6. Угловые скорость и ускорение и их связь с параметрами поступательного движения.

Угловая скорость при вращении тела вокруг неподвижной точки

Угловой скоростью называют векторную величину, характеризующую быстроту вращения твердого тела, определяемую как приращение угла поворота тела за промежуток времени.

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Δt → 0, за который твердое тело совершает поворот на бесконечно малый угол  Δα вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.2). 

Рис. 3.2 

Предел, к которому стремится отношение  Δα / Δt, называется угловой скоростьютвердого тела в рассматриваемый момент времени

Угловая скорость является векторной величиной. Вектор угловой скорости ω может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси Ω, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки.

Угловое ускорение при вращении тела

Угловым ускорением называют степень изменения угловой скорости.

За вектор углового ускорения ε при вращении тела вокруг неподвижной точки принимают вектор, который характеризует изменение угловой скорости ω в данный момент как по числовой величине, так и по направлению. Такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости ω. Таким образом, угловое ускорениеопределяется так:

     

Рис. 3.3

В общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а, как производная по времени от вектора ω, параллельно касательной к годографу этого вектора. Условимся угловое ускорение ε изображать в любой точке прямой, параллельной этой касательной годографа угловой скорости u, но проходящей через неподвижную точку тела (рисунок 3.3). Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью углового ускорения и обозначается E.

9. Равновесие твердого тела.

Равновесие твердого тела зависит не только от модуля и направления действующих сил, но и от точки приложения сил. 

Равновесие твердого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно самой себе в произвольную точку тела, добавив при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. 

Равновесие твердого тела не нарушится, если к двум каким угодно его точкам приложить две равные и прямо противоположные силы. 

Равновесие твердого тела зависит не только от модуля и направления действующих сил, но и от точки приложения сил. 

Равновесие твердого тела не нарушается, если к двум любым его точкам прикладываются две равные по величине и прямо противоположные силы. 

Равновесие твердого тела возможно лишь под действием уравновешивающейся системы сил.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю. Это условие является, очевидно, необходимым. 

Для равновесия твердого тела с одной закрепленной точкой необходимо и достаточно, чтобы главный момент системы сил, действующих на тело, относительно закрепленной точки был равен нулю. 

Для равновесия твердого тела, имеющего неподвижную ось, необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент прямо приложенных сил относительно этой оси был равен нулю. 

Для равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость в нескольких точках, необходимо и достаточно, чтобы прямо приложенные к телу силы имели равнодействующую, нормальную к плоскости, ориентированную во внутреннюю сторону и пересекающую плоскость внутри опорного многоугольника или ( в предельном случае) на его контуре. 

Условия равновесия твердого тела представляются шестью уравнениями, выполнение которых необходимо и достаточно для равновесия: суммы проекций внешних сил на координатные оси должны быть равны нулю, и суммы моментов сил относительно трех координатных осей тоже должны быть равны нулю. Соответственно этому получим в динамике шесть уравнений: первые три будут выражать, что суммы проекций внешних сил и сил инерции равны нулю; остальные три устанавливают, что суммы моментов внешних сил и сил инерции тоже равны нулю. Внутренние силы не входят ни в одно из этих уравнений, так как исключаются уже во время самого составления уравнений. 

При равновесии твердого тела вектор напряжения имеет две составляющие: нормальную, направленную по нормали к площадке, и касательную, расположенную в плоскости самой площадки. При равновесии же жидкости в некотором сосуде вектор напряжения имеет лишь одну нормальную составляющую и притом направленную всегда внутрь рассматриваемых частиц. Иначе говоря, взаимодействие частиц жидкости при равновесии характеризуется одним лишь давлением.