, используяографикдпроекции перемещения при равномерном движении, получить график эт й величины ля равнопеременного движения?

2.Как зависятрперемещение и координата от времени при равнопеременном движении?

3.Как, зная г афик пр екции перемещения, получить график координаты? Что еще приаэтом надо знать?

4.В к ком случае г афики проекции перемещения и координаты совпадают?НШарику н

желоба длиной l = 100 см (рис. 92), сообщили начальную скорость, направленную вдоль наклонного желоба вверх. Ее модуль v0 = 40 cсм . Ускорение шарика

направлено вдоль желоба вниз. Модуль ускорения а = 20 cм. Найдите координа-

с2

ту точки поворота и время, за которое шарик ее достигнет. Определите момент

Правообладатель Народная асвета

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении

63

времени t2, когда шарик вернется в точ-

ку А, и момент времени t3, когда шарик

окажется в нижней точке О желоба. По-

стройте графики проекций скорости, пе-

ремещения, а также график координаты

шарика за время от начала движения до

Рис. 92

момента времени t3.

а

Дано:

Решение

l0 = 100 cм

Сделаем рисунок к задаче (см. рис. 92). Р шим задачу графически.

v0 = 40 cм

Выберем ось Oх, как показано на рисунке. Тогдатпро кция ско-

с

рости v

= v

− at, проекция перемещения

= v t − at2

, коорди-

а = 20

cм

x

0

r

2

x

0

2

с

ната x = x

+ v t − at2 ,

= 0,5l

= 50

е

= 40

cм ,

где x

0

0

м,

v

= v

x0 = 50 см

0

0

2

в

0x

0

с

a

r

t1 — ?

= −a = −20 cм. По этим формул м н йдем значения v и

x

с2

с

x

x

t

2

— ?

для моментов времени t = 0; 1,0 c; 2,0 с; 3,0 с; 4,0 с; 5,0 с и зане-

t3 — ?

сем результаты в таблицу.

а

x1 — ?

t, с

0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

v

,

cм

40

20

0 я

−20

−40

−60

x

с

rx, см

0

30

40

30

0

−50

а

Используя полученные значения, строим графики проекций скорости (рис. 93, а)

н

и перемещения (рис. 93, б, график 1) за промежуток времени от 0 до 5 с.

д

100

о

80

р

60

40

а

20

60

Н

-20

-40

-60

Рис. 93

Правообладатель Народная асвета

64

Кинематика

График

координаты

получим, сдвинув график

проекции перемещения на

x0 = 50 см вверх (см. рис. 93, б, график 2). Из графиков и таблицы находим: ко-

ордината точки поворота x1 = 90 см; шарик достиг ее в момент t1 = 2,0 с; в точ-

ку А шарик вернулся в момент t2 = 4,0 с,

а в точке

О оказался

в

момент

t3 = 5,0 с.

Ответ: t1 = 2,0 с; t2 = 4,0 с; t3 = 5,0 с; x1 = 90 см.

Упражнение 8

1. Тележка съезжает с вершины наклонной плоскос и за врамя t = 4,0 с, дви-

гаясь с постоянным ускорением, модуль которого а = 20

см.

Начальная скорость

с2

т

тележки равна нулю. Определите длину наклонной плоскости.

2. Электровоз, подходя к станции со

коро тью, модулье

которой v = 20 м ,

с

начинает тормозить и через время t = 1,0 мин о танавливается. Определите тор-

мозной путь электровоза. С каким средним у корениемвдвигался электровоз?

3. Проекция скорости шарика, движущегося по прямолинейному желобу, за-

с

cм ,

В = 2,0 cм.

Определите

висит от времени по закону: v = А + Bt, где А = 10

x

а

с

с2

проекциюначальнойскоростиипроекциюускоренияшарика. Найдитезависимость

проекции перемещения

rx ш рика от времени. Найдите значения vx и

rx в момент

времени t = 6,0 с. Постройте гр фики проекций скорости и перемещения шарика.

