4.4. Функция взаимной cпектральной плотности мощности сигналов

4.4.1. Определение функции взаимной cпектральной

плотности мощности сигналов

Определение функции взаимной спектральной плотности мощности (ВСПМ) сигналов вытекает из задачи электротехники – вычислении выделяемой мощности на реактивном сопротивлении. В формировании функции ВСПМ участвуют сигналы функция ВСПМ является обобщением функции СПМ на случай двух сигналов.

Запишем, опираясь на естественное обобщение теоремы Парсеваля (4.3.5), выражение для величины взаимной энергии сигналов приходящейся на интервал частот

(4.4.1)

Для функции ВСПМ стационарных эргодических сигналов в непрерывном случае сформируем отношение части взаимной мощности сигналов в частотном диапазоне к величине Для этого рассмотрим комплексно-сопряжённое прямое и обычное прямое преобразования Фурье для сигналов на конечном интервале времени которые представляются интегралами

(4.4.2)

Взаимная энергия сигналов для интервала в частотном диапазоне может быть найдена на основе интегралов (4.4.2) с использованием выражения (4.4.1)

Функция ВСПМ для указанных сигналов, так же как и функция СПМ для разд. 4.3, запишется в виде предела, в предположении, что предел существует

,

(4.4.3)

Функция ВСПМ сигналов, определённая в общем случае во всём частотном диапазоне в отличие от функции СПМ является комплексной, что следует из определения (4.4.3) и представляется соотношением где – действительная и мнимая составляющие функции ВСПМ. Возможно представление функции ВСПМ в показательной форме

где – функция модуля; – функция фазового угла функции ВСПМ сигналов; Из определения для функции ВСПМ сигналов вытекает, что

Рассмотрим обобщение определения функции ВСПМ сигналов (4.4.3) для дискретного случая и конечного интервала времени. Пусть задаётся набор дискретных значений сигналов T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.4.2) заменяются дискретными суммами, которые можно принять в качестве оценок указанных интегралов для заданной частоты и с учётом

(4.4.4)

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье (4.4.4) сформированы в форме ДПФ. Поэтому – оценка функции ВСПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот может быть выражена через коэффициенты ДПФ:

,

(4.4.5)

Действительные и мнимые компоненты оценки функции ВСПМ (4.4.5) вычислим через действительные и мнимые коэффициенты ДПФ:

Если дискретизованные сигналы являются комплексными одночастотными синусоидами, которые отличаются начальными фазами, то, очевидно, функция модуля функции ВСПМ для этой пары сигналов ведёт себя почти аналогично функции модуля ДПФ комплексной синусоиды.

Когда для стационарных эргодических сигналов оценивание функции ВСПМ осуществляется на большом временном интервале, то указанная оценка может находиться с помощью усреднения. Для этой цели на большом временном интервале формируются локальные интервалы, на которых вычисляются локальные коэффициенты ДПФ исследуемой пары сигналов, с учётом умножения на функции временных окон. Далее находятся локальные оценки функции ВСПМ, которые затем усредняются.

Пусть реализованы дискретизованные сигналы m – число локальных интервалов; N – число точек на локальном интервале, Сигналы, соответствующие j‑му локальному интервалу, имеют вид Для каждого локального интервала осуществляется умножение части дискретизованных сигналов на выбранное N – точечное временное окно

и нахождение локальных коэффициентов ДПФ

Оценивание комплексной функции ВСПМ сигналов производится отдельно для действительной и мнимой компонент на основе усреднения

(4.4.6)

.

Вычисление оценок функций модуля и функций фазового угла производится на основе (4.4.6) и представляется формулами

(4.4.7)

4.4.2. Применение функции ВСПМ в задачах оценивания разностей фаз

для систем многочастотных сигналов

Применение функции ВСПМ позволяет решать задачи оценивания разностей фаз для систем сложных многочастотных сигналов.

Прежде всего, отметим, что для двух синусоидальных сигналов с постоянными во времени амплитудами и одинаковыми частотами, которые описываются системой

(4.4.8)

разность фаз определяется как разность фазовых функцийчто в данном случае эквивалентно разности начальных фаз

.

