KP1_Zhigna_Litovchenko

4.2.Определение изгибающих моментов и поперечных сил

Расчетные усилия определяют с учетом их перераспределения вследствие пластических деформаций.

Предварительно находят усилия в балке как в упругой системе. Так как разница в величине пролетов не превышает 10%, усилия определяют как для равнопролетных балок, при этом рассматривают различные варианты положения временной нагрузки.

В общем случае для 5-ти пролетной балки рассматривают следующие варианты положения временной нагрузки:

-вариант 1 – нагружены 1-й, 3-й и 5-й пролеты для определения максимальных моментов в нечетных пролетах;

-вариант 2 – нагружены 2-й и 4-й пролеты для определения максимальных моментов в четных пролетах;

-вариант 3 – нагружены 1-й, 2-й и 4-й пролеты для определения минимального момента на опоре В;

-вариант 4 – нагружены 3-й и 5-й пролеты;

-вариант 5 – нагружены 2-й, 3-й и 5-й пролеты для определения минимального момента на опоре С;

-вариант 6 – нагружены 1-й и 4-й пролеты.

Для определения изгибающих моментов от постоянной нагрузки G

принимается схема с нагружением всех пролетов балки.

Ординаты эпюр изгибающих моментов М и перерезывающих сил Q от

возможных комбинаций нагрузок могут быть вычислены по формулам:

M =(α·G + β·V)·lo ;	(4.1)
Q=γ ·G +δ·V ,	(4.2)

где:

α, β, γ, δ – коэффициенты для вычисления изгибающих моментов и перерезывающих сил при различных видах нагрузки и комбинациях загружения, числовые значения которых приведены в таблице П4.1.

приложения 4.

62

Пример 4.2. Определение M и Q в главной балки

Результаты вычисления M и Q от отдельных схем нагружения и возможных сочетаний сводим в табл. 4.1 и 4.2.

Например, при загружении балки по схеме 1 изгибающие моменты в первом и втором пролете под сосредоточенными силами 1 и 2 будут равны (см.

табл.4.1):

М11 =0,244·G·lo1 =0,244·76,92·7,14=0,244·549=134 кН·м;

М12 =0,156·G·lo1 =0,156·76,92·7,14=0,156·549=85,7 кН·м;

М21 = М22 =0,067·G·lo2 =0,067·76,92·7,2=0,156·553,8=37,1 кН·м.

Аналогично определяем изгибающие моменты при загружении балки по схемам 2, 3, 4 (см. табл. 4.1) принимая соответствующие значения коэффициентов из таблицы приложения и при величине грузового множителя:

-V·lo1 = 207,36·7,14=1480 кНм в первом пролете;

-V·lo = 207,36·7,2 =1492 кНм во втором пролете.

При отсутствии в табл. П.4.1. приложения 4 значений коэффициентов для определения пролетных моментов, последние получают путем сложения ординат эпюр от опорных изгибающих моментов с эпюрами моментов для свободно опертых балок, загруженных рассматриваемой схемой нагрузок.

Например, при загружении временной нагрузкой по схеме 4 (см. табл. 4.1)

ординаты эпюры опорных моментов равны:

МВ = - 0,311·1492= -464 кНм;

МС = - 0,089·1492= -132,8 кНм.

Ординаты эпюры пролетных моментов для свободно опертых балок загруженных сосредоточенными силами V :

М110 = М120 = V·lo1 /3 = 207,36·7,14/3 = 493,5 кНм; М210 = М220 = V·lo2 /3 = 207,36·7,2/3 = 497,7 кНм.

Суммируя ординаты эпюры от опорных моментов с моментами для свободно опертой балки, получаем ординаты эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки по схеме 4:

63

											Таблица 4.1
				Изгибающие моменты в сечениях главной балки
№	Схема					Изгибающие моменты в кН· м
	загружения балки
загр.				М11	М12	МВ	М21	М22		МС	М31	М32
1				0,244· 549=	0,156· 549=	-0,267·554=	0,067· 554=	0,067· 554=		-147,9	85,6	134
				=134	=85,6	= -147,9	= 37,1	= 37,1
2				0,289· 1480=	0,244· 1480=	-0,133·1492=	-0,133·1492=	-0,133·1492=		-198,4	361,1	427,7
				= 427,7	=361,1	= -198,4	= -198,4	= -198,4
3				-0,0445·1480=	-0,089· 1480=	-0,133· 1492=	0,200· 1492=	0,200· 1492=		-198,4	- 131,7	- 65,9
				= -65,9	= -131,7	= -198,4	= 298,4	= 298,4
4				338,9	184,2	-0,311· 1492=	144,1	254,5		-0,089·1492=	-88,5	-44,3
						= -464				= -132,8
	1+2			564,7	446,7	-346,3	- 161,3	- 161,3		-346,3	446,7	564,7
	1+3			68,4	- 46,1	- 346,3	335,5	335,5		-346,3	- 46,1	68,1
	1+4			472,9	269,8	- 611,9	181,2	291,6		- 280,7	- 2,9	89,7
	Ординаты огибающей		Мmin	-	- 46,1	- 611,9	-161,3	-161,3		-346,3	-46,1	-
	эпюры		Mmax	564,7	446,7	-	335,5	335,5		-	446,7	564,7
	Ординаты выравнивающей эпюры			61,2	122,4	183,6	122,4	61,2		-	-	-
	для сочетания 1+4
	Ординаты эпюры для сочетания			534,1	392,2	- 428,3	303,6	352,8		-280,7	-2,9	89,7
	1+4 после перераспределения
	Ординаты огибающей		Мmin	-	- 46,1	- 428,3	-161,3	-177,5		-346,3	-46,1	-
	после перераспределения		Mmax	564,7	446,7	-	335,5	352,8		-	446,7	564,7

