1.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u₁ – u₂ + u₃ – u₄ +… + u_n + …, где u₁, u₂, …, u_n, … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е., то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

.

Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u₁+u₂+…+u_n+… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+…(1). Составим ряд |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд: .

Знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница, т.к. . Члены ряда монотонно убывают и. Теперь исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера:. Ряд сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд: .

По теореме Лейбница . Ряд сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, имеет вид. По признаку Даламбера получим. Ряд сходится, значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [a,b]:

f₁(x), f₂(x), f₃(x) … f_n (x), ….

Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:

f₁(x) + f₂ (x) + f₃ (x) + … + f_n (x) + …, (1)

который называется функциональным рядом.

Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае функциональным рядом является ряд:

, (2)

который называется степенным рядом, где постоянные числа, называемыекоэффициентами членов степенного ряда.

Степенной ряд может быть записан и в такой форме:

, (3)

где некоторое постоянное число.

При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение: Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область сходимости степенного ряда:

.

Решение (1 способ).

Применим признак Даламбера.

Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами, то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если и.

Т.е. ряд сходится, если < 1, откудаили-3<x<3.

Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).

В крайних точках интервала x = , будем иметь .

В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

x = -3,

.

Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:

1. члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2. Следовательно, ряд в точкеx = -3 сходится.

x = 3,

.

Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно убывают.

Функция на промежутке:

1. непрерывна;

2. f(x) > 0, т.е. (положительна);

3. монотонно убывает;

4. это значит, что функция является функцией, образующей ряд.

.

Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:

, где икоэффициентыичленов ряда.

Для данного ряда имеем:

. R=3.

ряд сходится

Интервал сходимости ряда: -3<x<3.

Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x = .

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда более рационален.

Пример 2.

Найти область сходимости степенного ряда: .

Найдем R – радиус сходимости ряда.

, ,.

. .

Интервал сходимости ряда (-;).

Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .

x = - ,

.

Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

1. члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2. , следовательно, ряд в точкеx = -сходится.

x = ,.

Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.

Здесь :

, члены ряда монотонно убывают.

Функция на промежутке:

1. непрерывна;

2. положительна;

3. монотонно убывает;

4. , ,, …. т.е.f(x) – функция, образующая ряд.

.

Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ: [-;) – область сходимости ряда.