В том случае, если сигналы являются многочастотными, состоящими из суммы синусоидальных составляющих с одинаковыми частотами, то разности фаз,определяются отдельно для каждой пары составляющих с одинаковыми частотами

, ,

. (4.4.9)

Определение разностей фаз для многочастотных сигналов (4.4.6) является естественным обобщением определения разностей фаз для одночастотного случая (4.4.8).

Возможно определение функций разностей фаз (4.4.8) и (4.4.9) на случай полосовых сигналов

(4.4.10)

где – медленно меняющиеся амплитудные функции; – фазовые функции. Для полосовых сигналов в общем случае разность фаз меняется во времениВ ряде случаев разность фаз для сигналов (4.4.10) на некотором интервале времениможет изменяться незначительно и приниматься в виде константы. Соотношения

(4.4.11)

служат определением разностей фаз для сигналов, являющихся суммой полосовых сигналов.

Представим некоторые модельные варианты систем сигналов, для которых здесь рассматривается задача оценивания разностей фаз.

Модель системы сигналов в простейшем случае описывается соотношениями

(4.4.12)

которые представляют собой аддитивную смесь монохроматических сигналов и широкополосных шумов (белых шумов). Оценивание разностей фаздля (4.4.12) производится на основе цифровой обработки зашумлённых сигналов(4.4.12) на заданном интервале времени

Модель системы сигналов для многочастотного случая описывается соотношениями

,

. (4.4.13)

Вычисление оценок разностей фаз для частотных составляющих сигналов производится на основе цифровой обработки зашумлённых многочастотных сигналов(4.4.13) на заданном интервале времени

Перейдём к дискретизованным сигналам которые определены вN точках, Наметим подход к оцениванию разностей фаз колебательных сигналов с использованием оценок функций ВСПМ. Пусть заданы два синусоидальных комплексных дискретизованных сигнала

(4.4.14)

где – постоянные амплитуды; T – интервал дискретизации; f – частота сигналов; – целое,Очевидно, разность фаз между сигналами(4.4.14), по определению,

Найдём оценку функции ВСПМ для сигналов (4.4.14). Вычислим коэффициенты ДПФ cигналов пусть – коэффициенты ДПФ дляТогда очевидны соотношения, вытекающие из (4.4.14),

На основе запишем выражения для оценки функции ВСПМ сигналов – оценки её модуля и фазового угла

Заметим, что в данном частном случае для комплексных синусоидальных сигналов фазовый угол функции ВСПМ не зависит от индекса k. Будем находить оценку искомой разности фаз из оценки фазового угла ВСПМ в точке координаты максимума модуля функции ВСПМ. В данном случае эта координата равна

Продолжим рассмотрение задачи оценивания разности фаз, когда два синусоидальных комплексных сигнала аддитивно смешаны с шумами:

(4.4.15)

где – шумовые комплексные последовательности независимых нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

Коэффициенты ДПФ для синусоид (4.4.15) запишутся с учётом аддитивности шумов:

где – коэффициенты ДПФ для Для точкии в её окрестности, соответствующей расположению максимума модуля функции ВСПМ, должны выполняться неравенства, при условии малых:

Для оценки функции ВСПМ комплексных синусоидальных сигналов (4.4.15) оказываются справедливыми приближённые равенства с учётом малости шумов:

Алгоритм оценивания разностей фаз для системы синусоидальных сигналов в шумах на основе функций ВСПМ, таким образом, состоит из этапов: 1) вычисления оценки функции ВСПМ сигналов и её составляющих – функции модуля и функции фазового угла2) вычислении координаты максимума функции модуля ВСПМ

3) вычислении оценки разности фаз по функции фазового угла ВСПМ Для повышения точности оценивания разности фаз на больших временных интервалах применяется процедура усреднения. Предложенный алгоритм может быть обобщён на случай многочастотных сигналов.

Рассмотрим численный пример моделирования предложенного алгоритма оценивания разности фаз для системы зашумлённых двухчастотных сигналов.

