kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Векторы. Линейные операции над векторами

Определение 8. Будем говорить,							что	точка C l делит отрезок AB в
отношении λ, если AC = λCB.
		а			A		C	B
					r		r	r
		б			A	B		C
					r	r		r
		в			B		A	C
					r		r	r

Рис. 11

На рис. 11, а точка C делит AB внутренним образом и λ > 0, на рис. 11, б, в точка C делит AB внешним образом и λ < 0.

Пусть координаты точки A(x1, y1, z1), точки B(x2, y2, z2). Найдем координаты точки C(x, y, z), делящей отрезок AB в отношении λ.

По определению 8, AC = λCB, или, в координатной форме,

(x − x1, y − y1, z − z1) = λ(x2 − x, y2 − y, z2 − z).

Из условия равенства векторов и правила умножения вектора на число имеем: x−x1 =

λ(x2 − x), y − y1 = λ(y2 − y), z − z1 = λ(z2 − z). Выражая искомые x, y, z, окончательно получаем

x =	x1 + λx2	, y =	y1 + λy2	, z =	z1 + λz2		(λ 6= −1).		(12)
	1 + λ		1 + λ		1 + λ
Упражнение 2. Найти		координаты		середины отрезка				AB,	если A(1, 2, −1),
B(3, 0, 2).
Пример 9.
Отрезок AB, где A(3, −5, 2), B(5, −3, 1), точками C и							D	разделен на три равные
части. Найти координаты точек C и D .

Решение. По условию AC = 12 CB. Подставляя в формулы деления отрезка в данном

отношении значения x1 = 3 , y1 = −5 , z1 = 2 , x2 = 5 , y2 = −3 , z2 = 1 , λ = 12 , получим координаты точки C :

x

=

3 + 21 · 5

=

11

;

y

=

−5 + 21 · (−3)

= −

13

;

1 + 21

3

3

1 + 21

z =

2 + 21 · 1

=

5

.

1 +

1

3

2

AD = 2DB, поэтому координаты точки D находятся с помощью тех же формул при

λ = 2 :

3 + 2 · 5

13

−5 + 2 · (−3)

11

x =

=

; y =

=

−

;

1 + 2

3

3

1 + 2

z =

2 + 2 · 1

=

4

.

1 + 2

3

11

Следовательно, C	3 , −		3	, 3		, D	3	, − 3	, 3	.
	11		13	5			13	11	4

Пример 10.

Найти отношение, в котором координатная плоскость Oxy делит отрезок между точками A(2, −1, 7) и B(4, 5, −2). Определить точку пересечения отрезка и плоскости.

Решение. Пусть прямая AB пересекает плоскость Oxy в точке M (x, y, 0). Из последней формулы (12) найдем λ , подставляя вместо z1 и z2 , zA и zB

	0 =	7 + λ · (−2)		λ =	7	.
		1 + λ			2

Зная λ , найдем координаты x и y точки M по формулам (12):

x =	2 + 27 · 4		=	32	; y =	−1 + 27 · 5	=	33	.
				9		1 + 7		9
	1 +	7
		2				2

Итак, M	9 ,		9 , 0 .
	32		33

12