gos / шпоры / ОУ

u* (t) u * sign( T b )

j j max j

Чтобы ее определить, нужно решить систему дифференциальных уравнений:

x(t)

(t)

Ax(t) b j u j max

j

AT (t)

* sign( T (t)b )

j

при граничных условиях x(t0) и x(tf) = 0. Найдя из нее ψ(t) и подставив в выражение оптим-го управления, мы получаем u*j как ф-цию времени.

Т.о., задача определения оптимального управления сводится к решению нелинейной системы уравнений. Для высоких порядков она решается численно. Если n = 2, то решение может быть получено с помощью метода фазовой плоскости.

11

7.Условия трансверсальности.

В общем случае может быть задано множество начальных и множество конечных состояний системы

x(t0 ) S0	x : i	(x) 0,i 1,2,..., k n
x(t f ) St	x : i (x) 0,i 1,2,...,l n
	f
Необходимо найти управление u*, переводящее систему из области S			0	в область	S за мин. время.
					t
					f

В данном случае для оптимизации процесса необходимо, чтобы существовала непрерывная векторная функция (t) , удовлетворяющая не только условию максимума, но и условиям

трансверсальности в обоих концах траектории x (t).

Условия трансверсальности состоят в том, чтобы вектор (t) был ортогонален плоскостям Г0 и Г f
, касательным к областям S0			и Stf соответственно в начале и в конце траектории. Будем считать, что
функции ограничений i и i			непрерывны и непрерывно дифференцируемы по x. Предположим так же,
что области S0 и Stf ограничены, замкнуты и выпуклы.
Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять функция (t), если начальная точка
принадлежит области начальных состояний S0 а конечная точка является началом координат.
Т.к. S	0	— замкнутое множество, точка x(t0 ) является граничной точкой этого множества: если бы

она таковой не была, то потребовалось бы время на то, чтобы выйти за границу множества, а это было бы не оптимально.

Пусть x(t0 ) — начальная точка оптимального процесса. Время движения из этой точки в конечную T=tf-t0. Построим область достижимых состояний, соответствующих времени T .

Т.о. получается, что начальная точка x(t0 ) является граничной точкой двух множеств: множества

исходных и множества достижимых за время T состояний.

По теореме Хана-Банаха, два выпуклых и непересекающихся множества могут быть разделены одной гиперплоскостью. Если эти области имеют одну общую точку, то данная гиперплоскость

является опорной к областям в этой точке.
Проведём		гиперплоскость Г. Если		гиперплоскость Г рассматривать	как опорную к области
достижимых состояний, то нормалью к этой гиперплоскости будет вектор nX					(t0 ) .
					0
Найдём связь между nx			и нормалями к ограничениям i : Нормали будут направлены внутрь S0, т.к.
			0
S0 : i (x) 0
nx	1 x 1..... k x k , 1 ,…., 1			0
	0

Для тех ограничений, которые неэффективны по теореме Куна-Таккера, i 0 . Тогда получаем

12

		k	i (x)
nx	(t0 ) i
	0	i 1	x

Если движение начинается из точки x(t0 ) и заканчивается в области x(t f ) , то условие будет вот таким:

	l	i (x)
(t f ) i
	i 1	x

Совокупность этих двух условий называется условиями трансверсальности.

Замечание: если конечная область является точкой, то (t f ) выбирается произвольно. Если область

цели — всё фазовое пространство, то (t f ) =0, так как все коэффициенты i будут нулевыми (а все ограничения, соответственно, неэффективными).

13

8.Принцип максимума для задач управления стационарными системами с интегральным критерием качества.

Задачи управления с интегральным критерием качества:

t f
J L(x,u,t)dt			Функция L непрерывна по своим аргументам и имеет непрерывные частные
t
производные.		L		и	L	. Если функция L=1, то задача оптимального быстродействия.
					t
		x

Условие принципа максимума для стационарных систем:

Задачи управления с интегральным критерием качества, когда функционал, область цели и уравнение состояния не зависят явно от времени.

	f (x,u) .
Пусть состояние динамической системы описывается нелинейным диф. уравнением вида: x

Заданы обл. начального состояния S0 и конечного Sf. Требуется определить условия, кот. удовл. Оптимальное управление из области допустимых и траекторию, соответствующую оптимальному управлению, удовлетворяющую граничным условиям.

x(t0 ) S0

, x(t f ) S f .

Полагаем, что конечный момент времени t не задан.

Предположим, что L не зависит явно от времени и положительна.

0

1. L(x,u,t) L(x,u) 2.

L(x,u,t)

Переходим от некоторого реального времени t к некоторому фиктивному времени . d

L(x,u)dt . С

f (x,u)

.

