pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

11

Приращение AQ5i рассматриваемое за бесконечно малый промежу­ ток времени dt, представляет собой производную dQ5/ d t. Модель прини­

мает следующий вид:

Q I + Q i + £?з + Q \ - Q s - dQs/ d t.

1.1,3. Математическая модель движения частицы стружечной массы

Модель строится на основе физических законов. (Головач В. М. Повышение качества формирования древесностружечного ковра. Авторе­ ферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М., 1985).

Для контроля качества формирования древесностружечного ковра при производстве ДСтП необходимо изучить движение частиц стружечной массы при насыпке осмоленных древесных частиц на движущийся поддон или ленточный конвейер. Рассмотрим модель движения одиночной осмо­ ленной древесной частицы. На свободно падающую частицу будут дейст­ вовать сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F, пропорцио­ нальная квадрату скорости:

F = cxS pvzl2 ,

где т - масса частицы;

g - ускорение свободного падения;

сх- коэффициент лобового сопротивления;

S - так называемое миделево сечение - площадь проекции частицы на плоскость, перпендикулярную к направлению скорости ее паде­ ния;

р - плотность воздуха;

v - скорость частицы. ^

Второй закон Ньютона для движения частицы при ее свободном падении можно записать в виде

m (dv/dt)=m g - cxS pv2/ l .

После разделения переменных получим

(1.5)

где a = cxSp/2m . После интегрирования дифференциального уравнения (1.5) получим

( 1.6)

( 1.8)

12

Значение постоянной интегрирования С найдем из начальных усло­ вий. Примем, что при / = 0, то есть в момент отрыва от конвейера питате­ ля, древесная частица имеет скорость v = 0. Подставив значения / = 0 и и = 0 в формулу ( 1.6 ), получим С = 0. С учетом этого найдем из (1.6 ) вы­ ражение для скорости частицы:

	v	^ ' - 1	_____ 2___ 'j	(1.7)
		I ' f e ' + l	Val, е2^ ' + Ь

Из полученной модели (1.7) движения древесной частицы следует, что скорость ее с момента отрыва монотонно возрастает, стремясь к пре­ дельному значению ипр, равному

1.1.4. Модель распределения температуры по толщине нагреваемого тела

Построение модели основано на использовании как закона сохране­ ния энергии, так и физических законов.

Данный процесс может быть описан дифференциальным уравнени­ ем в частных производных второго порядка - уравнение теплопроводности Фурье. Это уравнение широко используется для описания процессов теплопереноса при прессовании древесностружечных и древесноволокнистых плит. Рассмотрим его вывод для простейшего случая, когда тепло распро­ страняется по длине однородного изотропного теплоизолированного стержня вдоль координаты х. Возьмем два сечения стержня на расстоянии А х друг от друга. Соответствующие им значения координаты обозначим через х и (х + Ах). Обозначим через AQ приращение количества тепла в полученном элементе за некоторый промежуток времени At.

Величина AQ равна стАТ, где с - удельная теплоемкость; т - масса элемента стержня; АТ - изменение его температуры з(а время A t.

Если теперь вместо промежутка времени A t взять единичный про­ межуток времени, то соответствующее приращение количества тепла Aq

будет равно Aq=AQ/At=cm AT/At. Переходя здесь к пределу при А / - » 0, получим dq = cmdT/dt. Представим массу элемента как произве­ дение его плотности р, площади поперечного сечения а и длины А х. Тогда dq = с pa Ax(dTjdt) .

