pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

мент. Однако в этом случае возрастут отходы пиловочного сырья, затраты, которые входят в себестоимость обработки, поэтому часто минимальная себестоимость обработки достигается при применении более тонких пил и, следовательно, меньших подач на зуб и стойкости режущего инструмента. Производительность обработки также снижается по сравнению с макси­ мально возможной.

На первый взгляд, для большинства операций механической обра­ ботки древесины более приемлемым критерием оптимизации является ми­ нимальная себестоимость обработки, так как она учитывает затраты не только живого труда, но и затраты прошлого труда. Использование этого критерия для отдельных операций может обеспечить максимальную при­ быль и рентабельность, минимальную себестоимость продукции и мини­ мальный уровень издержек производства, а также максимальную произво­ дительность труда.

Более низкая производительность обработки по сравнению с мак­ симально возможной может привести к снижению загрузки оборудования на остальных операциях технологического цикла, удорожанию остальных операций, снижению объема реализованной продукции и, в конце концов, к уменьшению прибыли и рентабельности предприятия или цеха. Выбор для отдельной операции критерия максимальной производительности об­ работки приведет к некоторому увеличению себестоимости данной опера­ ции. Однако, если эта операция относительно дешева, суммарная себе­ стоимость продукции может оказаться меньше из-за выигрыша на отдель­ ных операциях или из-за уменьшения накладных расходов на единицу продукции.

Критерий максимальной производительности обработки древесины более предпочтителен в следующих условиях:

-если операция является «узким местом» или головной на участке производственного потока и ограничивает производительность остальных операций;

-при высоком уровне накладных расходов на единицу продукции;

-при обработке дешевого сырья и малом проценте отходов при сравнительно больших затратах на операцию.

Первое условие - основное; второе условие принимается лишь при выполнении первого. Третье условие - самостоятельное и используется при невыполнении двух первых.

В общем случае почти невозможно заранее определить, какой из критериев оптимизации процессов механической обработки древесины наивыгоднейший. Очевидно, необходимо оптимальные параметры рас­ считывать по двум критериям - минимальной себестоимости и максималь­ ной производительности обработки, а затем, сравнивая оба варианта, вы­

бирать наилучший.

2.3. Многокритериальные задачи исследования операций

Эффективность сложного мероприятия оценивают обычно не по одному, а по нескольким критериям. Соответствующие задачи исследова­ ния операций называют многокритериальными. Переход к математической постановке задачи оптимизации и, следовательно, к единственному крите­ рию оптимальности может осуществляться различными способами. Их обычно называют способами свертки критериев.

Наиболее распространен из них следующий. Из всех рассматривае­ мых критериев выделяют важнейший, по которому и решается задача. На все остальные критерии накладываются только некоторые ограничения. Пусть для определенности имеется пять критериев: fVh W5, первые три из которых требуется увеличить, а остальные уменьшить. В качестве важнейшего выбран критерий W\. Тогда задача решается с позиций макси­ мума критерия W\, а остальные показатели войдут в число условий функ­ ционирования объекта в виде неравенств:

W2 >W2°; W3 > W3°; W4 <W4°; W5 <W5°.

Здесь W2°; W3°; W4°; fV5° - некоторые заданные числовые значения соответ­

ствующих показателей. Для их отыскания, а также для выбора важнейшего критерия используют результаты анализа объекта и условий его функцио­ нирования.

Другой способ свертки критериев заключается в формировании не­ которого обобщенного критерия W, представляющего собой функцию от частных критериев Wu W2i ..., Wn. Предположим сначала, что все эти част­ ные критерии имеют одинаковые размерности и диапазоны изменения. То­ гда обобщенный критерий W можно записать в виде дроби, числитель ко­ торой представляет собой произведение всех частных критериев, которые надо обратить в максимум, а знаменатель - произэедение минимизируе­ мых критериев. Отыскивается максимум критерия W. Так, для предыдуще­ го примера с пятью критериями максимизируемый обобщенный критерий W имеет вид

W = W]W2W3/{fV4W5).