(

dx d

dx d

). Тогда функционал

учетом этого исходная система диф.ур. примет вид: x( )

dt d

d

L(x,u)

dt

f

относительно принимает вид:

J d (*) – свели к задаче оптимального быстродействия.

0

Перенесем полученные условия для задач оптимального быстродействия на более широкий класс задач.

* ( ) ) оптимальный процесс в смысле min формулы(*), тогда он удовлетворяет принципу

Пусть ( x*

( ),u

максимума для задачи оптимального быстродействия.

dx( )

H (x,u

* , )

1.

Существует функция ( ) 0

, относ. кот. вып. условия:

;

d

* )

d ( )

H (x,u

* , )

; где

H

T

( ) f (x,u

d

* )

x

L(x,u

U

2.

Выполняется условие максимума: H (x,u* , ) max H (x,u, ),u

3.

Вдоль оптимальной траектории функция Гамильтона имеет следующий вид:

const

H (x,u

*, ) P

0

4.Выполняется условие трансверсальности.

Введем в рассмотрение функцию структуры											0 , подставим выр-е для ф-ии Гамильтона
									H (x,u*, ) P
										0
T ( ) f (x,u* )					P0	0 (1)
		*	)
	L(x,u
0 T		f (x,u		* ) P L(x,u			* ) (x,u	*, ) (2) Эта функция наз. Гамильтонианом системы с интегральным
					0

критерием качества. Гамильтониан = 0 только вдоль оптимальной траектории. В общем случае, когда

нет зависимости от времени: (x,u, ) T f (x,u) P0 L(x,u) (3).

Введение Гамильтониана позволяет обобщить условие максимума, т.е. можно сказать, что если (

		* ( ) )-опт. процесс, то должны выполняться следующие условия:
x* ( ),u
		14

1.Должна существовать функция ( ) 0 , для кот. справедливы след. соотн-ия: а)

dx(t)

dt

2.

3.

H (x,u

* , )

d (t)

H (x,u

* , )

; б)

dt

x

U

Выполняется условие максимума: H (x,u* , ) max H (x,u, ),u

Гамильтониан вдоль оптимальной траектории =0. H (x,u* ,

) 0

4.Выполняется условие трансверсальности.

Проверим (1а):

* )

dx( )

H (x,u

* , )

T ( ) f (x,u* )

T ( ) f (x,u* ) P L(x,u

(x,u

*

*

P0

*

0

L 1 (x,u

* )

d

( )

( )

L(x,u

)

( )

L(x,u

)

(

Перейдем от условного времени к реальному времени t:

x( (t)) x(t),u( (t)) u(t), (

(t)) (t), d L(x,u)dt

*

* ,

dx(t)

1

(x,u* ,

)

dx(t)

(x,u

)

* )dt

L

(x,u

)

,

- условие 1а выполняется.

L(x,u

(t)

dt

(t)

Проверим (1б):

*

*

*

*

T

)

T

)

L

d( )

H (x,u

, )

( ) f (x,u

( ) f (x,u

L( x, u )

(

f )

*

/ L(x,u* )

P

/ L

d

0

x

x

L(x,u

)

x

x

x

,

*

1

)

(x,u* ,

)

L

(x,u

( )

*

d (t)

1

(x,u

* , )

d (t)

(x,u* , )

переходим от к t:

L

(x,u

)

,

- условие 1б выполняется.

L(x,u* )dt

( )

dt

( )

P

,

Проверяем усл. 2: H (x,u* ,

)

max H (x,u, ) ,следовательно,

H (x,u*

, ) P

H (x,u, )

0

0

* )

T ( ) f (x,u)

P0

T ( ) f (x,u

P0

*

)

L(x,u)

L(x,u

* )

T ( ) f (x,u* ) P L(x,u

(x,u

* , )

0

T ( ) f (x,u)

P0

0

Рассмотрим прав.часть:

0

*

)

L(x,u)

L(x,u

L(x,u)

T ( ) f (x,u)

P L(x,u) 0 (x,u,

)

0 (x,u*, ) (x,u,

)

0

(x,u* ,

)

max (x,u, ),u U

Усл. 3: Гамильтониан вдоль опт. траектории=0, это следует из его вывода и основывается на усл.2

Усл. 4: Т.к. в условие трансверсальности ни ф-ция Гамильтона ни Гамильтониан не входят, то они

k

l

i (x)

i

(x)

полностью сохр. свой вид: (t0 ) i

(t f )

i

i 1

x

i 1

x

, )

)

Замечание1: Мы получили условие max в предположении, что	L(x, u) 0	, но они выполняются и в общем
случае.
Замечание2: Const P0 обычно полагают = -1. P0=-1

15

9.Вывод условий принципа максимума для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества.

