Синусоидальный ток в активном сопротивлении
При протекании электрического тока выделяется энергия в виде тепла или механической работы. Параметр электрической цепи, характеризующий этот процесс, называется активным сопротивлением. Количественно он определяется следующим образом. Пусть на некотором участке цепи за время Т, равное периоду переменного тока, действующее значение которого I, необратимо преобразуется в тепло или механическую работу электрическая энергияWТ. Тогда активное сопротивление рассматриваемого участка цепи по определению равно
.
(2.12)
|
На схеме активное сопротивление обозначается точно так же, как и сопротивление постоянному току (рис. 2.16). Последнее, называемое еще омическим, определяется структурой кристаллической решетки проводника и состоянием свободных электронов. Наличие вблизи каких-либо проводящих тел и ферромагнитных сердечников на омическое сопротивление не влияет. |
Рис. 2.16. Активное сопротивление |
Иначе обстоит дело при переменном токе.
При невысоких частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления постоянному току. Но с повышением частоты все сильнее и сильнее сказывается поверхностный эффект, заключающийся в вытеснении переменного тока из серединных областей проводника к его поверхности. Это приводит к уменьшению сечения, занимаемого током, к увеличению сопротивления и возрастанию тепловых потерь. К аналогичным последствиям приводит и эффект близости, выражающийся в возникновении неравномерности распределения электрического тока по сечению проводника из-за действия магнитного поля соседних проводов.
Если вблизи катушки имеются ферромагнитные сердечники и какие-либо другие проводящие тела, то магнитное поле переменного тока индуцирует в них вихревые токи, что вызывает дополнительные потери энергии на нагрев. Кроме того, в переменном магнитном поле происходит непрерывное периодическое перемагничивание ферромагнитного сердечника, требующее энергетических затрат на изменение направления магнитных моментов доменов.
Таким образом, понятие активного сопротивления является более широким, по сравнению с омическим. Числитель в формуле (2.12) при переменном токе всегда больше, чем при постоянном, так как он включает в себя все перечисленные потери электромагнитной энергии на тепло. Поэтому для одной и той же электрической установки активное сопротивление переменному току всегда оказывается больше чем сопротивление постоянному току.
Мгновенные значения напряжения и тока в активном сопротивлении связаны законом Ома:
или 
,
где 
–
активная проводимость:
.
При изменении тока по синусоидальному закону
,
(2.13)
напряжение тоже синусоидально и имеет с током одинаковые начальные фазы:
.
(2.14)
Отсюда 
или
.
Разделив
два последних уравнения на 
,
получим
и 
.
Четыре последних уравнения представляют собой различные формы записи закона Ома для активного сопротивления.
По уравнениям (2.13) и (2.14) можно записать комплексные амплитуды тока и напряжения:
, 
,
откуда
или 
.
После
деления последних двух уравнений
на 
будем
иметь:
и 
.
Получили те же самые выражения закона Ома, но в символической форме.
На рис. 2.17 показаны волновая и векторная диаграммы, построенные по формулам (2.13) и (2.14).
Рис. 2.17. Волновая и векторные диаграммы для активного сопротивления
В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе; их начальные фазы одинаковы, угол сдвига фаз равен нулю, векторы на векторной диаграмме направлены в одну сторону (параллельны).
Вопрос № 11. Синусоидальный ток в L
Синусоидальный ток в индуктивности
Если в катушке, изображенной на рис. 2.1, магнитное поле создается собственным током i, то магнитный поток называется потоком самоиндукции и обозначается ФL, а индуцируемая в катушке ЭДС еL – ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой (2.1) она равна
,
(2.15)
где 
–
потокосцепление самоиндукции, величина,
пропорциональная протекающему по
катушке току: 
= Li.
Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и током называется собственной индуктивностью или просто индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри (Гн).
Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const, получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:
.
(2.16)
|
На рис. 2.18 показано изображение индуктивности на электрической схеме; uL – напряжение на зажимах катушки, обусловленное электродвижущей силой самоиндукции, или другими словами, напряжение, наведенное в катушке собственным переменным магнитным полем. |
Рис. 2.18. Обозначение индуктивности |
Все три стрелки на схеме (i, eL, uL) принято направлять в одну сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому
.
(2.17)
Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС. В рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим образом:
ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей ее появление.
Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока – в одну с ним сторону.
Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается хL. В соответствии с формулой (2.16) его величина определяется индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула, определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:
.
В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает.
Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением (2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой (2.17), равно
.
Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна
.
Аналогичное
выражение получается (после деления
на 
)
и для действующих значений
,
откуда 
,
где ВL –
индуктивная проводимость; 
.
Запишем соответствующие формулы в символической форме:
.
Так
как 
,
то
.
Отсюда 
.
Аналогично для действующих значений:
,
.
(2.18)
|
Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности, как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности. Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90° . В индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода. Выражение закона Ома, записанное в символическое форме, указывает на этот сдвиг фаз. Вспомним, что умножение вектора на jприводит к его повороту на угол 90° против часовой стрелки. |
Рис. 2.19. Векторная диаграмма напряжения и тока в индуктивности |
Согласно
уравнениям (2.18) 
получается
путем умножения произведения
наj,
в результате чего вектор 
оказывается
повернутым относительно вектора
.
Пример 2.5. Мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется выражением uL = 200 sin( t+60 ) В. Записать выражение мгновенного значения тока, если L = 63,67 мГн, а частота питающего напряжения f = 50 Гц. Построить векторные диаграммы напряжения и тока.
|
Р е ш
е н и е. При частоте f =
50 Гц циклическая частота =
314 с-1,
и индуктивное сопротивлениеxL = L =
20 Ом. Амплитуда тока равна Так как в индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода, его начальная фаза меньше начальной фазы напряжения на 90 : i = u – 90 = 60–90–30 . Итак, i = 10sin ( t–30 ). Векторная диаграмма показана на рис. 2.20. |
Рис. 2.20. Векторная диаграмма напряжения итока в индуктивности |
А.
Вопрос № 12. Синусоидальный ток в C