4. По графикам проекции скоростия

прямолиней-

м

но движущихся тел А и В (рис. 94) постройте графики

с

а

проекций их ускорения и перемеще ия. Охарактеризуй-

те эти движения. Чему равно отношение путей, прой-

денных каждым тел м к м ментам времени t

1

= 4,0 с и

н

t2 = 8,0 с от начала движения? Запишите кинематиче-

ский закон движениядкажд го из тел, если x0 = 0.

5. Подъемный к ан поднимает груз из состояния

покоя с постояннымо

ускорением, модуль которого

Рис. 94

а = 0,3

м .

К к относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды

с2

р

движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения

груза от времени.

а

6. Кинематический закон движения брошенной вверх металлической дробин-

ки имеет вид: у = At − Bt

2, где А = 20,0 м

, В = 5,0

м . Определите путь, модуль

с

с2

= 1,0 с, t

= 2,0 с и

перемещения и координату дробинки к моментам времени t

1

2

Н

t3 = 3,0 с от начала движения. Постройте графики зависимости от времени про-

екций ускорения и скорости, координаты дробинки, модуля перемещения и пути.

Правообладатель Народная асвета

Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости

65

§ 14. Криволинейное движение.

Линейная и угловая скорости

Мы изучили прямолинейное движение — равномерное и равнопе-

ременное.

Однако

криволинейное движение

встречается

гор здо ч ще

(рис. 95, а, б). Каковы закономерности такого движения?

а

т

е

в

с

а

Рис. 95

Пусть тело движется по криволи-

нейной траектории, изображенной на

рисунке 96. Ее (как и любую другую) я

можно приближенно разбить а прямо-

линейные участки (МK, АВ, …) и ауги

окружностей (KА, BD, …) соответствую-

Рис. 96

щих радиусов.

н

Кинематику прямолинейного движения мы уже

дизучили. Рассмотрим теперь движение тела (прини-

мая его за материальную точку) по окружности ради-

оусом R (рис. 97).

Двигаясь по траектории, в каждый момент време-

2

r

1

ни тело имеет мгновенную скорость v.

При рассмот-

р

1

2

рении движения по окружности ее принято называть

а

линейной скоростью.

Н

Чтобы охарактеризоватьr положение движущего-

ся тела, проведем вектор

R

из центра окружности

в ту точку траектории, где в данный момент находит-

r

ся тело (см. рис. 97). Вектор

R называют радиус-

Рис. 97

вектором.

Правообладатель Народная асвета

66 Кинематика

На рисунке 97 радиус-вектор					r	характеризует положение тела в момент
					R
времени t			r		1			.
	1	, а радиус-вектор R		— в момент времени t
			2			r	2
За время			t = t2 − t1 радиус-вектор			R повернется на угол Δϕ. Тело движется
по окружности, а его радиус-вектор совершает вращательное движение.
В СИ угол поворота измеряется в радианах (сокращенно — р д). 1 рад —

это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см.

рис. 97, угол COD). Значит, если тело пройдет по окружнос и пу ь s, то значение

угла поворота его радиус-вектора в радианах будет равно:

а

Δϕ =

s

.

т

(1)

R

е

Например, если радиус-вектор совершает один полный оборот, то путь будет

равен длине окружности s

= 2πR, а угол поворота Δϕ =

s1

= 2π рад. Так как в гра-

1

1

вR

дусной мере угол Δϕ = 360°, то 2π рад = 360°, 1 рад =

360°

≈ 57,30° ≈ 57°18t.

2 π

1

с

Рассмотрим самое простое из криволинейных движений — равномерное

движение по окружности.

а

В этом случае за любые р вные промежутки времени тело проходит одина-

а

ковые пути и модуль линейной скорости v = const. Однако направление вектора

r

v непрерывно изменяется (см. рися. 97). Значит, при равномерном движении по

д

окружности (как и при любом криволинейном движении) линейная скорость тела

r

uuuuuur

непостоянна: v

≠ const.

о

Если тело движется по окружности равномерно, то его радиус-вектор совер-

шает равномерн е вращениен. Быстроту вращательного движения характеризуют

р

угловой скор стью. Ее бозначают буквой ω (омега). При равномерном враще-

нии угловая ск

сть равна отношению угла поворота радиус-вектора к про-

а

межутку в емени, за который этот поворот произошел:

Н

ω =

ϕ

.

