kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Дифференциал функций

ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ.

1.Дифференциал функции

1.1.Определение дифференциала функции

Спонятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.

Определение 1. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x , называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке

y = f (x + x) − f (x)

имеет вид

y = A · x + α(Δx) · x,

где A – постоянная, а функция α(Δx) → 0 при x → 0.

Пусть y = f (x) – дифференцируемая функция, тогда дадим следующее определение.

Определение 2. Главная линейная		часть A · x	приращения	функции f (x)
называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy.
Таким образом,
y = dy + α(Δx) · x.
Замечание 1. Величина dy =	A ·	x называется	главной линейной частью
приращения y в связи с тем, что другая часть приращения α(Δx) ·				x при малых
x становится гораздо меньше A ·	x.

Утверждение 1. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке

x, т. е.

y = A ·

x + α(Δx) · x, при

x → 0. Тогда

lim

y

= A + lim α(Δx) = A.

x→0

x

x→0

Поэтому производная f ′(x) существует и равна A.

Достаточность. Пусть существует

f ′(x), т. е. существует предел lim

y

= f ′(x).

x→0

x

Тогда

y

= f ′(x) + α(Δx),

x

где lim

α x

и для

x

6= 0

x→0

(Δ ) = 0

y = f ′(x)Δx + α(Δx) · x.

1

Последнее равенство означает дифференцируемость функции y = f (x).

Кроме того, мы доказали, что A = f ′(x). Таким образом,	dy = A · x = f ′(x)Δx.
Для большей симметрии записи дифференциала приращение	x обозначают dx и
называют дифференциалом независимого переменного.
Окончательно получим, что
dy = f ′(x)dx.

1.2.Геометрический смысл дифференциала

Пусть l касательная к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) (рис. 1). Покажем, что dy величина отрезка P Q. Действительно,

dy = f ′(x)Δx = tg α x =

P Q

x = P Q.

x

y

y = f (x)

6

α x

"" l

Q

""""

M

""

dy

" α

""

"

x

P

"

""

-

"

α

x

x + x

x

Рис. 1

Итак, дифференциал dy функции f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной l в этой точке.

1.3.Инвариантность формы дифференциала

Если x независимая переменная, то

dy = f ′(x)dx.

Допустим, что x = ϕ(t), где t независимая переменная, y = f (ϕ(t)). Тогда

dy = (f (ϕ(t))′dt = f ′(x)ϕ′(t)dt = f ′(x)dx (ϕ′(t)dt = dx).

Итак, форма дифференциала не изменилась, несмотря на то, что x не является независимой переменной. Это свойство и называется инвариантностью формы дифференциала.

2

1.4.Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из формулы y = dy + α(Δx) · x, отбрасывая α(Δx) · x, видно, что при малых

x

y ≈ dy = f ′(x)Δx.

Отсюда получим

f (x + x) − f (x) ≈ f ′(x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f ′(x)Δx. (1) Формула (1) и используется в приближенных вычислениях.

1.5.Дифференциалы высших порядков

По определению, вторым дифференциалом от функции y = f (x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке, который обозначается

как

d2y = d(dy).

Вычислим второй дифференциал:

d2y = d(dy) = d(f ′(x)dx) = (f ′(x)dx)′dx = (f ′′(x)dx)dx = f ′′(x)dx2

(при вычислении производной (f ′(x)dx)′ учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).

Вообще, дифференциалом порядка n функции y = f (x) называется первый

дифференциал

от дифференциала

(n − 1) -го

порядка

этой функции, который

обозначается через

dny = d(dn−1y)

или

dny = f (n)(x)dxn.

Пример 1.

Найти дифференциал функции y = arctg x .

Решение. dy = (arctg x)′ · dx =

dx

.

1+x2

Пример 2.

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v = e2t .

Решение. dv = 2e2tdt , d2v = 4e2tdt2 .

Пример 3.

Сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x3 + 5x2 .

Решение. Находим

y :

y

x

x 3

x

x

2

−

2x3

−

5x2 =

= 2(2

+ )

+ 5( + )

2

3

= (6x

+ 10x)Δx + (6x + 5)Δx

+ 2Δx ,

dy = (6x2 + 10x)dx.

Разность между приращением

y и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего

порядка по сравнению с

x , равная (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

Пример 4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3, 02 м.

3

Решение. Воспользуемся формулой S = πr2 . Полагая r = 3 , r = 0, 02 , имеем

S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.

Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (м 2 ).

Пример 5. Вычислить приближенное значение arcsin 0, 51 c точностью до 0,001. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x . Полагая x = 0, 5 , x = 0, 01 и

применяя формулу (1)

arcsin(x +

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ·

x,

(arcsin x)′

=

1

√

1 − x

2

получим

1

π

arcsin 0, 51

≈ arcsin 0, 5 +

· 0, 01 =

+ 0, 011 = 0, 513.

p

6

1 − (0, 5)2

Пример 6. Вычислить приближенно √3

c точностью до 0,0001.

8, 01

Решение. Рассмотрим функцию y = √3

и положим x = 8,

x = 0, 01. Аналогично

x

по формуле (1)

(√3 x)′ =

√3

2

√x + x ≈ √3 x + (√3 x)′ · x,

3

1

3

x

получим

3√3 64

· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008.

p8, 01 ≈ √8 +

3

3

1

1

2.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

Определение 3. Говорят, что функция y = f (x) имеет (или достигает) в точке α локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность U (α) точки α, что для всех x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием

локальный экстремум.

y

6

					α1			-
α			β			β1			x

Рис. 4

Функция, график которой изображен на рис. 4, имеет локальный максимум в точках β, β1 и локальный минимум в точках α, α1.