Согласно закону сохранения энергии приращение dq равно алгебраической сумме количеств тепла, поступивших в рассматриваемый элемент за единицу времени через сечения д:и(л: + Ал:). Обозначим эти количества тепла через q\

и q2:

(1.9)

Выражения для q\ и q2 получим из закона внутренней теп­ лопроводности в твердых телах (закона Фурье). В одномерном случае q = - о \(дТ 1дх ), где q - количество тепла, протекающее через площадку а,

перпендикулярную к оси х ; Х - коэффициент теплопроводности. Выраже­ ние (1.9) поэтому можно переписать в виде

dq = -<j X—		дТ
		+ оХ
	дх
Поделив обе части на Дх и учтя (1.8), получим
	ЗТ	дТ
дТ_	дх	дх
	А
d t '	ср	Ах
Переходя к пределу при А х —>0, придем к искомому уравнению
теплопроводности:
d T / d t = a(d2T /d x 2),			(1.10)

где а - коэффициент температуропроводности, а = X /с р .

Аналогичный вид имеет уравнение влагопроводности, описываю­ щее распределение влажности в теле и используемое в теории сушки дре­ весины.

1.1.5.Простейшие модели развития в науке и технике

Внекоторых случаях закономерности протекания различных про­ цессов можно описать, используя общие соображения. Пусть у - величина, характеризующая количество определенной продукции (в широком смыс­ ле), созданной человеком или природой к настоящему моменту времени t. Это может быть, например, количество товаров, биомасса растущего дере­ ва, число изобретений, количество публикаций в некоторой научной об­ ласти и т. д. Иногда можно предположить, что приращение А.у этой вели­

чины за промежуток времени At пропорционально самой величине у и

длине промежутка, т. е. А у = а у A t, где а - коэффициент. Переходя к бес­

конечно малым приращениям, получим дифференциальное уравнение dy/ d t - a y .

Приняв за начало отсчёта t = to = 0 , получим решение этого уравне­

ния в виде у = у 0 eat. График этой зависимости представляет собой экспо­

ненциальную кривую (рис. 1.1, а). Здесь - это значение у при t = 0 . Такой экспоненциальный рост действительно свойствен процессам,

имеющим лавинообразный характер, когда прирост пропорционален дос­

тигнутому уровню и нет ограничений роста. Эта же зависимость справед­ лива и для описания общей закономерности развития науки и техники в эпоху НТР.

Допустим теперь, что процесс расширенного воспроизводства про­ текает в условиях ограниченности ресурсов. Тогда его иногда можно опи­ сать следующим дифференциальным уравнением, справедливым в предпо­ ложении, что скорость прироста d y j d t возрастает пропорционально ко­

личеству полученного продукта и снижается по мере исчерпания ресурсов:

cfy/ dt = a \[ - { y l к)}у,

где к - коэффициент.

Врезультате интегрирования этого уравнения (при to = 0) получаем

>>= & / ( 1 + Ь е 'а'),гд е b = (k/ y0)~ 1.

Это уравнение описывает так называемую логистическую кривую (рис. 1.1,6). При / -> оо ордината этой кривой стремится к асимптоте у = к. На начальном участке, т. е. при малой степени использования ресурсов, она сходна с экспонентой. Логистические кривые хорошо описывают раз­ личные процессы «с насыщением», в том числе и развитие во времени функциональных характеристик различных технических устройств.

Рис. 1.1. Простейшие модели развития:

а - экспоненциальная кривая; б - логистическая кривая

Законы развития систем в действительности более сложны. Так, технические системы, исчерпав ресурсы своего развития, переходят на следующий уровень уже в качестве подсистем по отношению к новым, бо­ лее сложным системам.

7.7.6. Классификация математических моделей

Достоверное математическое описание любого технологического процесса в деревообработке и в других отраслях - достаточно трудная за­ дача. Помимо описания входящих в его состав физических процессов в этих случаях требуется, как правило, рассмотрение сложных взаимосвязей

выпуска продукции с наличием запасов, поступлением сырья, полуфабри­ катов, работой оборудования и т. д. Кроме того, математическому описа­ нию подлежат, как правило, многочисленные транспортно-перемести- тельные операции при погрузке, разгрузке и сортировании материалов. Поэтому для построения математических моделей технологических про­ цессов деревообработки наряду со сформулированными выше физически­ ми законами и принципами широко используются самые разнообразные математические методы - как традиционные, так и специально разрабо­ танные в исследовании операций.