(2)

t

Числовое значение угловой скорости показывает, на какой угол повернется радиус-вектор за единицу времени. При равномерном вращении угловая скорость постоянна.

Единицей угловой скорости в СИ является 1 радиан в секунду 1 радс .

Как связаны между собой модуль линейной скорости v тела, движущегося по окружности, и угловая скорость ω вращения его радиус-вектора?

Правообладатель Народная асвета

Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости

67

		Подставив Δϕ из формулы (1) в формулу (2), получим: ω =					s		. Отношение
							R
	s	= v. Значит,						t
	t
			ω =	v	.					(3)
				R
		Важной характеристикой равномерного движения тела по окружности явля-
ется период обращения.
		Период обращения равен времени, за которое тело (ма ери льн я очка)
делает один полный оборот по окружности.									а
		Обозначим период буквой Т. За время Т радиус-вектор поворачивае ся на

угол Δϕ = 2π. Значит, согласно формуле (2) угловая скорость равном рного вра-
					в		т
щения:					с	е
	ω = 2 π.							(4)
		T
С периодом и угловой скоростью связ на ч					тота вращения. Ее обычно

обозначают греческой буквой ν (ню).

Частота вращения равна отношению числа оборотов к промежутку време-

ни, за которое они совершены.									а
										совершается за единицу
Ее числовое значение показывает, сколько оборотова
времени. Пусть за 2 с сделано N = 10 оборотов. Тогда частота вращения равна
								н
5 оборотам в секунду, а время одного оборота, т. е. период Т = 0,2 с. Таким об-
разом, частота есть величи а, обр т я я
периоду:						о
			ν =	1	.				(5)
				T
			р
Единицей част ты вращения в СИ
является	1 обо т в секундуд,								или
1 = с−1 .	а
	Из фо мул (4) и (5) находим:
с
			ω = 2πν.						(6)
Мы рассмотрели движение тела по
окружности. Рассмотрим теперь тело,
равномерно вращающееся вокруг не-
подвижной оси (рис. 98).
ТочкиН, находящиеся на оси, поко-
ятся. Остальные точки тела описыва-
ют окружности, лежащие в плоскостях,											Рис. 98

Правообладатель Народная асвета

68 Кинематика

перпендикулярных оси вращения. Если тело в процессе вращения не деформируется, то углы поворота ϕ радиус-векторов этих точек за одно и то же время оди-

наковы (см. рис. 98). Значит, период, частота и угловая скорость для точек

такого тела также одинаковы.					а
В то же время модули линейной скорости точек тела зависят от их рассто-
яния до оси (см. рис. 98). Согласно формуле (3)					т
		v = ωR.
Модули линейных скоростей точек вращающегося ела прямо пропорци-
ональны расстоянию до оси вращения (см. рис. 98).
Главные выводы				в
1.	Угловая скорость вращательного движения чиеленно равна углу пово-
			а
рота радиус-вектора за единицу времени.
2.	Единица угловой скорости — 1 р ди н в екунду.
3.	Частота вращения есть величина, обр тн я периоду.
4.		я
	Модули линейных скоростей точек врсщ ющегося тела прямо пропор-
циональны расстоянию до оси вращения.
Контрольные вопросы

1.Постоянна ли скорость тела при его равномерном движении по окружности? Постоянен ли модуль этой скорости? Почему?

2.Какой физический смысл имеет угловая скорость? В каких единицах она измеряется?

3.Как угловаяоскорость связа а с линейной?

4.Как связан период обращения с угловой скоростью? С частотой вращения?В л электродвигателя кофемолки совершает N = 45 оборотов за времяна

а

t = 6,0 с. Определите период, частоту и угловую скорость равномерного враще-

Н

ния в ла.

Дано:

Частота вращения:

Решение

N = 45

N

45

t = 6,0 с

ν =

;

ν =

= 7,5 c−1.

t

6,0 c

T — ?

Учитывая связь между периодом и частотой, находим:

ν — ?

T =

1

=

1

= 0,13 c.

ω — ?

