Синусоидальный ток в емкости

Система из двух проводящих тел, разделенных диэлектриком, образует конденсатор. Эти проводящие тела называются обкладками. Если к ним подключить источник энергии, то на них будет накапливаться заряд q, пропорциональный напряжению на конденсаторе uC (рис. 2.21):

Рис. 2.21. Обозначение конденсатора

                               q = Cu_C..                                                                               (2.19)

    Коэффициент пропорциональности C между зарядом и напряжением называется емкостью конденсатора. Единица измерения емкости – фарада (Ф). Она имеет следующую размерность: . Емкость зависит от формы, размеров конденсатора и от диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками.

    Пусть напряжение, подаваемое источником на конденсатор, изменяется по закону

                             u_C = U_Cm sin ( t+ ).                                                     (2.20)

    При его возрастании от нуля до максимального значения конденсатор заряжается, на его обкладки от источника поступает электрический заряд. При уменьшении напряжения от максимума до нуля, заряд стекает с конденсатора, он разряжается. Таким образом, в проводах, соединяющих конденсатор с остальной цепью, постоянно движется электрический заряд, т.е. протекает электрический ток. Вывод о наличии электрического тока мы делаем, совершенно не касаясь вопроса о том, какие процессы происходят между обкладками конденсатора. Величина тока определяется зарядом, прошедшим в единицу времени через поперечное сечение проводника:

                                                   .                                                       (2.21)

    Она зависит от емкости и скорости изменения питающего напряжения, т.е. от частоты. От этих же факторов зависит и электрическая проводимость участка цепи с конденсатором. Ее называют емкостной проводимостью и определяют по формуле

B_C =  C = 2 fC.

    Величина, обратная емкостной проводимости, называется емкостным сопротивлением:

 .

    Подставляя в (2.21) приложенное к конденсатору напряжение из (2.20), получаем

                       (2.22)

где I_m =  CU_Cm = B_cU_Cm.

    Действующее значение тока

I =  CU_C = B_CU_C ,

    Отсюда .

    Последние три уравнения представляют разные формы записи закона Ома для конденсатора. Запишем их в символической форме. На основании (2.20) и (2.22):

,

,

или .

    Отсюда .

    Векторная диаграмма, построенная по приведенным выше уравнениям, показана на рис. 2.22.

    Угол наклона каждого вектора к положительному направлению вещественной оси определяется начальными фазами в выражениях (2.20) и (2.22). Так как при определении напряжения мы умножаемна–j, то вектор оказывается повернутым относительно вектора тока на угол 90 в отрицательном направлении, по часовой стрелке. Как отмечалось раньше, направление угла  на диаграмме показывается от вектора тока к вектору напряжения.

Рис. 2.22. Векторная диаграмма напряжения и тока в емкости

  Пример 2.6. Напряжение на конденсаторе u_C = 100sin (1000t –30 ). Написать выражение мгновенного значения тока через конденсатор. Каким станет ток, если частота питающего напряжения увеличится вдвое? Емкость конденсатора С = 50 мкФ.

    Р е ш е н и е. Определяем емкостное сопротивление:

 Ом.

    Амплитуда тока A.

    Так как , а и , то начальная фаза тока

 .

    Таким образом, .

    При возрастании частоты вдвое емкостное сопротивление уменьшается также вдвое: Ом.

    Амплитуда тока при этом увеличивается: A.

    Так как угол сдвига фаз не меняется, то мгновенное значение тока будет равно

  А.

Вопрос № 13. Сопротивления.

На схемах электрическое сопротивление обозначается так, как показано на рисунке 1, а.

Рисунок 1. Условное обозначение электрического сопротивления

Переменное электрическое сопротивление, служащее для изменения тока в цепи, называется реостатом. На схемах реостаты обозначаются как показано на рисунке 1, б. В общем виде реостат изготовляется из проволоки того или иного сопротивления, намотанной на изолирующем основании. Ползунок или рычаг реостата ставится в определенное положение, в результате чего в цепь вводится нужное сопротивление.

Длинный проводник малого поперечного сечения создает току большое сопротивление. Короткие проводники большого поперечного сечения оказывают току малое сопротивление.

Если взять два проводника из разного материала, но одинаковой длины и сечения, то проводники будут проводить ток по-разному. Это показывает, что сопротивление проводника зависит от материала самого проводника.

Температура проводника также оказывает влияние на его сопротивление. С повышением температуры сопротивление металлов увеличивается, а сопротивление жидкостей и угля уменьшается. Только некоторые специальные металлические сплавы (манганин, констаитан, никелин и другие) с увеличением температуры своего сопротивления почти не меняют.

Итак, мы видим, что электрическое сопротивление проводника зависит от: 1) длины проводника, 2) поперечного сечения проводника, 3) материала проводника, 4) температуры проводника.