Аналитические методы построения моделей, как правило, приме­ няют в сочетании с экспериментальными, поскольку математическое опи­ сание объекта, полученное аналитическими методами, обычно содержит константы, значения которых определяют по результатам эксперимента. Например, при проектировании систем пневмотранспорта технологиче­ ской щепы от рубительной машины к бункеру используют в качестве ма­ тематической модели уравнение Дарси, связывающее потери давления воздушного потока Н с длиной трубы /, ее диаметром d и скоростью возду­ ха v:

	Я = Я(//</)/> И 2),	(1.11)
где р -	плотность воздуха;
X -	коэффициент гидравлического сопротивления, зависящий от пара­
	метров v, d и шероховатости трубы А.
	Зависимость X= /(v, d, А) устанавливают экспериментальными ме­

тодами. Этими методами уточняют также вид математической модели и проверяют ее достоверность.

Экспериментальные методы получения математических моделей объектов играют доминирующую роль в тех случаях, когда исследуемый процесс слишком сложен для того, чтобы можно было получить его теоре­ тическое описание, например, при описании силовых и качественных ха­ рактеристик процессов механической обработки древесины. Статистиче­ скую обработку результатов эксперимента при получении эмпирических моделей часто проводят методом регрессионного анализа. Такие эмпири­ ческие модели называют регрессионными. Рекомендациями, связанными с составлением экспериментальных планов и получением математических моделей по результатам их реализации, занимается специальная дисцип­ лина - планирование эксперимента.

В зависимости от способа представления информации различают детерминированные и вероятностные (или стохастические) математиче­ ские модели. Вероятностные модели содержат случайные параметры, по­ этому результат расчета по такой модели - это либо вероятность наступле­ ния определенного события, либо статистическая оценка некоторой слу­ чайной величины. Пример вероятностной модели - модель расходования

запасов для сборочного цеха мебельного комбината, с помощью которой можно рассчитать вероятность наличия того или иного объема запасов де­ талей на складе. Все регрессионные модели также являются вероятност­ ными, поскольку для них выходной величиной является статистическая оценка условного математического ожидания некоторого параметра.

В отличие от вероятностной, детерминированная модель одно­ значно предсказывает значение выходной величины при заданных значе­ ниях входных параметров. Пример детерминированной модели - рассмот­ ренная выше зависимость (1.11). Область основного применения вероятно­ стных моделей исследования операций - описание объектов в условиях неопределенности, т. е. при отсутствии некоторых сведений об условиях его функционирования.

В зависимости от фактора времени математические модели принято делить на статические и динамические. В динамических моделях рассмат­ риваются характеристики объекта, меняющиеся во времени; в статических эти параметры предполагаются не зависящими от времени.

1.2. Физические и аналоговые модели в деревообработке. Общая классификация моделей

Кибернетика внесла в современную науку понятие о моделирова­ нии как о новом эффективном методе познания окружающей действитель­ ности. По этому методу изучение самого объекта - оригинала - ведется посредством изучения другого объекта - модели, - имеющего сходство с оригиналом. Под сходством имеют в виду подобие свойств, соотношений или общность основных законов функционирования оригинала и модели. Моделирование означает построение модели объекта и исследование его на построенной модели. Такой метод познания окружающей действитель­ ности играет все более значительную роль в современной науке и технике1.

Кроме математических моделей, в науке и технике используют мо­ дели других видов, например, предметные модели, т. е. модели, представ­ ляющие собой материальные объекты. Различают физические и аналого­ вые предметные модели. Если предметная модель и моделируемый объ­ ект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физическом мо­ делировании и, соответственно, о физических моделях.

