gos / шпоры / ОУ

		P(x,t)
(t f	) P0
		x

t t f

Так как P0 обычно полагают равным -1, условие трансверсальности принимает следующую
		P(x,t)
форму: (t f	)			t t f
		x

3.Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории.

У нас есть выражение для гамильтониана системы вдоль оптимальной траектории. Учитывая, что

гамильтониан исходной и приведённой системы связан между собой следующим образом:

ˆ	P
H H P0	t

можем получить выражение для гамильтониана исходной системы. Когда tf не задано,

							t f		H
				P(x, t)		[
H (x, u	* , , t) P0
									t
				t			t
Когда tf задано,
			P(x, t)				P(x,t)
H (x,u *	,	,t) P			P
		0		t	0			t

P 2 ]dt

t 2

t t f	(x,

	l
						(x, t)
i					i
	i 1				t
						t f		H
u	* , ,t)		t t f				[
								t
						t

t t f

P P2 ]dt

0 t 2

Замечание:

Если рассматривается задача Майера, в которой функционал состоит из одной терминальной составляющей, то гамильтониан и функция Гамильтона совпадают.

Поэтому все выражения для гамильтониана будут справедливы и для функции Гамильтона. Других различий между задачей Майера и только что рассмотренной задачей нет.

Сформулируем общий принцип максимума.

Пусть дана динамическая система, которая описывается дифференциальным уравнением вида

x		f (x,u,t )

Задана область начальных и конечных состояний S0 и Sf и допустимы х управлений U.

Если — оптимальный процесс, в смысле минимума функционала

	t f
J P(x(t f	),t f ) L(x,u,t)dt		(+)
	t0
			P0 0 , относительно которых оптимальная траектория
то найдётся	(t) 0	и постоянная

определяется решением следующей системы дифференциальных уравнений

H

x

H

где H — гамильтониан системы, имеющий вид H P0 L(x,u,t) T

x

Также выполняются следующие условия:

1.

max

Условие максимума H (x,u

* , ,t)

H (x,u, ,t)

u u

kl

i

(t0 )

i

i 1

x

2.

Условия трансверсальности

P(x,t)

l

i

i (x,t)

(t f

) P0

t t f

x

t t f

i

1

x

21

f (x,u,t)

3. Поведение	гамильтониана вдоль оптимальной траектории определяется соотношением
ˆ	P
H H P0	t

если tf не задано, формула А если tf задано формула В

Замечание. Если ставится задача о максимуме функционала (+), то формула принципа максимума остаётся, но постоянная P0 полагается неотрицательной (обычно её кладут равной единице).

22