За единицу сопротивления принят один Ом. Ом часто обозначается греческой прописной буквой Ω (омега). Поэтому вместо того чтобы писать "Сопротивление проводника равно 15 Ом", можно написать просто: r = 15 Ω. 1 000 Ом называется 1 килоом (1кОм, или 1кΩ), 1 000 000 Ом называется 1 мегаом (1мгОм, или 1МΩ).

При сравнении сопротивления проводников из различных материалов необходимо брать для каждого образца определенную длину и сечение. Тогда мы сможем судить о том, какой материал лучше или хуже проводит электрический ток.

Сопротивление в омах проводника длиной 1 м, сечением 1 мм² называется удельным сопротивлением и обозначается греческой буквой ρ (ро).

Вопрос № 14. Проводимости.

До сих пор мы рассматривали сопротивление проводника как препятствие, которое оказывает проводник электрическому току. Но все же ток по проводнику проходит. Следовательно, кроме сопротивления (препятствия), проводник обладает также способностью проводить электрический ток, то есть проводимостью.

Чем большим сопротивлением обладает проводник, тем меньшую он имеет проводимость, тем хуже он проводит электрический ток, и, наоборот, чем меньше сопротивление проводника, тем большей проводимостью он обладает, тем легче току пройти по проводнику. Поэтому сопротивление и проводимость проводника есть величины обратные.

Из математики известно, что число, обратное 5, есть 1/5 и, наоборот, число, обратное 1/7, есть 7. Следовательно, если сопротивление проводника обозначается буквой r, то проводимость определяется как 1/r. Обычно проводимость обозначается буквой g.

Электрическая проводимость измеряется в (1/Ом) или в сименсах.

Пример 8. Сопротивление проводника равно 20 Ом. Определить его проводимость.

Если r = 20 Ом, то

Вопрос № 18. Последовательное соединение RLC

Соберем установку (рис. 1) из трех последовательно соединенных потребителей: реостат имеет активное сопротивление R, катушка - индуктивное сопротивление , конденсатор - емкостное сопротивлениеПриборы измеряют действующие значения тока I и напряжения на отдельных элементах и источнике. RLC-параметры можно изменять; источник может быть синусоидальным (U = 127 В) или постоянным (U = 110 В).

Если включить цепь на постоянный ток, то ток сначала постепенно возрастает, а затем спадает до нуля: происходит заряд емкости током, проходящим через обмотку катушки индуктивности, которая по закону электромагнитной индукции (самоиндукции) сначала препятствует его возрастанию, а затем его уменьшению. Чем больше R, L и C, тем дольше будет длиться этот процесс; чем меньше R, тем более выражается колебательный характер этого процесса. Колебания возникают вследствие того, что ранее накопленная энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора и далее наоборот; колебания затухают благодаря тому, что часть их энергии необратимо поглощается активным сопротивлением R. Чем больше R, тем меньше колебания по амплитуде, но и тем дольше происходит заряд емкости (конденсатора). Подключим цепь к синусоидальному току U = 127 В (рис. 1). Если f = 50 Гц, С = 32 мкФ, L = 0,32 Гн, R = 38 Ом, в стабильном режиме вынужденных колебаний приборы покажут: U = 127 В, U_BC = 25 В, I = 2,5 А. Как видим, для действующих значений напряжений второй закон Кирхгофа не выполняется , поскольку эти напряжения векторные и имеют свои начальные фазы. Законы Кирхгофа справедливы для комплексной формы выражения напряжений (рис. 2):

Рис. 2.

Откуда

где X = U_L + U_C - реактивное сопротивление электрической цепи. Полное сопротивление в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

где . Дляикомплексное сопротивлениесоставит:

Отсюда видно, что разность начальных фазовых углов напряжения и тока определяет аргумент комплексного полного сопротивления , т.е.Векторные диаграммы токов и на комплексной плоскости в соответствии с уравнением Кирхгофа, учитывая сдвиг фаз между напряжениямии током(рис.3).

Рис. 3.

Первая диаграмма (а) построена для цепи, в которой преобладает индуктивное сопротивление. Ток отстает от напряжения, и сдвиг фаз положительный; диаграмма (б) - для цепи, в которой преобладает емкостное сопротивление, токопережает напряжение, и сдвиг фазотрицательный. От треугольников напряжений, разделив каждую сторону треугольника на ток, переходим к подобному ему треугольнику сопротивлений. Мгновенная мощность, в зависимости от знака, идентична мощности RL-цепи (> 0) или RC-цепи (< 0). Активная мощность

определяется произведением действующих значений напряжения, тока и коэффициента мощности

где S = UI - полная мощность. Величина является реактивной мощностью. Она положительна, когда> 0, и отрицательна, когда< 0. Абсолютное значение

Комплекс мощности

где - сопряженный комплекс тока. Треугольник напряжений подобен соответствующему треугольнику сопротивлений (рис. 4).

