Вопрос 15. Мощность переменного синусоидального тока

Так как синусоидальные ток и напряжение меняются во времени, то, соответственно, должна изменяться и мощность. Рассмотрим основные закономерности этого процесса. Имеется электрическая цепь, к которой приложено напряжение u=U_m·sinωtи которая потребляет токi=I_m·sin(ωt+φ).

Тогда мгновенное значение мощности:

(4.27)

Подставив сюда а также значениеsin(ωt+φ) по формуле синуса суммы двух углов, получим после ряда преобразований:

(4.28)

Таким образом, мгновенное значение мощности может быть представлено в виде суммы двух составляющих, изменяющихся с удвоенной частотой.

Обозначим: UI·cosφ=P,UI·sinφ=Q, тогда (4.28) может быть представлено в виде:

Графики изменения этих слагаемых приведены на рис.4.15, откуда видно, что первая составляющая – косинусоида удвоенной частоты – изменяется в пределах от 0 до 2Р, не меняя знак, а вторая составляющая изменяется по синусоидальному закону с амплитудой Q.

Для того, чтобы оценить, какую мощность может полезно использовать потребитель, найдем среднее значение мощности за период:

(4.29)

Второй и третий интегралы равны нулю, как интегралы от синусоидальной функции в пределах целого периода.

Таким образом, Р – мощность, которую может использовать потребитель. Она называется активной мощностью. Выясним, на каких элементах схемы расходуется мощность Р:

P = UIcosφ = IUcosφ = IU_a = IIR = I²R, (4.30)

то есть активная мощность расходуется на активных сопротивлениях и может переходить в тепловую, механическую и другие виды мощности.

Рассмотрим тот же вопрос для второй составляющей мощности Q:

Q = UIsinφ = IUsinφ = IU_r = IIx = I²x. (4.31)

Это – реактивная мощность, расходуемая на реактивных элементах схемы. Она идет на создание магнитного поля индуктивностей либо электрического поля конденсаторов, а при снижении тока или напряжения возвращается генератору. Поэтому её называют иногда обменная мощность.

Определим сумму квадратов Р и Q:

P² + Q² = (UI)²(cos²φ + sin²φ) = (UI)².

Обозначим U·I=Sи назовем эту величину полной мощностью, следовательно:

причем:

(4.32)

то есть это мощность, расходуемая на полном сопротивлении схемы. Сопоставляя (4.30), (4.31) и (4.32), видим, что мощности Р, Q,Sобразуют прямоугольный треугольник, подобный, в частности, треугольнику сопротивлений, причем коэффициент подобия равенI².

Отметим также, что полная мощность изменяется во времени также по синусоидальному закону с удвоенной частотой.

Мощность может быть выражена и в символической форме. Рассмотрим схему, к которой приложено напряжение и которая потребляет ток. Сопряжённый комплекс тока:

тогда:

(4.33)

где φ = ψ_U– ψ_I.

Преобразовав эту комплексную величину в тригонометрическую форму, получим:

Таким образом, полная мощность в комплексной форме представляет собой комплексное число, вещественная часть которого равна активной мощности, а коэффициент при мнимой части – реактивная мощность. При этом знак перед мнимой частью определяет характер реактивной мощности:

знак «+» - индуктивный характер,

знак «-» - ёмкостной характер.

Нетрудно получить также выражения, связывающие мощность с сопротивлениями и проводимостями в комплексной форме:

Таким образом в практике необходимо различать три разные мощности переменного синусоидального тока: активную, реактивную, полную. Для того чтобы избежать путаницы в практике их размерности записывают в разной форме:

Р |Вт|,

Q|ВАр|,

S|ВА|.

Соотношение P,QиSсущественно влияет на экономические показатели работы электротехнических устройств. Действительно реактивная мощностьQне создаёт полезной работы однако при обмене потребителя и генератора этой мощностью в соединительных проводах, линиях электропередач и др. элементах системы электроснабжения возникают потери энергии. Поэтому практически важно сократить эти потери. Однако полностью устранить реактивную мощность нельзя так как многим электротехническим устройствам по своему принципу работы необходимо создание электрических и магнитных полей (электродвигатели, трансформаторы и др.). Поэтому задача практически заключается в том, чтобы по возможности минимизировать реактивную мощность. В практике для анализа данного вопроса обычно используютлибо.

Отсюда видно, что cosφпоказывает ту долю полной мощности, которая может быть использована потребителем. Наиболее выгодным режимом будет случай Р =S, когдаcosφ= 1. При этом вся передаваемая мощность полезно используется потребителем. При низкомcosφи той же активной мощности Р будет велика полная мощность, то есть будет велико необходимое значение передаваемого тока, а, следовательно, и потери.

В практике используют нормирование cosφ. В случае снижения его ниже допустимого значения потребитель электроэнергии может подвергаться экономическим санкциям. Это стимулирует работу потребителей над повышениемcosφ, где могут быть использованы различные методы и средства, некоторые рассмотрены в следующих разделах.

В электрических цепях, как указывалось в главе 1, должен выполняться баланс мощностей. В цепях переменного тока должен выполняться баланс мощностей как для активных, так и для реактивных мощностей:

Рген= Рпотр.

Qген=Qпотр.

Sген=Sпотр.

Резонанс Токов и напряжений

Как было показано в предыдущем разделе, активная мощность всегда перетекает от источника (генератора) к потребителю. Иначе обстоит дело с реактивной мощностью. В индуктивностях при возрастании тока энергия запасается в виде энергии магнитного поля. Затем при уменьшении тока она возвращается генератору. В ёмкостях при возрастании напряжения энергия запасается в виде энергии электрического поля, а затем, при уменьшении напряжения она возвращается генератору.

Если в электрической цепи имеются одновременно индуктивность Lи ёмкость С (либо несколько индуктивностей и несколько ёмкостей), то при уменьшении энергии, запасённой в одном из реактивных элементов схемы, она может отдаваться (частично или полностью) не генератору, а другим реактивным элементам. Такого типа энергетические процессы в электрических цепях называютсяколебательными.

В случае, если в электрической цепи содержится одна или несколько индуктивностей, одна или несколько ёмкостей, но цепь не потребляет от источника реактивной мощности, то, очевидно, имеет место случай, когда вся реактивная энергия, отдаваемая одними реактивными элементами, запасается другими, то есть имеет место баланс. Такой режим работы электрической цепи называется резонансным. Очевидно, что в этом режиме входное сопротивление схемы является чисто активным, а реактивная составляющая эквивалентного входного сопротивления (проводимости) равна нулю.

В практике различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс напряжений и резонанс токов.