48. Атом водорода.

Атом водорода – связанная система, состоящая из положительно заряженного ядра – протона и отрицательного заряженного электрона.      Размеры атома определяются размерами его электронной оболочки ≈ 10^-8 см.     Энергии связанных состояний электрона получаются при решении уравнения Шредингера с потенциалом V(r) = -e²/r и определяются соотношением

где n – главное квантовое число, определяющее энергии различных состояний электрона в атоме водорода (n = 1, 2, 3…), R - постоянная Ридберга  (R = 1.0974·10⁵ см^-1).

Каждому уровню с главным квантовым числом n соответствует n состояний, различающихся квантовыми числами l = 0, 1, 2, …, (n-1). Такое вырождение уровней по энергии характерно только для кулоновского поля. Кроме того, каждое из этих вырожденных по l состояний (2l+1)-кратно вырождено по магнитному числу  m = ±l, ±(l-1),...±1, 0. Таким образом, полная кратность вырождения стационарного квантового состояния с главным квантовым числом n дается соотношением.     Такое рассмотрение справедливо при условии, что спин электрона равен нулю. Так как электрон имеет спин s = 1/2, полный момент количества движения электрона будет определяться векторной суммой его орбитального и спинового моментов   = + .     Так как спин электрона s = 1/2, его полный момент количества движения J может быть только полуцелым.     При заданном значении орбитального момента l в атоме водорода возможно два состояния, различающихся значениями полного момента = + = l + 1/2 и  j = l - s = l - 1/2. Эти два значения различаются взаимными ориентациями орбитального и спинового векторов. Энергии электрона в состояниях l + 1/2 и l - 1/2 в кулоновском поле протона несколько отличаются, и вырождение по энергии состояний снимается. Это дополнительное взаимодействие носит название спин-орбитального. С учетом снятия вырождения спектр низколежащих состояний атома водорода обогащается, происходит тонкое расщепление уровней энергий. Вместо двух низших уровней водорода без учета спин-орбитального расщепления (основного 1s и первого возбужденного 2s2p (рис. 1, а)) с учетом спин-орбитального расщепления их становится четыре (рис. 1, б). Квантовые характеристики этих уровней даны в таблице. Уровень с большим значением j = l + 1/2 расположен выше по энергии, чем уровень с j = l - 1/2. Состояния с различными значениями l, но одним и тем же значением nj оказываются по-прежнему вырожденными. Например, 2s_1/2 и 2p_1/2.

Рис. 1. Схема уровней атома водорода: а – без учёта спина электрона и спина ядра, б – тонкое расщепление уровней, учитывающее спин электрона, в - сверхтонкое расщепление уровней, учитывающее взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Лэмбовский сдвиг уровней 2s_1/2 и 2р_1/2 ~4·10^-6 эВ. Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе

49. Волновая функция и ее смысл.

Волновая функция

    Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция (x,y,z,t).    Физический смысл волновой функции. Величина |(x,y,z,t)|²dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).     Волновая функция системы невзаимодействующих частиц(r₁,r₂,...r_n,t) связана с одночастичными волновыми функциями_i(r_i,t) соотношением

(r₁,r₂,...r_n,t) = ₁(r₁,t)·₂(r₂,t)·..._n(r_n,t).

Свободное движение частицы

    Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид

 (r,t) = Aexp[i(kr - t)] = Aexp[i(pr - Et)/] .

    Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции

A = (2)^-3/2.

Т.е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.

Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Если область пространства, в которой может находится частица ограничена, возникает дискретный спектр энергий. Рассмотрим это на примере одномерной прямоугольной ямы c бесконечными стенками

Частица всегда находится в области 0 <x<a. Вне ее= 0. Запишем уравнение Шредингера для одномерного случая

(1)

Его решение

= Asin kx + Bcos kx,

(2)

где k = (2mE/²)^1/2. Из граничных условий и условий непрерывности имеем

Asin ka= 0.

(3)

Из (3) получим

ka = n, n = 1, 2, ...,

(4)

т.е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояний принимает дискретные значения

En= p^2/2m =k^2/2m = ^22n^2/(2ma^2).

(5)

Энергии состояний растут квадратично от n.

Рис. 1

Каждому значению энергии соответствует волновая функция, которую с учетом условия нормировки

(6)

можно записать в виде

n= (2/a)^1/2sin (nx/a)

(7)

(см. рис.1). В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < ²²/(2ma²).

Частица в потенциале гармонического осциллятора

    Потенциал гармонического осциллятора (так же, как и в предыдушем примере рассмотрим одномерный случай)

n= kx^2/2 = m0x^2/2.

(8)

где ₀= (k/m)^1/2- собственная частота колебаний гармоничекого осциллятора. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала можно записать в виде

n= hn(x)e^-b(x),

(9)

где h_n(x) - полиномы степени n, b(x) = (km)^1/2x²/2. Спектр значений энергий имеет вид

En=0(n + 1/2),     n = 0, 1, ...

(10)

    Энергетический спектр гармонического осциллятора эквидистантный - уровни находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.