MathAn / 33_Lektsia_II_11_2014-15_St

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №11 Дифференциальные уравнения 2-го порядка

(продолжение)

3. Линейные однородные ДУ-2 (ЛОДУ-2)

Def 4. ДУ-2 вида

y p x y q x y f x ,

(7)

где p x , q x , f x - заданные непрерывные функции x I , называется линейным ДУ 2-го порядка (ЛДУ-2).

p x , q x - коэффициенты уравнения; f x - правая часть (свободный член) уравнения.

! Если f x 0, то уравнение (7) называется линейным однородным уравнением

(ЛОДУ-2).

y p x y q x y 0							(7.1)
! Если f x 0 - линейным неоднородным (ЛНДУ-2).
Разрешим уравнение (7) относительно старшей производной:
y p x y q x y f x							(8)
получили частный случай уравнения (1.2): y			f x, y, y ,
уравнение (7) удовлетворяет условиям теоремы Коши,
при любых начальных условиях (2): y			y0 , y				x0 a,b
						y0
		x x0				x x0

уравнение (7) имеет единственное решение задачи Коши.

Def 5.1. Функции y1 x , y2 x называются линейно зависимыми на a,b , если

существуют такие числа 1, 2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

x a,b выполняется равенство

1y1 x 2 y2 x 0 ,

(9)

! Если y1 x , y2 x линейно зависимы, то они пропорциональны.

& y x

y

x 0 и

0, y

x 0

y1

x

2

const .

2

2

2

x

1

1

1

y2

1

Верно и обратное.

1

Математический анализ. Модуль-4

Def 5.2. Функции y1 x , y2 x называются линейно независимыми на a,b , если не существует таких чисел 1, 2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что x a,b выполняется равенство (9).

	! (9) выполняется для всех x a,b , если только 1 2	0	, и	y1	x		const .
				y2	x

? Как определить линейную зависимость/независимость функций?

Определитель Вронского (вронскиан)

W x y1 y

1

Пример 4

y2
	y1 y2	y1 y2 .
y2

Функции y1 x x2 , y2 x x3 - линейно независимы на любом a,b :

y1 x 1 const . y2 x x

Функции y1 x 3x3, y2 x 12 x3 - линейно зависимы на любом a,b :

y1 x 6 const . y2 x

? Как определить линейную зависимость/независимость функций?

Определитель Вронского (вронскиан)

W x y1 y

1

Лемма

1) Если функции y1 x , y2 x ( x a,b вронскиан W x 0 на a,b .

2) Если функции y1 x , y2 x ( x a,b вронскиан W x 0 на a,b .

! Доказать самостоятельно

y2
	y1 y2	y1 y2 .
y2

) ЛОДУ-2 линейно независимы, то их

) ЛОДУ-2 линейно зависимы, то их

Def 6. Совокупность 2-х линейно независимых решений y1 x , y2 x ( x a,b )

ЛОДУ-2 называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

2

Математический анализ. Модуль-4

Теорема 1 (о линейной комбинации решений)

Если функции y1 x , y2 x - решения ЛОДУ-2 (7.1)

y p x y q x y 0 ( x a,b )

то их линейная комбинация

y С1y1 x С2 y2 x

(10)

также решение этого уравнения C1,C2 .

Доказательство

…#

Теорема 2 (о структуре общего решения ЛОДУ-2)

Пусть для ЛОДУ-2

y p x y q x y 0 (7.1)

функции p x , q x непрерывны на a,b .

Если решения y1 x , y2 x этого уравнения образуют ФСР, x a,b , то

функция

y С1y1 x С2 y2 x

является его общим решением на a,b .

Доказательство

Проверим условия определения общего решения ДУ.

1) По теореме 1 y С1y1 x С2 y2 x - решение ЛОДУ-2 (7.1).

, x0

a,b в решение

2) Подставим начальные условия y x0 y0 , y

x0 y0

y С1y1 x С2 y2 x и найдем C1,C2 :

y

C y

x

C

y

x

,

(*).

0

1 1

0

2

2

0

x0

x0

y0

C1 y1

C2 y2

Определитель этой линейной алгебраической системы есть вронскиан в точке

x0

y1 x0 y x

1 0

y2	x0			W x .
y2	x0			0

3

Математический анализ. Модуль-4

По условию теоремы W x 0 (т.к…?) система (*) имеет единственное решение C1 C10 , C2 C20 (можно найти, например, по …).

Т.о., выполнены все условия определения общего решения. #

Пример 5

Найти общее решение ДУ y y 0 .

Решение

… #

3.1. Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУП-2)

! Если p x p, q x q , где p, q R , и f x 0, то уравнение (7) называется

линейным однородным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУП-2):

y p y q y 0

(11)

Найдем ФСР для (11). Будем искать частное решение в виде y ekx , подставляя в уравнение (11):

k 2ekx pkekx qekx 0, ekx 0

k 2 pk q 0

(12)

!Алгебраическое уравнение (12) называется характеристическим уравнением ЛОДУП-2.

!Ключевая роль – ДИСКРИМИНАНТ.

Правила построения общего решения ЛОДУП-2

Правило 1. D p2 4q 0 - корни характеристического уравнения

вещественные различные: k

p

D

2-а частных решения

1,2

2

4

y

ek1x , y

2

ek2 x - ФСР,

1

W x

ek1x

ek2 x

e

k k

2

x

k

k 0 .

1

2

k ek1x

k

ek2 x

1

2

1

Общее решение:

y x С ek1x

С

2

ek2 x .

1

4

Математический анализ. Модуль-4

Правило 2. D p2 4q 0 - корни характеристического уравнения

вещественные кратные (равные) - кратности 2: k

k

p

1,2

2

2-а частных решения y

ekx, y

2

xekx - ФСР,

1

Проверим, что y

2

xekx - ч.р.

e

kx

e

kx

2k k

2

x подставим в уравнение,

y2

1 kx , y2

ekx 2k k 2 x pekx 1 kx qxekx 0 ,

kx

2

p

e

x

k

pk q

2k p 0

2k p

0, k

2

, ч.т.д.

0

xekx

W x

ekx

e2kx 0.

kekx

ekx 1 kx

Общее решение: y x С1ekx С2 xekx .

Правило 3. D p2 4q 0 - корни характеристического уравнения комплексно-

p

p

2

сопряженные:

k1,2 i

,

q

2

4

2-а частных решения y e i x e xei x

e x cos x i sin x ,

1

y

2

e i x e xe i x e x cos x i sin x ,

Заменим y1, y2

на действительные решения:

y

y1 y2

e x cos x, y

2

y1 y2

e x sin x .

1

2

2i

y1

y21

W x

0 .

y1

y2

Общее решение: y x e x С cos x С

2

sin x .

1

5

Математический анализ. Модуль-4

Пример 6.1

Найти общее решение ДУ y 5y 6y 0 .

Решение

… #

Пример 6.2

Найти общее решение ДУ y 2y y 0 .

Решение

… #

Пример 6.3

Найти общее решение ДУ y 4y 13y 0.

Решение

… #

6