ν

7,5 c−1

Правообладатель Народная асвета

Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости

69

Угловая скорость:

ω = 2πν = 6,28 рад 7,5 с−1 = 47 радс .

Ответ: Т = 0,13 с; ν = 7,5 с−1; ω = 47

рад

.

а

с

Упражнение 9

1. Сколько

радиан

содержит

центральный

е

угол, длина дуги которого равна диаметру окруж-

в

т

ности? Половине длины окружности?

2. Желоб, изогнутыйввидеполовиныокруж-

с

ности радиусом R, лежит на столе (рис. 99, вид

сверху). По желобу из точки А в точку С равно-

мерно катится шарик. Какой путь он прошел?

Чему равны перемещение и модуль перемеще-

ния шарика? Изобразите векторы линейной ско-

Рис. 99

рости шарика в точках А, В и С.

а

3. Используя

r

r

решение предыдущей задачи,анайдите и изобразите векторы:

r

r

r

r

r

r

r

v1

= vВ

− vA ,

v2

= vС

− vВ

и

v3

= vС − vA .

н

4. Чему равно отношение пути к модулю перемещения при движении шарика

(см. рис. 99): а) из точки А в точку В; б)яиз точки А в точку С? Какой вывод из

д

1

этих расчетов можно сделать?

5. Определите угловую скорость, частоту вращения и период равномерно

вращающегося велосипе ного колеса, если за промежуток времени

t = 1,0 с оно

делает четверть об р та.

6. При

р

колесо

за время t = 8 c

совершает

равномерн м вращении одно

а

N1 = 240 оборотов, а д уг е за время t2 = 40 c — N2 = 600 оборотов. Во сколько

раз отлич ются их угловыеоскорости?

7. Бар б н центрифуги для отжима белья вращается равномерно с частотой

Н

ν = 600

1

. Ди метр барабана d = 40 см. Определите период и угловую ско-

мин

рость вращения барабана. Найдите модуль линейной скорости точек на его поверхности.

8.Определите периоды, частоты и угловые скорости вращения часовой, минутной и секундной стрелок часов.

9.Определите угловую и линейную скорости обращения Земли вокруг Солнца. Расстояние от Земли до Солнца принять равным R = 150 000 000 км.

Правообладатель Народная асвета

70 Кинематика

§ 15. Ускорение точки при ее движении по окружности

При равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю. А почему оно не равно нулю при равномерном движении по окружности? Как это ускорение направлено? Чему равен его модуль?

Пусть

тело

(р ссм

рив емое

как

материальная очка) движе ся равномер-

а

но по окружнос и радиусом R. За проме-

жуток рем ни

t т ло переместилось из

т

точки А точку В (рис. 100). Хотя модуль

скоро ти v приеэтом был постоянным,

изменение

корости

r

r

r

r

v

= vB − vA

≠ 0.

Поэтому

вне равно нулю и ускорение

тела, определяемое как

с

r

а

r

a

=

v

(

t → 0).

(1)

Рис. 100

t

r

Найдем это ускорение.

r

Перенесем вектор

в точку А (см. рис. 100) и построим вектор

По-

vB

v.

лучившиеся треугольники АCD и ОАВ подобны: они оба равнобедренные и име-

я

АD

0 OB). Из подобия треугольников

ют равные углы Δϕ (так к к АC 0

OA,

следует:

а

r

н

v

=

,

(2)

v

R

uuur

Разде-

где

r — модуль перемещения AB.

v — м дуль изменения скорости, а

лим обе части равенства (2) на t:

д

о

v

1

=

r

1

.

(3)

t

t

v

R

При м лых промежутках времени отношение

v

= a,

т. е. равно модулю уско-

t

отношениер

r

= v.

a

=

v

рения,

С учетом этого равенство (3) примет вид

,

откуда

а

t

v

R

2

a =

v

.

(4)

R

Формула (4) определяет модуль ускорения при равномерном движении тела

поНокружности. А как направлено это ускорение?

Направление вектора

r

совпадает с тем направлением, которое примет век-

a

тор

r

при t → 0 (см. формулу (1)). Из рисунка 100 видно, что чем меньше

t

v

Правообладатель Народная асвета