Очевидно, что максимум обобщенного критерия W будет дости­ гаться при наибольших значениях частных критериев в числителе и наи­ меньших значениях - в знаменателе дроби. Основной недостаток такого подхода заключается в том, что при его использовании может быть дос­ тигнуто приемлемое значение обобщенного критерия даже при неудовле­ творительных значениях некоторых частных критериев за счет улучшения других оптимизируемых показателей. Может показаться, например, что низкое качество продукции компенсируется высокой производительно­

стью, если оба эти показателя входят в выражение для обобщенного кри­ терия оптимальности в виде частных критериев.

Более гибким является формирование обобщенного критерия W в виде взвешенной суммы частных критериев:

W = A ]Wl +A2W2 +... + AnWn,

где А - вес соответствующего критерия, i = 1, 2,..., п. Он берется с плюсом,

если частный критерий должен обращаться в максимум, или с минусом в случае его минимизации. Ищется максимум обобщенного критерия W. Абсолютные величины коэффициентов Я. берутся пропорциональными

важности соответствующего частного критерия с учетом требования их нормированности:

|А 11+ 1А2[+... 4-1Ап|= 1.

Чтобы упорядочить критерии по степени их важности и найти соот­ ветствующие веса, часто используют экспертные оценки. Примером обоб­ щенного критерия служит рассмотренный выше критерий приведенного дохода.

Заметим, что требование минимума для некоторого критерия Wt всегда можно заменить требованием максимума для противоположной ве­ личины (- Щ. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем считать, что каждый из п критериев W2, ..., Wnтребуется увеличить.

Если частные критерии W) имеют различную размерность, то пере­ ходят к безразмерным показателям wt по формуле

где Wi max и W,-min - соответственно максимальное и минимальное значения критерия Wt. Как видно из этой формулы, безразмерный показатель wxиз­ меняется от 0 до 1. Если величина Wtmax или Wtmin заранее неизвестна, то ее можно найти, решив задачу оптимизации по единственному критерию W,-. Для обобщенного критерия w, который формируется как взвешенная сум­ ма показателей wi} отыскивается максимум:

Z	,	V"» -1	W -W . ■
			1	*m,n		ГПЗХ,
	A :W: = > А:-----------------
1=1		W		- W	•
		"/m ax		"/m in
		где я ,-> 0		п	= 1 .
			и ]ГЛ,

/=1

Менее формален по сравнению с рассмотренным способом метод последовательных уступок [7]. Предположим, что частные критерии про­ нумерованы в порядке убывания их важности. Сначала решается задача оптимизации по первому, самому важному критерию W\ и отыскивается его максимальное значение W\ max. Далее по результатам проведенного ана-

анализа определяют, на какую величину AW\ можно отступить от мак­ симального значения Wt max, чтобы за счет этого добиться максимума по второму критерию W2. Таким образом, второй раз задача решается с пози­ ции максимума критерия W2 при условии Wx> WlmaK - AWX. Затем анало­

гичным образом назначается уступка по второму критерию, за счет чего максимизируется показатель W3 и т. д.

Рассмотрим еще один метод свертки критериев. Основное его дос­ тоинство - возможность работать как с количественными, так и с качест­ венными критериями, то есть с такими, значения которых не могут одно­ значно и исчерпывающе характеризоваться единственным числом. Пред­ варительно решим задачу оценки объекта по совокупности нескольких по­ казателей, в число которых входят только качественные критерии.

Пусть, например, требуется рекомендовать производству один из нескольких имеющихся проектов набора корпусной мебели. При опреде­ лении лучшего варианта учитывается целый ряд показателей, в том числе и качественные: эстетические требования к внешнему виду изделия; тех­ нологичность конструкции; требования функциональности, включающие удобство эксплуатации, вписываемость в интерьер современной квартиры ит. д.

Для перехода к количественной оценке каждому качественному критерию Wt следует сопоставить количественный показатель Условим­ ся, что он может изменяться в пределах от 0 до 1, причем лучшему значе­ нию Wt соответствует большее значение dt. В зависимости от предъявляе­ мых требований качественный критерий Wt может принимать два, три или больше значений.

Соответственно этому отрезок [0, 1] на шкале dt делится на столько же равных диапазонов. С каждым значением теперь сопоставляется не­ которая величина dt из соответствующего диапазона. Если, например, кри­ терий Wt принимает три значения, которые можно назвать: «плохо», «удовлетворительно» и «хорошо», то понятию «плоко» будет соответство­ вать одно из значений 0< d x<0,33; понятию «удовлетворительно» - зна­

чения 0,33 < d x<0,67; понятию «хорошо» - 0,67 < d x<1. Предположим

теперь, что оценка для каждого качественного критерия Wt уже преобразо­ вана в значение соответствующего количественного показателя df. Тогда совокупный показатель Д обобщающий все частные количественные по­ казатели dh рекомендуется вычислять по формуле

Д = ^ 2 .

