Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Перед тем, как записать уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости необходимо оговорить два момента. Поток жидкости отличается от элементарной струйки тем, что он имеет реальные размеры поперечного сечения, которые могут быть довольно значительных размеров. Распределение давлений и скоростей по сечению потока может быть неравномерным.

Рассмотрим распределение давления. В плоскости перпендикулярной направлению движения, гидродинамическое давление распределяется по закону гидростатики. В связи с этим справедливо условие:

________________________________________________________

т.е. сумма отметки z и пьезометрической высоты во всех точках сечения потока остается одинаковой, хотя меняется для различных сечений.

В связи с тем, что распределение местных скоростей U в плоскости сечения потока неравномерно и в большинстве случаев неизвестно, то возникают трудности с определением кинетической энергии потока, т.е. с третьим слагаемым в уравнении Бернулли . Поэтому вводим корректирующий коэффициент α, представляющий собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в сечении. Корректив α называется коэффициентом кинетической энергии потока или коэффициентом Кориолиса, и отражает неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

Для наиболее распространенных случаев движения жидкости значения α следующее: при ламинарном движении в круглой трубе α=2, при турбулентном – зависит от режима и принимает значение α = 1,11,3. Обычно α определяют опытным путем.

С учетом вышесказанного, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости может быть записано в виде:

__________________________________________________________________________

где U_ср1, и U_ср2 – средние скорости в сечениях 1 и 2;

–потери энергии на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давления и геометрическим положением любой точки сечения потока, для которого это написано.

Рассмотрение энергетической и геометрической интерпретации уравнения Бернулли

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Такая удельная энергия потока состоит из удельной потенциальной энергии

где z – энергия положения, - энергия давления, и удельной кинетической энергии потока. С теоретической точки зрения потери энергиина преодоление сопротивления безвозвратно теряются для потока, т.е. часть механической энергии превращается в тепловую.

С геометрической точки зрения в уравнение Бернулли входят следующие линейные величины:

Рис.5.2

___ – геометрическая высота положения (геометрический напор);

________ или ___________ пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р;

________________ в каждом сечении называется пьезометрическим (при р = р_изб) или гидростатическим напором;

____________________ - скоростной напор;

___________________________- гидродинамический или полным напором;

______________- потеря напора на преодолении сопротивлений.

Геометрическое место точек верхних концов отрезка суммы называетсяпьезометрической линией Н (на рис.5.2 показана штриховкой). Изменение пьезометрической линии на единицу длинны поток называется пьезометрическим уклоном ip.

Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы называетсянапорной линией или линией удельной энергии Н_о (на показана сплошной линией), которая для потока идеальной жидкости т.е. без потерь энергии, будет горизонтальной. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длинны потока называется гидравлическим уклоном ___________ .

Не для печати!

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ГИДРОСТАТИКУ

Задача. Для обеспечения обратного хода гидроци­линдра его полость 1 заполнена воздухом под начальным давлением p₁. Найти размер l, определяющий положение стопорного кольца 2, которое ограничивает ход штока. Раз­меры цилиндра: D =150 мм; d=130 мм; ход штока L= 400 мм. Сила трения поршня и штока 400 Н, давление слива р₂=0,3 МПа, давление воздуха в начале обратного хода р_1max=2 МПа. Процесс расширения и сжатия воздуха принять изотермическим.

Для решения задачи запишем уравнение равновесия всех сил при положении поршня в левом крайнем положении. Слева будут действовать сила от давления р₂ и сила трения F. Справа сила от давления воздуха Р₁ (см рис).

Так как процесс расширения и сжатия воздуха принят изотермическим, то можно составить уравнение для газа при положении поршня в крайнем левом и в крайнем правом положении. Учитывая, что p_1max = 2 H/мм², будем иметь:

или, подставляя

. Итак l = 736мм

ЗАДАЧА. Топливный бак автомобиля длиной L = 0,6 м, шириной 6 = 0,5 м и высотой H = 0,2 м движется с ускорением а — 3,27 м/с². Определить минимальное количество топлива в баке, обеспечивающее его подачу без подсоса воздуха. Считать, что бензопровод установлен в центре горизонтальной проекции бака, его диаметр мал по сравнению с длиной бака, h = 10 мм.

Т о п л и в н ы й б а к Дано:

Длина бака L= 0,6м

Ширина бака b=0,5 м

Высота бака H=0,2 м

Ускорение a =3.27 м/с²

Расстояние до тубки h=0.01м

Ускорение свободного падения g=9,81 м/с²

У г о л н а к л о н а α п о в е р х н о с т и т о п л и в а к г о р и з о н т у о п р е д е л я е т с я с о о о т н о ш е н и е м

tgα=-а/g =-3.27/9.81=0.33

H₀=h+(L/2)tg(α)=0.11 м

П о в е р х н о с т ь т о п л и в а п е р е с е ч е т с я с г о р и з о н т а л ь н о й п о в е р х н о с т ь ю д н и щ а б а к а н а р а с с т о я н и и L₀

L₀=L/2+h/tg (α)=0.33 м

О б ъ е м б е н з и н а р а в е н

V=b∙H₀∙ L₀/2 =9.075∙ 10^-3 м³

^{Примеры решения задач по гидродинамике}

Задача 2.7. Жидкость вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра d₁, а затем постепенное расширение до d₂. Истече­ние происходит под действием напора Н=3 м. Пренебрегая потерями энергии, определить абсолютное давление в узком сечении трубы 1—1, если соотношение диаметров d₂/d₁=2; атмосферное давление соответствует hа =750 мм рт. ст.; плотность жидкости ==1000 кг/м³. Найти напор Нкр, при котором абсолютное давление в сечении 1— I будет равно нулю.

^Дано:

Для решения задачи составим уравнение Бернулли два раза, для сечения 0 –0 и 1-1, а затем для сечений 1-1 и 2-2. Приравняв уравнения, найдем скорость жидкости v₂ в сечении 2-2

Отсюда , учитывая что А₁ = А₂ получим

Так как

Приравнивая вновь А₀ = А₁, найдем Р_1, [Па]

Для определения предельного значения Н в [ м]при котором Р_1kr будет равной нулю, проведем следующие преобразования

Задача. Жидкость должна перетекать из резервуара А, где поддерживается постоянный уровень H₁, в емкость Б. Для этой цели в дне резервуара устроено отверстие с закругленными входными кромками (о=0, 05). Но расход жидкости через это отверстие оказался недостаточным. Каким способом и во сколько раз можно увеличить расход жидкости через отверстие, не меняя его диаметра и напора? Высота расположения выходного отверстия относительно нижнего уровня Н₁=Н₂.

Указание. Следует установить диффузор (как показано пун­ктиром), который даст возможность использовать дополнительный напор Н₂ и превратить большую часть скоростного напора в давление (создать разрежение в горловине диффузора и, следовательно, эф­фект подсоса).

Принять коэффициент сопротивления диффузора равным диф = 0,2 (отнесено к скорости в узком сечении), а степень расширения диффузора достаточно большой, чтобы можно было пренебречь ско­ростным напором на выходе из диффузора.

Для решения задачи, составим уравнение Бернулли для сечения 0-0 и 1-1, а затем для сечений 0-0 и 2-2.

Так как расходы определяются произведением скорости движения жидкости на сечение, а сечение по условию задачи остается неизменным, то отношение расходов будет равно отношению скоростей для первого и второго случаев.

Q₂/Q₁ = V₂ S/V₁ S =V₂ /V₁.