Смоделируем систему предлагаемых сигналов определённых вточках,

. (4.4.16)

Для (4.4.16) дискретные шумы моделируются независимыми нормальными числами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиямиМодельные сигналы (4.4.16) имеют следующие исходные параметры:, Разности фаз, приведённые к диапазонудля частотной составляющей с частотой, составляют величинудля частоты– величину Интервал дискретизациилокальный интервал состоит източек, число локальных интервалов

На рис. 4.4.1а представлен график оценки модуля функции ВСПМ модельных сигналов (4.4.16) для диапазона Положение максимумов может быть оценено на основе визуального анализа графика рис. 4.4.1а или, исходя из рассмотрений разд. 4.2.1, Оценки разностей фаз для составляющих сигналаc частотами определяются из расчётов или графика рис. 4.4.1б и принимают значения удовлетворительно соответствующие исходным параметрам.

Рис.4.4.1а. Оценка модуля функции ВСПМ модельных сигналов (4.4.13)

Рис.4.4.1б. Оценка фазового угла функции ВСПМ

модельных сигналов (4.4.13)

4.4.3. Применение функции ВСПМ для оценивания коэффициента

когерентности колебательных сигналов

На основе ВСПМ вычисляется коэффициент когерентности являющийся параметром, который служит мерой взаимосвязи двух случайных сигналовОпределим некоторые очевидные свойства, которыми может быть наделён вводимый коэффициент.

1. Коэффициент когерентности должен быть ограниченным: (как один из вариантов определения). Еслито имеет место полная взаимосвязанность двух сигналов; если то сигналы являются полностью несвязанными.

2. Очевидно, что для синусоидальных сигналов

коэффициент когерентности должен удовлетворять равенству Для синусоидальных сигналов аддитивно смешанных с шумами

коэффициент когерентности должен быть меньше единицы Естественно, что при увеличении интенсивности шумов коэффициент когерентности уменьшается.

3. Если два случайных сигнала статистически независимы, например – независимые белые шумы, то должно выполняться соотношение

4. Если два сигнала связаны некоторой линейной зависимостью, то, очевидно,

Рассмотрим неравенство, позволяющее сделать обоснование для вводимого коэффициента когерентности:

Сделаем соответствующее перемножение модулей, получим в качестве слагаемых выражения для оценок функций СПМ и ВСПМ:

Приведём соотношения, с помощью которых выведем основное неравенство, используемое для определения коэффициента когерентности:

Последнее выражение можно рассматривать как квадратный полином от для обеспечения его положительности необходимо, чтобы его дискриминант был меньше нуля:

Полученное неравенство ложится в основу эмпирического определения функции коэффициента когерентности, для которого выполняется условие

С использованием оценок функций СПМ и ВСПМ сигналов записывается оценка функции коэффициента когерентности в дискретных частотных точках

Рассмотрим вычисление функции коэффициента когерентности для комплексных синусоид без шумов. Положим Здесь – коэф­фи­циенты ДПФ для Тогда

Видно, что для рассматриваемого примера имеет место равенство Для комплексных синусоид с малыми шумами

запишем выражения для коэффициентов ДПФ

Для в предположении, чтоследует, чтодля остальных индексов

На основе системы модельных сигналов (4.4.16) произведены вычисления оценки функции коэффициента когерентности На рис. 4.4.2а приведён график оценки соответствующий – расчётный пример 1.

Рис. 4.4.2а. Оценка коэффициента когерентности

модельных сигналов (4.4.16) – пример 1

На рис. 4.4.2б приведён график оценки соответствующий– расчётный пример 2 с увеличенной дисперсией шумов. На рис. 4.4.2в приведён график оценки параметров– расчётный пример 3 с увеличенным числом локальных интервалов.

Рис.4.4.2б. Оценка коэффициента когерентности

модельных сигналов (4.4.13) – пример 2

Рис.4.4.2в. Оценка коэффициента когерентности

модельных сигналов (4.4.13) – пример 3

Введённая эмпирическим путём функция коэффициента когерентности является чувствительным индикатором наличия связей между сигналами.