Тема 5 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости (струйки вязкой жидкости и для потока вязкой жидкости) Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Вспомним уравнение Эйлера для элементарной струйки идеальной жидкости:

__________________________

__________________________

___________________________

Приведем систему уравнений к виду удобному для интегрирования, для чего умножим каждое из уравнений на dx, dy, dz и почленно сложим:

(5.1)

_________________________________________________________________

Первый трехчлен уравнения является полным дифференциалом гидродинамического давления, отнесенным к единице плотности и равен:.

Рассмотрим движение жидкости только под действием силы тяжести, тогда внешние массовые силы, заданные в виде проекций ускорений на соответствующие координатные оси, будут X=0, Y=0, Z= -g. Тогда второй трехчлен будет равным – gdz.

Первую часть уравнения преобразуем, зная, что перемещения соответственно равны:dx = U_xdt, dy = U_ydt, dz = U_zdt.

Тогда:

_________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

где U – местная скорость в сечении струйки.

Подставляя в уравнение полученные значения, запишем:

_____________________________ или _________________________

Если разделить уравнение наg, получим уравнение отнесенное к единице веса:

_____________________________________________________

После интегрирования получим:

____________________________________________________

Выражение было получено в 1738 г. академиком Российской Академии наук Д.Бернулли и названо уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.

Для вывода уравнения Бернулли применительно к элементарной струйки вязкой жидкости рассмотрим его энергетический смысл. С этой целью подсчитаем механическую энергию бесконечно малой частицы массой dm с центром в т. А, находящейся в пределах элементарной струйки, относительно горизонтальной плоскости сравнения 0₁ – 0₁ (cм.рис.)

Как известно, потенциальная энергия равна:

______________________________________________________________

Кинетическая энергия:

_______________________________________________________

Полная механическая энергия состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий:

________________________________________________________________________________

Отнесем энергию к единице веса жидкости, т.е. определим удельную энергию

__________________________________________________________________________

Таким образом, получим выражение, которое является уравнением Бернулли и выражает закон сохранения энергии: вдоль элементарной струйки идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии постоянная величина, т.е.

_________________________________________________________________________

Сумма представляет собой потенциальную энергию, состоящую из удельной энергии положения z и удельной энергии давления. Выражениеназывается удельной кинетической энергией.

Вдоль элементарной струйки удельные кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, но их сумма остается постоянной.

При движении вязкой жидкости суммарная удельная энергия движущейся жидкости вдоль струйки убывает в силу различных гидравлических сопротивлений. Следовательно, для элементарной струйки вязкой жидкости, находящейся в установившемся движении:

>

________________________________________________________________________

Чтобы получить равенство левой и правой части, необходимо в правой части добавить дополнительный член h_Σ, обозначающий затрату удельной энергии на преодоление сопротивлений при движении реальной вязкой жидкости в пределах между первым и вторым сечениями. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

__________________________________________________________________________

Затрачиваемая на преодоление гидравлических сопротивлений часть энергии превращается из механической в тепловую, причем необратимо. В связи с этим можно считатьпотерянной удельной энергией.