4

Утверждение 2. (Ферма) Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке α и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда f ′(α) = 0.

Идея доказательства теоремы Ферма следующая. Пусть для определенности f (x) имеет в точке α локальный минимум. По определению f ′(α) есть предел при x → 0 отношения

	f (α + x) − f (α)		= g(Δx).
	x
Но при достаточно малых (по абсолютной величине) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Следовательно, при таких	x получаем
	g(Δx) ≥ 0,	если	x > 0,
	g(Δx) ≤ 0,	если	x < 0.
Отсюда и следует, что
	f ′(α) = lim g(Δx) = 0.
		x→0
Проведите полное доказательство самостоятельно.
Утверждение 3. (Ролля)	Если y = f (x) непрерывна на			[a, b], дифференцируема на
(a, b) и f (a) = f (b), то существует такая точка α (a, b),				что f ′(α) = 0.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдутся такие точки x1, x2 [a, b], что

	max f (x) = f (x1) = M,	min f (x) = f (x2) = m.
	x [a,b]	x [a,b]
1.	M = m. В этом случае f (x) = M = m const и f ′(α) = 0 при любом α (a, b).
2.	M > m. Поскольку f (a) = f (b), то хотя бы одна из точек x1 и x2		принадлежит
(a, b).	Обозначим эту точку через α. Очевидно, f (x) достигает в точке		α локальный

экстремум. По условию теоремы f (x) дифференцируема в точке α. По теореме Ферма f ′(α) = 0. Теорема доказана.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл (рис. 5): если крайние ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой y = f (x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ox.

y

6

y = f (x)

						-
O	a		α	b			x

5

Рис. 5

Утверждение 4. (Коши) Пусть f (x), g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и g′(x) =6 0 при любом x (a, b). Тогда найдется такая точка α (a, b), что

f (b) − f (a)	=	f ′(α)	.
g(b) − g(a)		g′(α)

Доказательство. Заметим, что g(a) =6 g(b). Действительно, в противном случае для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, нашлась бы такая точка β (a, b), что g′(β) = 0. Но это противоречит условию теоремы.

Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:

F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Функция F (x) непрерывна на [a, b],				дифференцируема на (a, b). Кроме того, очевидно,
что′	F (a) = F (b) = 0. Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка α (a, b), что
F (α) = 0, т. е.
	f ′(α)			f (b) − f (a)					g′(α) = 0.
			− g(b)		−	g(a)
Отсюда следует
		f (b) − f (a)					=	f ′(α)		.
		g(b) − g(a)						g′(α)

Теорема доказана.

Утверждение 5. (Лагранжа) Если y = f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то найдется такое α (a, b), что

f (b) − f (a)

b − a

= f ′(α).

Доказательство. Теорема Лагранжа прямо следует из теоремы Коши при g(x) =

x.

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой y = f (x) между точками

A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна хорде AB. y

f (b) − f (a)

b − a

= tg ϕ

6

C

B

f (b) − f (a)

A

ϕ

b − a

ϕ

-

a

b

x

Рис. 6

6

Пример 7. Выполняется ли теорема	Ролля для функции
f (x) = x2 − 6x + 100, если a = 1, b = 5? При каком значении	c ?

Решение. Так как функция f (x) непрерывна и дифференцируема при всех

значениях x и ее значения на концах отрезка				[1; 5] равны: f (1) = f (5)					= 95, то
теорема Ролля на этом отрезке		выполняется. Значение c					определяем	из	уравнения
f ′(x) = 2x − 6 = 0, т. е. c = 3.					2	найти точку		M, в которой
Пример 8. На дуге		AB кривой y = 2x − x
касательная параллельна хорде	AB, если A			и B	(3; −3)		.
		2	(1; 1)
Решение. Функция y = 2x −x			непрерывна и дифференцируема при всех значениях
x. По теореме Лагранжа между двумя значениями a = 1,							b = 3 существует значение

x = c, удовлетворяющее равенству y(b) − y(a) = (b − a) ·y′(c), где y′ = 2 − 2x. Подставив соответствующие значения, получим

y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′(c),

(2 · 3 − 32) − (2 · 1 − 12) = (3 − 1) · (2 − 2c),

отсюда c = 2, y(2) = 0.

Таким образом, точка M имеет координаты (2; 0).

Пример 9. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениями

x = t2, y = t3, найти точку

M, в которой касательная параллельна хорде AB, если

точкам A и B соответствуют значения t = 1 и t = 3.

y(3)−y(1)

Решение. Угловой коэффициент хорды AB равен

, а угловой коэффициент

x(3)−x(1)

касательной в точке M (при

t = c ) равен

y′

(c)/x′

(c) , где

x′ = 2t,

y′ = 3t2. Для

t

t

t

t

определения c по теореме Коши получаем уравнение

y(3) − y(1)

=

yt′(c)

x(3) − x(1)

xt′ (c)

или

27 − 1

3c2

=

,

или

9 − 1

2c

13

3

=

c,

4

2

т. е. c = 13/6.

Найденное значение c удовлетворяет неравенству 1 < c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

7