(2. 5)

Такое представление обобщенного критерия оптимальности обла­ дает рядом достоинств. Область его значений 0 < Д < 1 совпадает с обла­ стью значений каждого из частных критериев dt. Величина Д равна нулю, если хотя бы один из показателей dt равен нулю, и равна единице только в

том случае, если равны единице все частные критерии dh i = 1, 2,..., п. Ес­ ли все показатели dt принимают одно и то же значение, то это же значение принимает и величина Д. Поэтому область значений обобщенного крите­ рия Д можно разбить на столько же диапазонов и с теми же границами, что и для частных критериев dt. При этом значения показателя Д в каждом диапазоне будут иметь тот же смысл. Вернемся к приведенному ранее примеру.

Т а б л и ц а 2.1

	Номер	Критерий			Проект №
	п/п		1	2	3	4	5	6
	1	dx	0,59	0,37	0,34	0,78	0,55	0,57
	2	d2	0,61	0,32	0,85	0,59	0,62	0,60
	3	di	0,78	0,30	0,47	0,69	0,2	0,74
	4	д	0,655	0,329	0,514	0,682	0,41	0,632
	5	w4	1800	1000	1500	2000	1700	1900
	6	d4	0,338	0,80	0,549	0,20	0,411	0,267
	7	д	0,555	0,410	0,522	0,502	0,409	0,510

Допустим, что шесть проектов оценены по трем критериям: W\ - эстетические требования; Wi - технологичность; W3 - функциональность. Каждый критерий может

принимать одно из трех значений, в соответствие с которыми приведены диапазоны значений соответствующих количественных показателей d\, с/2 и di так, как это описано

выше. В строках 1...3 табл. 2.1 приведены значения dh присвоенные экспертами каж­ дому проекту по каждому из трех критериев. Каждое из чисел - результат усредне­ ния мнений всех участников экспертизы (предварительно необходимо убедиться в со­ гласованности их мнений). По формуле (2.5) при п = 3 вычислены значения обобщен­ ного критерия Д для каждого проекта - строка 4, табл. 2.1. Отсюда следует, что луч­ шую оценку по совокупности трех критериев получил проект № 4; Д = 0,682, оценка «хорошо».

Рассмотрим теперь более общий случай, когда среди п критериев имеются как качественные, так и количественные. Пусть желательно уве­ личение количественного критерия W,-. Изменению значений этого крите­ рия во всем диапазоне его варьирования сопоставим, как и в предыдущем случае, изменение* величины d{. 0 < dt < 1 . Наибольшему значению Wt =

=	Wi max будет соответствовать значение d{ = 1, наименьшему Wt = W,- min -
- 4	= 0 .
	Во многих случаях эффект от изменения показателя пропорциона­

лен его увеличению лишь в некоторых пределах, а при выходе за эти пре­ делы величина достигнутого эффекта не изменяется. В этой ситуации связь между показателями d { и Wt целесообразно задавать функцией, изображен­ ной на рис. 2.3. Однако эта функция имеет изломы в точках Wt min и Wt max и, следовательно, недифференцируема в них. Поэтому на практике исполь­

зуют гладкую функцию, изображенную на рис. 2.4. Она называется функ­ цией желательности и описывается уравнением

(2.6)

Записав ех в виде ехр(х), получим

d, = ехр[- ехр ( - Ь 0- 6, W,)].

Преобразуем выражение (2.6) к виду

b0 + b i wi = - In ln(lM).

(2.7)

Для вычисления коэффициентов Ьо и Ь\ в функции желательности выбира­ ют значения dt для двух произвольных значений критерия W,-: dn для Wn и da для Wa (см. рис. 2.4), которые подставляют поочередно в выражение (2.7). Затем коэффициенты Ьо и Ъ\ определяют в результате решения сис­ темы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(2.8)

Как правило, в качестве значений Wn и Wa выбирают Wtmjn и Wtmax, приводя в соответствие им значения dn = 0 ,2 и da = 0 ,8 .