Пусть состояние динамической системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением

вида x = f ( x , u ,t)

А интегральный критерий качества зависит от времени:

t f

J L(x, u, t)dt

t0

Будем предполагать, что область цели тоже меняется со временем(нестационарна):

			не задано.
S f (t) x : (x,t) 0 Считаем, что конечное время t		f

Надо получить условия, которым удовлетворяет оптимальный процесс.

Введём в рассмотрение дополнительную переменную состояния, характеризующую изменение времени xn+1=t с начальным условием xn+1(t0)=t0.

Тогда исходная система дифференциальных уравнений примет вид

				)
x		f (x,u, x
			n 1
		1
x n 1
	t f
J L(x, u, t)dt
	t0

S f (t) x : (x, xn 1 ) 0

Введём в рассмотрение расширенный вектор состояния из (n+1) компоненты.

x(t), z xn 1 (t)

Тогда задачу можно сформулировать как задачу оптимального управления системой вида

Z		f Z (z,u)

	f
f Z
	1

t f
J L(Z

по интегральному критерию качества

, u)dt

t0

Когда область цели задаётся так: S f {Z : i (Z ) 0}

Мы свели нашу задачу к рассмотренной ранее стационарной системе, решение которой уже имеется.

*

(t) 0

P0

0

Если (z(t),u

(t)) — оптимальный процесс, то найдётся такая функция z

и константа

такие, что будут выполнятся следующие условия:

)

max

H

)

1.Условие максимума H (z,u

* ,

z

z

(z,u,

z

u u

l

i (z)

) i

2.Условие трансверсальности z

(t f

i 1

z

Так как область начальных состояний от времени не зависит, условие трансверсальности в начале траектории не рассматривается.

3.Оптимальная траектория определяется решением системы канонических дифференциальных уравнений

		H z
a) z
			H	z
б)
			z
4. Гамильтониан вдоль оптимальной траектории					H						) =0
						z	(z,u		* ,	z

Перепишем эти условия по отношению к переменным исходной задачи

16

1.Условие максимума

H

)

z

P L(z,u)

T

f

z

(z,u)

P L(z,u) T f (z,u)

n 1

P L(x,u, x

n 1

) T

f (x,u, x

n 1

n 1

0

z

0

0

f

(*) где z

f z

n 1

1

Так как n 1

явным образом от управления не зависит,

условие максимума для Hz эквивалентно

H

условию максимума исходной системы H (z,u* , ,t) max

z

(z,u

* , ,t)

u u

2.Условие трансверсальности.

Распишем

условие

трансверсальности,

учитывая

компоненты

расширенных

векторов

l

i (x,t)

)

i 1

i

(t f

x

(t

)

f

l

i

(x,t)

n 1

i 1 i

t

S f

,t t f Условие трансверсальности исходной системы будет иметь вид

x

l

i (x,t)

(t f )

i

1

i

x

S f

(90)

n 1(t f )

l

(x,t)

x

i

i

i

1

t

t

t f

3.Распишем условие 3а), учитывая компоненты расширенных векторов.

		H z						H
x
			H
				z
xn 1							1
			n 1

(следует из (*))



Распишем условие 3б)

		H z			H
		x			x
n 1		H z			H
	xn 1			xn 1

H

H

H

(тоже следует из (*)). Тогда

и n 1

(91)

x

xn 1

t

4.Из

условия

4

следует,

что

гамильтониан

расширенной

системы будет определяться как

H z

H ( x, u

* , , t) n 1 . =0 Находим из этого соотношения чему будет равен гамильтониан

исходной системы:

H ( x, u

* , , t) n 1

(92)

t f

H d

Проинтегрируем выражение (91): n 1 (t f ) n 1 (t)

(93)

t

Выразим из полученного выражения функцию ( n 1 ) .

	t f	H	l
	n 1 (t) n 1 (t f )		d i
	t		i 1

			t f
i (x,t)		t t f		H	d
t
			t

Подставим функцию n 1 (t) в выражение (92):

17

		l
H (x, u	* , , t) i

i 1

			t f	l
i (x, t)		t t f	pdifH d , где i
t
			t	i 1

i (x,t)		t t f -условие
t

трансверсальности для n 1 . Получили выражение для гамильтониана вдоль оптимальной траектории нестационарной задачи. Если считать, что конечное время tf задано, условие принципа максимума

сохранится за исключением 4-го условия. Так как время фиксировано, а область цели связана с конечным временем движения системы, считаем, что в задаче с фиксированным временем область цели от времени не зависит.

Подставим значение для n 1			из (92) в соотношение (93). Тогда имеем
							t f	H
H (x, u	* ,	, t) H (x, u		* , ,t)		t t f			d
							t

Отсюда видно, что если задача нестационарна с фиксированным временем движения, то для этой задачи

H	=0, и, следовательно, гамильтониан вдоль оптимальной траектории будет константой.

					const
H (x,u	* ,	,t) H (x,u	* , ,t)
					t t f

Вывод: для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества, если конечное время нефиксированно, гамильтониан как функция времени равен нулю, а если фиксированно — то постоянной.