С помощью физических моделей изучают, например, явления, воз­ никающие при обтекании твердых тел жидкостью и газом на их умень­ шенных копиях. Так, сопротивление воды движению бревен в реке можно

1 Идея моделирования четко высказана еще у Ибн Сины (род. около 980 г.): «...если ты не познал какого-нибудь предмета и хочешь познать его, то познание надо осуществлять при посредстве другого предмета, который более известен, а иначе нет смысла в твоем познании».

17

исследовать на небольших цилиндрах, погруженных в лоток с жидкостью. При физическом моделировании характеристикам моделируемого объекта соответствуют одноименные характеристики модели: скорости - скорость; времени - время и т. д. Необходимыми условиями для физического моде­ лирования являются геометрическое (подобие формы) и физическое подо­ бие. Последнее означает пропорциональность значений исследуемых па­ раметров оригинала и модели в соответствующие моменты времени и в соответствующих точках пространства. Благодаря физическому подобию значение исследуемого параметра для оригинала можно получить, умно­ жив значение этого параметра, полученное в эксперименте на модели, на некоторый коэффициент. Этот коэффициент, постоянный для всех величин данной размерности, называется коэффициентом подобия. Например, ко­ эффициент подобия длин К{ равен отношению длин сходственных элемен­ тов оригинала и модели:

* , = / , / / , ,

( 1.12 )

где индекс 1 соответствует исследуемому объекту, а индекс 2 - модели. Физические величины, как известно, связаны между собой опреде­

ленными соотношениями. Если некоторые из них выбрать в качестве ос­ новных, то коэффициенты подобия для всех других величин можно выра­ зить через коэффициенты подобия основных величин. Так, поскольку ско­

рость равна v = //r, то коэффициент подобия скоростей Kv = v J v2	можно
выразить через коэффициенты подобия длин Kt и времени Kt:
*v = v,/v 2 = (/I/ f I) / ( / 2 / r 2) = (/,//2 )(/ 2/ r 1) = X , / ^ •	(1.13)
Аналогично коэффициент подобия для ускорений	равен

Ка = K V/ K t . Согласно теории подобия для данного физического явления существует определенное количество безразмерных комбинаций величин, характеризующих это явление. Эти безразмерные комбинации величин, называемые критериями подобия, должны иметь одно и то же значение для исследуемого объекта и его модели.

Рассмотрим, например, критерий подобия Ньютона, который явля­ ется основным критерием при физическом моделировании процессов ди­ намики твердых тёл и жидкостей. Обозначив коэффициент подобия масс

через	(1.14)
К т=т]/т2,

найдем из второго закона Ньютона связь между коэффициентом подобия для сил KFи остальными коэффициентами подобия:

K p = F j F 2 =mial/(m2a2)flKmKa = К ' к Ж = КтК, j . (1.15)

Рассмотрим теперь безразмерное выражение			и выра­
зим в нем значения	через соответствующие параметры модели
и коэффициенты подобия согласно формулам ( 1.12) - (1.15):
?и,У|2 _ m2K m(v2K vf	_ тгу \к	(К,/К,)2	= m2v\
F2K f12K,	f^ ^	k J k ^ k ,	f2i 2

Таким образом, безразмерное выражение mv2j(Fl) должно иметь

одну и ту же величину для оригинала и модели. Значение этого выражения называется числом Ньютона. При моделировании гидравлических явле­ ний используют и другие критерии - Рейнольдса, Фруда.

Необходимым условием физического моделирования является ра­ венство всех критериев подобия для оригинала и модели. Поскольку по­ строить модель, удовлетворяющую всем критериям, как правило, не удает­ ся, прибегают к приближенному моделированию, при котором исследуют­ ся только важнейшие характеристики объекта.