Рассмотренная функция желательности хорошо соответствует тре­ бованию увеличения критерия W, в диапазоне от W,- mjn до Wt max, где она возрастает почти линейно, в предположении, что увеличение Wt свыше Wj max не требуется.

1

1

т

Рис. 2.3. Предпочтительный вид

Рис. 2.4. Функция желательности

зависимости d,- от W,

Как уже отмечалось, область значений dt: 0 < < 1 можно разде­

лить на диапазоны, приводя им в соответствие качественные оценки. При выборе пяти диапазонов их рекомендуемые границы и качественные оцен­ ки приведены в первых двух графах табл. 2.2. Такой выбор границ диапа­ зонов объясняется удобством вычислений и требованиями симметрии. Обозначим для краткости в формуле (2.6) { b Q+ b xW ) через у . Тогда при

у = 0 из этой формулы получаем d = е-1 * 0,37. Симметричная точка на шкале d: d = 1 - 0,37 = 0,63 является границей следующего диапазона. В третьей графе табл. 2 .2 приведены границы всех пяти диапазонов измене­ ния промежуточного аргумента у функции желательности.

Т а б л и ц а 2.2

Качественная оценка	Диапазон d		Диапазон у
1		2		3
Очень плохо	00,0	... 0,20	-О О ...	-0,476
Плохо	0,20	...0,37	- 0,476...0
Удовлетворительно	0,37...	0,63	0 ...+ 0,772
Хорошо	0,63...	0,80	0,772...	+ 1,5
Очень хорошо	0,80...	1,00	1,5...	+ оо

Дополним приведенный выше пример рассмотрением еще одного, четвер­ того, критерия W4. Это цена соответствующего набора корпусной мебели. Значения ее для каждого варианта приведены в пятой строке табл. 2.1. Сформируем функцию желательности для этого критерия. Его следует минимизировать, поэтому сопоста­ вим со значением W4 min = 1000 величину d4 = 0,8, а со значением W4 max = 2000 ве­ личину d4 = 0,2. Система (2.8) примет следующий вид:

*0 + 6,1000 = -In In (1/0,8) =1,5;

b0 + b,2000 = -In In (l / 0,2) = - 0,476,

откуда b0 = 3,476; b\= - 0,001976.

Искомая функция желательности запишется следующим образом: d4 = exp [ - exp ( - 3,476 + 0,001976 W4) ].

По этой формуле вычислены значения d4 для каждого из проектов (см. строку

6, табл. 2.1). Рассчитываем значения обобщенного критерия Д ’по формуле

M '=ijdld 2d 3d4 (см. строку 7, табл. 2.1). Как видно, лучшим по совокупности четырех

критериев оказался первый проект.

Основное применение функция желательности находит при реше­ нии задач многокритериальной оптимизации с количественными крите­ риями. После того, как для каждого из них построена частная функция же­ лательности di, имеющая вид (2 .6 ), формируют совокупный критерий оп­ тимальности - обобщенную функцию желательности Д по формуле (2.5). Для нее решают однокритериальную задачу оптимизации. Можно пока-

зать, что как частная, так и обобщенная функции желательности обладают свойствами, позволяющими использовать их в качестве критериев опти­ мальности.

Формулу (2.5) для совокупного критерия оптимальности можно обобщить, если принять во внимание веса Я, соответствующих критериев dt (0< Я/< 1). В этом случае выражение для него примет вид

Все рассмотренные методы свертки критериев являются в некото­ рой степени искусственными и имеют ограниченное применение, посколь­ ку, как уже отмечалось, задача оптимизации с несколькими критериями в принципе не может быть корректно поставлена математически. Для мно­ гокритериальных задач в связи с этим более эффективен другой подход, который предполагает специальный анализ множества допустимых ре­ шений с целью исключения из рассматриваемого множества возможных вариантов заведомо неудовлетворительных решений.

