MathAn / !Лекция_II-4-№6(2014-15)_St

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Лекция №6

Ряды Фурье (продолжение)

4. Ряд Фурье для функций с периодом 2l

Пусть

f x удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке из R и

f x 2l f x T 2l .

Сведем к случаю периодической функции с T0 2 :

z

x

z

l z

Замена

f

,

l

z 2

l z 2

l z

l z

z

f

f

2l

f

z

l z

f

: T 2 .

a0

Тогда z

an cosnz bn sin nz , где коэффициенты Фурье:

2

n 1

l

1

l

z x,

l

1

z dz

1

f x dx ;

a0

f

z dz

l

dz

dx

l

l

1

1

l

an

z cosnz dz

f

z cosnz dz

1

1

l

bn

z sin nz dz

f

z sin nz dz

Таким образом,

a

f x

0

n

n

an cos

x bn sin

x

2

l

l

n 1

a

1 l

f x dx , a

1 l

f x cos

n

x dx , b

l

l

0

n

l

n

l

l

		1				l	f x cos		n
											x dx
			l			l			l
		1				l		n
						f x sin				x dx
		l			l				l

(^)

		1			l	f x sin	n
								x dx .
			l		l		l

1

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Пример 3

Разложить функцию f x x, x 1; 1 с периодом 2l 2 в р.Ф.

f x x , x определена как периодическая функция с периодом 2 . Разложить f x в р.Ф.

Решение

…

!!! Компоненты ряда Фурье называют гармониками.

		a0
	Из формулы (^) f x		an cosn x bn sin n x
	2		n 1

Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или синусных составляющих -

гармоник

2T - частота повторений (или частота гармоники);

a0 - постоянная составляющая нулевой гармоники; n - номер гармоники;

an , bn - амплитуды косинусных и синусных составляющих.

2

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

5. Гармонический анализ и синтез

Гармоническим анализом называют разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в р.Ф., где коэффициенты Фурье k : ak , bk вычисляются по формулам

			1
	ak					f x coskx dx , (Ф.2)
			1
	bk					f x sin kx dx (Ф.3)

Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник).

3