- •§ 12.5 Электрический диполь. Диполь во внешнем электрическом поле
- •§ 12.6 Поле диполя
- •§ 12.7 Диэлектрики. Типы диэлектриков и их поляризация
- •§ 12.8 Вектор поляризации. Поле в диэлектрике. Относительная диэлектрическая проницаемость
- •§ 12.9 Вектор электрической индукции. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
- •§ 12.10 Сегнетоэлектрики
- •Примеры решения задач
Примеры решения задач
Пример 12. 1. В пространстве, наполовину заполненном парафином (ε2=2), создано однородное электрическое поле, напряжённость которого в вакууме Е1=4В/м. Вектор образует с плоской границей вакуум – парафин угол α=60º. Определите в парафине: 1) электрическое смещениеD2; 2) напряжённость Е2 электростатического поля; 3) поляризованность Р2.
Дано: ε2=2; Е1=4В/м; α=60º; ε1=1.
Найти: 1) D2; 2) Е2; 3) Р2.
Решение. Поскольку в задаче задан векторкак по модулю, так и по направлению (рис.а), то задано и направление векторав вакууме (рис.б) (векторыипараллельны).
Связь между нормальной и тангенциальной составляющими векторов и:
Dn=ε0εEn и Dτ=ε0εEτ (1)
При переходе через границу раздела тангенциальная составляющая вектора(Eτ) и нормальная составляющая вектора (Dn) не претерпевают скачка, т.е.
Еτ1=Eτ2; Dn1= Dn2 (2)
а нормальная составляющая вектора (En) и тангенциальная составляющая вектора (Dτ)
; (3)
что схематически изображено на рисунках.
Из формулы (3), учитывая, что ε1=1, получим
Еτ1=ε2En2 и (4)
Из рисунка б, с учётом формул (1) и (4), следует, что
В вакууме (см.рис. б) Dn1= D1sinα=ε0E1sinα, Dτ2= D1cosα=ε0E1cosα.
Тогда искомое электрическое смещение в парафине
Из рисунка а, с учётом формул (1) и (4), следует, что
В вакууме (см.рис. а) Еn1= Е1sinα; Еτ1= Е1cosα.
Тогда искомая напряжённость электростатического поля в парафине
Поляризованность связана сисоотношением
откуда следует, что вектор в парафине направлен так же, как вектор(или). Тогда искомая поляризованность в парафине
P2=D2-ε0E2
Ответ: 1) D2=46 пКл/м2; 2) Е2=2,6 В/м; 3) Р2=23 пКл/м2.
Пример 12. 2. Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 1,5кВ, зажата парафиновая пластинка (ε=2) толщиной 5 мм. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.,
Дано: U=1,5кВ=1,5∙103В; ε=2; d=5мм=5∙10-3м.
Найти: σ'.
Решение. Векторы ,исвязаны соотношением
= ε0+
где и- соответственно векторы электрического смещения и напряжённости поля плоского конденсатора;- вектор поляризованности диэлектрика. Так вектораинормальны к поверхности диэлектрика, тоDn=D и Еn=Е. тогда можем записать D= ε0Е+Р; где Р= σ', т.е. равна поверхности плотности связанных зарядов диэлектрика (учли, что Рn=Р). Тогда
σ'=D- ε0Е.
Учитывая, что D= ε0Е и , гдеd – расстояние между обкладками конденсатора, найдём
σ'= ε0(ε-1)Е= ε0(ε-1) .
Ответ: σ' =2,65 мкКл/м2.
Пример 12. 3. Плоский конденсатор, между обкладками которого находится стеклянная пластинка (ε=7)толщиной d=3мм, заряжен до разности потенциалов U=500В. Определите: 1) поверхностную плотность σ зарядов на обкладках конденсатора; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов на стекле. Величиной зазора между пластинкой и обкладками пренебречь.
Дано: ε=7; d=3мм=3∙10-3м; U=500 В;
Найти: 1) σ; 2) σ'
Решение. Напряжённость поля внутри конденсатора при наличии диэлектрика между его обкладками
. (1)
С другой стороны, напряжённость электрического поля внутри конденсатора
(2)
Приравняв (1) и (2), получим искомую поверхность плотность зарядов на обкладках конденсатора
.
Поверхностная плотность σ' связанных зарядов равна поляризованности Р: σ'=Р. Поляризованность диэлектрика Р и напряжённости Е электростатического поля связаны соотношением Р=χ ε0Е, где χ- диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, связанная с диэлектрической проницаемостью соотношением:
ε=1+ χ. Тогда, учитывая формулу (2), получим искомую поверхностную плотность зарядов:
σ' =P= χ ε0Е= ε0(ε-1)Е =ε0(ε-1)
Ответ:1) σ =10,3 мкКл; 2) σ' =8,85 мкКл
Пример 12. 4. Расстояние между обкладками плоского конденсатора
d =1мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U=700В между обкладками вставили стеклянную пластинку (ε=7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость χ стекла; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов на стеклянной пластинке.
Дано: d=1мм=1∙10-3м; U=700 В; ε=7.
Найти: 1) χ; 2) σ'
Решение. Связь диэлектрической проницаемости ε и диэлектрической восприимчивость χ
ε=1+ χ
откуда искомая
χ= ε -1
Напряжённость поля внутри конденсатора после его зарядки
(1)
А после того, как в конденсатор вставили диэлектрик,
(2)
[учли формулу (1)].
Поверхностная плотность связанных зарядов σ' равна поляризованности Р:
σ'=Р.
Связь между поляризованности диэлектрика и напряжённости электростатического поля
Р=χε0Е
Тогда искомая поверхностная плотность связанных зарядов
Ответ: 1) χ =6; 2) σ'=5,31 мкКл/м2.