Предположим, что для данного допустимого решения найдено дру­ гое решение, которое лучше предыдущего по каждому из рассматривае­ мых критериев. Тогда первое решение следует исключить из дальнейшего анализа как неперспективное. Например, в рассмотренном выше примере шестой проект уступает первому по всем критериям и может быть исклю­ чен. Оставшееся множество решений называется множеством Парето. Как правило, оно содержит значительно меньше элементов, чем исходное множество допустимых решений. Поэтому исследователь может провести содержательный анализ их и выбрать лучшее решение, исходя из дополни­ тельных неформальных требований. Эффективные методы построения множества Парето, разработанные к настоящему времени, достаточно сложны.

2.4. Задачи исследования операций в условиях неопределенности

В некоторых задачах значения отдельных параметров остаются не­ известны исследователю. Это могут быть факторы, связанные с характери­ стиками сырья, влиянием природных условий, характером спроса и требо­ ваний к продукции и т. д. Подход к решению таких задач зависит прежде всего от вида неопределенности. В наиболее благоприятной ситуации не­ определенность имеет вероятностную природу. Это означает, что неиз­ вестные параметры представляют собой случайные величины, значения которых можно оценить хотя бы принципиально по результатам много­ кратных наблюдений, проводимых в одних и тех же условиях. В этом слу­

чае говорят о статистической устойчивости явления и решают задачу с применением хорошо разработанных методов теории вероятности и мате­ матической статистики. Таковы, например, задачи теории надежности, массового обслуживания, управления запасами при случайном спросе. За­ дачи оптимизации, содержащие случайные факторы, изучаются в теории стохастического программирования.

Иногда допустимо пренебречь вероятностной природой неизвест­ ных факторов, заменив их значения оценками соответствующих математи­ ческих ожиданий. Тогда задача сводится к детерминированной. Так посту­ пают, как правило, с эмпирическими моделями. Для них значения отклика, полученные на основании опытных данных, являются случайными вели­ чинами. По результатам обработки эксперимента методом регрессионного анализа отыскивают зависимость оценки математического ожидания от­ клика от варьируемых факторов, с которой в дальнейшем работают как с детерминированной моделью.

Сложнее ситуации, когда исключена возможность применения ста­ тистических методов из-за отсутствия статистической устойчивости явле­ ния. Примером может служить характер спроса на отдельные виды про­ дукции на внешнем рынке, подверженный влиянию многих факторов раз­ ной природы. Подобными задачами занимается теория принятия решений.

Возможны случаи, когда неопределенность в постановке задачи ис­ следования операций связана с действиями противника, преследующего цели, полностью или частично противоположные нашей. Это прежде всего задачи, имеющие военные приложения, а также ситуации, предполагаю­ щие конкурентную борьбу. Математические модели таких задач рассмат­ риваются в теории игр.

Глава 3

ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЕРЕВООБРАБОТКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1. Примеры моделей и общая постановка задачи линейного программирования

Задачи линейного программирования (ЗЛП) составляют большой класс задач исследования операций. К ним сводятся многие задачи распре­ деления ресурсов: оптимальной загрузки станков, формирования произ­ водственной программы деревообрабатывающих предприятий, планирова­ ния раскроя листовых и круглых древесных материалов и ряд других.

Особенность структуры ЗЛП состоит в том, что критерий опти­ мальности в них линейно зависит от элементов решения, а условия функ­ ционирования объекта записываются в виде линейных равенств или нера­ венств относительно этих переменных. Такие ограничения называются ли­ нейными.

Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирова­

ния.

3.1.1. Задача формирования производственной программы

Мебельная фабрика выпускает три вида изделий: шкафы, столы и стулья. В производстве применяется оборудование трех типов: фрезерные, сверлильные и шлифовальные станки. Известны нормы времени работы, ч, для каждого типа оборудования при изготовлении одного изделия каждого вида (табл. 3.1).

			Т а б л и ц а 3.1
Вид		Станки
изделия	фрезерные	сверлильные	шлифовальные
Шкафы	0,25	0,18	0,24
Столы	0,20	0,13	0,19
Стулья	0,30	0,11	0,14

Согласно плановому заданию должно быть изготовлено не менее 150 шкафов, 200 столов и 400 стульев. Фабрика получает прибыль за изго­ товление одного шкафа в размере 5 руб.; стола - 3 руб. и стула - 2 руб. Из­ вестен ресурс рабочего времени: фрезерных станков - 250 ч; сверлильных станков - 300 ч; шлифовальных станков - 320 ч. Требуется определить ко­ личество выпускаемых изделий, при котором план по каждому виду про­