Пример 5.1

Рассмотрим ситуацию детально на очень простом примере потребительской функции для военного и для мирного времени. Предположим, что в военное время уровень потребления С и уровень доходов Y связаны следующим соотношением:

С=₀+₁Y+ (5.1)

а в мирное время -

С=₀^/+₁Y+ (5.2)

Где ₀^/>₀. Заметим, что в модели предполагается общая предельная склонность к потреблению для обоих периодов₁. Если же параметр₁не будет общим, то нам ничего не удастся сделать с помощью фиктивных переменных, а останется лишь одно — подогнать с помощью уравнения (5.1) данные для военных лет, а с помощью уравнения (5.2) — данные для мирного времени. Однако предположив параметр₁об­щим, мы делаем тем самым осмысленным использованиевсехимеющихся данных для получения эффективной (насколько это возможно) оценки этого параметра. Мы можем объединить уравнения (1) и (2) в одно соотношение -

С=₀X+₀^/X^/+₁Y+ (5.3)

где XиX^/— фиктивные переменные, такие, что

Очевидно, что уравнение (5.3) в мирный год преобразуется к виду (5.2) (X=0), а в военный - к виду (5.1) (X^/=0). Так что первый коэффициент уравнения (5.3) служит оценкой свободного члена только для военного времени, а второй — только для мирного, третий коэффициент есть общая для всего периода предельная склонность к потреблению.

В матрице данных (5.4) мы предположили, что выбранный период включает в себя два мирных года, затем три года войны, и, наконец, снова годы мирного времени.

(5.4)

Ловушка, возникающая при введении фиктивных переменных. Если объясняющие переменные такие, как и в правой части уравнения (5.3), то применение для этого уравнения обычной процедуры вычисления регрессии, которая автоматически определяет величину свободного члена, приведет к нарушению процесса оценивания. В самом деле, включение указанных фиктивных переменных эквивалентно использованию матрицы данных с четырьмя столбцами (см. п.4.1.1), из которых первый целиком состоит из единиц, а три оставшихся определены в (5.4). Тогда существует линейная зависимость между столбцами, поскольку первый равен сумме второго и третьего. Следовательно, матрица (Х^TХ) вырождена.

Однако когда прочие объясняющие переменные комбинируются с фиктивными, то в результате ошибок округления в ЭВМ определитель матрицы (Х^TХ) может оказаться не равным нулю, так что вычисления будут выполнены и будут найдены оценки коэффициентов,R²и прочих статистических показателей. Эти оценки будут противоречить априорным соображениям и неосторожный исследователь придет к выводам, не имеющим ничего общего с реальностью.

Если вычислительная процедура предусматривает получение свободного члена, то единственный способ воспользоваться ею для наших целей — это переписать уравнение (5.3) в виде

С=+^/X^/+₁Y+ (5.5)

где

Очевидно, что уравнение (5.5) в мирный год преобразуется к виду (5.2) С=+^/+₁Y+ , а в военный - к видуС=+₁Y+

Сопоставляя результат с предыдущим, мы видим, что

 =₀ = свободному члену для военного времени;

+^/=₀^/ = свободному члену для мирного времени.

^/=₀^/ -₀ = разности между свободными членами, соответствующими мирному и военному времени.