При аналоговом моделировании, в отличие от физического, приро­ да исследуемого объекта и его модели различны, но функционирование обоих описывается одними и теми же математическими соотношениями. Рассмотрим, например, механические колебания пружинного маятника, то есть груза массы т, подвешенного на пружине, и изменения тока в ко­ лебательном контуре, содержащем последовательное соединение постоян­ ной ЭДС Е, емкости С и индуктивности L. Оба эти процесса описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Действительно, на груз массы т , смещенный из положения равновесия на величину х, действуют сила тяжести mg и сила упругости пружины кх. Тогда, по второму закону Ньютона,

	md2x/dt2 + kx = m g .	(1-17)
Для колебательного контура согласно второму закону’Кирхгофа имеем
	L(di/dt)+q/C = E ,	(1.18)
где i -	ток в контуре;
q -	заряд на пластинах конденсатора.
	Подставив в формулу (1.18) i = d q /d t, получим
	L(d2q/ dt 2)+(l/C)q = E.	(1.19)

Из сопоставления уравнений (1.17) и (1.19) следует, что колебания электрических зарядов в рассматриваемом контуре происходят по тому же закону, что и колебания груза в пружинном маятнике.

Вследствие этой и подобных аналогий на электрических моделях, более удобных для исследований, можно изучать механические, а также

гидравлические и другие явления. Примером аналогового моделирования может служить моделирование на аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Следует отметить, что возрастающие возможности цифровой вы­ числительной техники обусловили постепенное уменьшение исполь­ зования методов аналогового моделирования и увеличение применения моделирования на электронных цифровых вычислительных машинах (ЭВМ). В этом случае на ЭВМ осуществляется исследование введенной в

нее математической модели объекта.

По форме представле-	По способу получения	По фактору времени
ния информации	информации

Рис. 1.2. Классификация моделей объектов

Приведенную классификацию моделей можно несколько расши­ рить, учитывая, что математические модели обычно включают в разряд так называемых знаковых моделей. К ним относятся помимо математических моделей описания объектов с помощью схем, логических схем алгоритмов, графов, чертежей, номограмм и т. п. Кроме того, отдельно рассматривают имитационные модели объектов, реализуемые на ЭВМ.

Классификация моделей объектов приведена на рис. 1.2.

20

Глава 2

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ДЕРЕВООБРАБОТКЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1. Общая постановка задачи исследования операций

Первоначально задача оптимизации рассматривается в содержа­ тельной постановке, т. е. в том виде, в котором она сформулирована заказ­ чиком - лицом или группой лиц, непосредственно заинтересованных в ее решении (см. примеры в п. 1.1). Переход к математической постановке за­ дачи оптимизации осуществляется в несколько этапов.

На первом этапе следует уточнить содержательную постановку за­ дачи, выделив в ней цель, условия решения (исходные данные) и требова­ ния, предъявляемые к результатам.

Второй этап - анализ объекта с целью выявления важнейших по­ казателей его функционирования и независимых переменных - факторов, которые целесообразно учесть в ходе решения задачи. Эти факторы можно разделить, в общем случае, на три группы:

1) факторы, определяющие состояние объекта; значения и характер их изменения известны исследователю и не зависят от его воли; их часто называют фазовыми координатами или координатами состояния и

обозначают z \, z2,	zm\
2 ) факторы,	значениями которых можно управлять, т. е. задавать

тем или иным образом для достижения поставленной цели; их называют

элементами решения и обозначают jci, дг2,_, хп\

3) факторы, значения которых неизвестны исследователю, - vb v*.

Задача, в которой имеются только факторы 1 -й и 2-й групп, называ­ ется детерминированной задачей исследования операций. При наличии в задаче факторов всех трех групп говорят о задаче исследования операций в условиях неопределенности.

Третий этап - формулирование критерия оптимальности. На этом этапе следует выбрать единственный числовой показатель W, соответст­ вующий цели исследования.

Четвертый этап - математическая формулировка задачи исследо­ вания операций. По результатам аналитических и (или) эксперименталь­ ных исследований находят функциональную зависимость выбранного кри­ терия оптимальности от исследуемых переменных

W = F ( x .......x„,zh...,zm, vb..., v*),