Рис. 4.

Вопрос № 19. Параллельное соединение RLC

Для параллельного соединения RLC-элементов (рис. 1) справедливо уравнение первого закона Кирхгофа. Для комплексных токов:

где - соответственно активная, индуктивная и емкостная проводимости отдельных ветвей цепи.

Рис. 1.

Тогда

где B_L - B_C = B - результирующая реактивная проводимость, а выражение в скобках

- комплексная проводимость. Здесь - модуль комплексной проводимости, а величина- аргумент. Ток в неразветвленной части цепи

Построим векторные диаграммы в соответствии с уравнением первого закона Кирхгофа (рис. 2, а, б). Диаграмма (а) соответствует режиму, когда реактивная проводимость В < 0. В цепи преобладает индуктивная проводимость, ток отстает от напряжения, сдвиг фаз положительный. Диаграмма (б) для случая, когда В > 0. В цепи преобладает емкостная проводимость, токопережает напряжение, сдвиг фаз отрицательный. Из треугольника токов (рис. 2, а, б) можно получить треугольник проводимостей (рис. 2, в, г), если каждую сторону треугольника токов поделить на напряжение.

Рис. 2.

Вопрос № 20. Понятие добротности и затухания и влияние этих величин на режим работы цепи.

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

,

где ,и—сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно. — частота резонанса. Выражениечасто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом иное определение добротности - отношение волнового сопротивления к активному.

Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:

,

ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью.

Для электрической цепи гораздо проще измерить амплитуду (ток или напряжение), чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды колебаний, полоса частот на АЧХ будет от пика (примерно −3 дБ, а 1/2 это −6 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривойпо уровнюс круговой частотой резонанса:

,

где: — коэффициент затухания, равный полуширине резонансной кривой,— число колебаний за время релаксации.

ЗАТУХАНИЕ КОНТУРА - величина, определяющая скорость убывания амплитуд собств. колебании в электрич. контуре и вместе с тем характеризующая его резонансные свойства при вынужденных колебаниях. Амплитуда собств. колебаний в контуре убывает вследствие рассеяния энергии. Если обозначить W_K всю энергию колебаний в контуре, аW_П - часть её, составляющую потери за один период колебаний, то при W_K>>W_П 3. к. равно d=W_П/2pW_K. В электрич. контуре, состоящем из сосредоточенной индуктивности L, ёмкости С и сопротивления R, 3. к. (при том же ограничении) равно: 3. к. является величиной, обратной добротности, и определяет ширину резонансной кривой; в случае вынужденных колебаний 3. к. пропорционально декременту затухания d: d=d/p.

Вопрос № 21. Явление взаимной индуктивности в электрических цепях.

Взаимоиндукция

Рассмотрим теперь два контура, расположенные вблизи друг друга (рис.4.22г). Если через первый контур протекает ток i₁, то создаваемый им магнитный поток ψ₁частично может пронизывать второй контур. Эта часть магнитного потока называется магнитным потоком взаимоиндукции ψ₁₂. Очевидно, что она при прочих равных условиях пропорциональна току первого контура:

(4.45)

Можно повторить эти рассуждения для случая, когда ток протекает по второму контуру, а его магнитный поток частично пронизывает первый контур. Очевидно, по принципу взаимности:

М₁₂= М₂₁=М (4.46)

Коэффициент пропорциональности М зависит от тех же факторов, что и L, а также и от взаимного расположения первого и второго контуров. Он называетсякоэффициент взаимоиндукции или взаимоиндуктивность.

Тогда ЭДС взаимоиндукции:

. (4.47)

Если М – постоянно, то:

. (4.48)

Отметим, что размерности М и Lсовпадают:

Коэффициент связи kдвух магнитно-связанных контуров с индуктивностямиL₁иL₂и взаимоиндуктивностью М определяются соотношением:

(4.49)

Потокосцепление контура L₁можно представить в виде сумм двух составляющих:

где ψ₁₁– часть потокосцепления первого контура, определяемая магнитным потоком, сцепленным только с первым контуром, но не сцепленным со вторым, а ψ₁₂ – часть потокосцепления первого контура, определяемая магнитным потоком первого контура сцепленным со вторым контуром.

Аналогично для второго контура:

Используя эти соотношения, можно показать, что величина коэффициента связи не превышает 1:

В пределе, когда ψ₁₁ = 0 и ψ₂₂ = 0, то есть когда весь магнитный поток первого контура сцеплен со вторым, и, соответственно, наоборот:k²= 1.