18

10.Терминальные задачи управления.

В терминальных задачах управления критерий качества включает в себя терминальную оценку

	P(x(t f ),t f	) , которая характеризует статические свойства системы свойства систем, их ошибки.
	Пусть состояние динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида
			x(t) =
		Критерий качества включает в себя терминальную и интегральную составляющую:
	f (x,u,t) .
		t f
	J P(x(t f ), t f ) L(x, u, t)dt
		t0

Будем считать, что конечное время tf не задано, а функция P по крайней мере дважды непрерывно

дифференцируема по x и по t.

В силу этого, P можно представить следующим образом:

t f

PT

P

P(x(t f ), t f

)

P(x(t0 ), t0 )

(

f (x, u, t)

t

L(x, u, t))dt

t0

x

Подставим это выражение в функционал:

Так как t

0

и x(t0 ) заданы, то P(x(t0 ),t0 ) =const.

Управление, минимизирующее данный функционал от константы не зависит. Следовательно,

данную

задачу

мы

можем

рассматривать

как

задачу

управления с функционалом

t f

T P

P

J (

f (x,u,t)

t

L(x,u,t)) dt

(*)

t0

x

Задача свелась к задаче с интегральным критерием качества, решение которой уже известно.

Запишем условие принципа максимума для приведённой задачи.

*

*

(t))

Пусть

(x

(t),u

— оптимальный процесс, который переводит систему из состояния x(t0 ) в

0 ,

x(t f

) . Тогда

найдётся

функция,

(t) 0

и

const

P0

для

которых оптимальная траектория

определяется решением следующей системыДУ:

H

x

x

H

x

Здесь

H

и — гамильтониан и допустимая функция для задачи с критерием качества(*).

Гамильтониан для приведённой задачи

ˆ

T P

P

T

P0

f (x, u, t) P0

P0 L(x, u, t) z

f (x, u, t)

H (x, , u, t)

ˆ

x

t

ˆ

P

T

P0

P

(**)

(P0

ˆ

)

f (x, u, t)

P0 L(x, u, t)

x

t

Также выполняются следующие условия:

1.

Условие максимума H (x,u*, ˆ ,t) max

H (x,u, ˆ ,t)

u u

ˆ

l

i (x, t)

2.

Условие трансверсальности (t f

) i

i 1

x

3. Поведение гамильтона вдоль оптимальной траектории. Если tf не задано:

19

	ˆ *		l
		, ˆ , t) i
	H (x, u

i 1

			t f	ˆ
i (x, t)				H	d
		t t f
x			t		если tf задано:

ˆ *		ˆ *		t f	ˆ
	, ˆ		, ˆ , t) |t t f		H	d
H (x, u		, t) H (x, u
				t

		(t) P0	P
Введём в рассмотрение функцию следующего вида:	(t) ˆ
			x
С учётом этой функции H (**) примет следующий вид	ˆ
	H H (x,u, , t)

P P

0

x

Где H — гамильтониан исходной задачи, который определяется следующим образом:

H (x,u, ,t)

T (t) f (x,u,t) P L(x,u,t) (***)

0

Рассмотрим, какому условию удовлетворяет вектор (t). Для этого продифференцируем условие его по

P

H

P H

P

P

H

2

ˆ

2

2

2

ˆ

времени:

P0

P0

P0

(t) (t) P0

t x

x

t x

x

x t

t x

x

Таким образом, получили условие (б) для исходной задачи.

Получим условие (а). Из соотношения (***) следует, что

H

x(t)

f (x,u, t )

H

x

x

H

x

Таким образом, условие (a) также получено.

1.

Рассмотрим,

какой вид принимает условие максимума по отношению к гамильтониану исходной

системы.

*

ˆ

ˆ

Есть условие

ˆ

ˆ

H (x,u , ,t) max u u

H (x,u, ,t)

для приведённой системы. А так как гамильтонианы исходной и приведённой системы связаны

ˆ

P

между собой соотношением

H H

P0

t

причём управление в

не входит, то условие максимума сохраняется и для гамильтониана

исходной системы H (x,u* , ,t) max

H (x,u,

,t)

u u

2.

Выведем условие трансверсальности для исходной системы. Есть условие трансверсальности для

l

i (x,t)

приведённой системы ˆ (t f

) i

t

t f

i 1

x

Из него необходимо вывести условие трансверсальности для исходной системы.

P(x,t)

l

i (x,t)

P

: (t f

) P0

i

t t f

Воспользовавшись (t) ˆ (t) P

t t

x

x

i 1

x

0

f

Если рассматривается двухточечная задача, то есть область цели — точка, то условие трансверсальности определяется только терминальной составляющей

20