64

Таблица 4.2

Поперечные силы в главной балке

№	Схема										Поперечные силы, кН, на участках
загр.	загружения балки
					А - 11					11 - 12	12 - В				В - 21				21-22	22 - С		С-31		31-32	32-Д
					134 − 0	=				56,3-76,9=	-20,6-76,9=			37,1 + 147,9			=
1		2,38										2,4							0	-76,9	97,5			20,6	-56,3
										= -20,6	= -97,5
		= 56,3										= 76,9
			427,7 − 0				=			179,7–207,4=	-27,7 –207,4
2
		2,38								= -27,7	= -235,1	0							0	0	235,1			27,7	-179,7
		=179,7
			− 65,9 − 0					=					298,4 +198,4					=
3												2,4
		2,38								-27,7	-27,7								0	-207	27,7			27,7	27,7
		= -27,7										207
				338,9 − 0						142,4–207,4=	-65-207,4 =	144,1 + 464										− 88,5 + 132,8
4																=							=
												2,4							46	-161,4	2,38			18,6	18,6
		2,38
										= -65	= -272,4
		==142,4
												= 253,4									= 18,6
	1+2	236								-48,3	-332,6	76,9							0	-76,9	332,6			48,3	-236
	1+3	28,6								-48,3	-125,2	283,9							0	-283,9	125,2			48,3	-28,6
	1+4	198,7								-85,6	-369,9	330,3							46	-238,3	116,1			39,2	-37,7
	Ординаты огибающей эпюры	236								-85,6	-369,9	330,3							46	-283,9	332,6			48,3	236
	поперечных сил Q

65

М11 = М110 - МВ /3 = 493,5 – 464/3 = 338,8 кН·м; М12 = М120 - 2·МВ /3 = 493,5 –2· 464/3 = 184,2 кН·м;

М21 = М210 – [МC +2·(МB - МC)/3] = 497,7 –[132,8 + 2·(464 – 132,8)/3] =144,1кН·м;

М22 = М220 – [МC +(МB - МC)/3] = 497,7 –[132,8 + (464 – 132,8)/3] =254,5 кН·м.

Вычисление ординат эпюр изгибающих моментов от возможных комбинаций нагрузок (1+2), (1+3), (1+4) приведено в табл. 4.1, а эпюры моментов для этих комбинаций показаны на рис. 4.3.

Расчет статически неопределимых железобетонных балок рекомендуется выполнять методом предельного равновесия с учетом перераспределения усилий вследствие развития неупругих деформаций бетона и арматуры.

Перераспределение моментов происходит за счет образования пластических шарниров в расчетных сечениях: шарниров, удерживающих определенные моменты, но допускающие поворот сечений.

Для того, чтобы образование пластического шарнира не сопровождалось хрупким разрушением бетона сжатой зоны до полного перераспределения изгибающих моментов, проценты армирования в расчетных сечениях должны быть ограничены, чтобы относительная высота сжатой зоны ξ = x/h0 ≤0,35;

конструкция не должна разрушаться под действием главных сжимающих напряжений; необходимо применять арматурные стали с площадкой текучести.

В целях ограничения раскрытия трещин в пластическом шарнире величина перераспределенного (уменьшенного) момента не должна отличаться от соответствующего момента, полученного из упругого расчета, более чем на

30%.

Возможные варианты перераспределения усилий в неразрезных балках с целью получения наибольшего технико-экономического эффекта могут быть различными.

Чтобы уменьшить величины изгибающих моментов в крайних и средних пролетах, к эпюре моментов от комбинации нагрузок, вызывающих наибольшие значения изгибающих моментов в пролетах добавляют

67

треугольные эпюры с отрицательными значениями опорных моментов. При этом пролетные моменты уменьшаются, опорные увеличиваются.

Для уменьшения опорных моментов к эпюре моментов от сочетания нагрузок, вызывающих наибольшие значения изгибающих моментов на опорах добавляют треугольные эпюры с положительными значениями опорных моментов. Ординаты треугольной эпюры суммируются с соответствующими ординатами эпюр перераспределяемых изгибающих моментов на опорах и смежных пролетах. При этом опорные моменты уменьшаются, пролетные моменты увеличиваются.

В неразрезных балках монолитного перекрытия целесообразно ослабить армирование опорных сечений, чтобы получить как экономический эффект

(снижение расхода арматуры), так и производственный эффект (уменьшение количества надопорной арматуры, чтобы облегчить укладку бетона).

В рассматриваемом примере перераспределение моментов вследствие неупругих деформаций целесообразно использовать для уменьшения (не более

30%) максимальных моментов на промежуточных опорах. Пределом рационального перераспределения следует считать такое уменьшение наибольшего изгибающего момента на опоре В, при котором изгибающие моменты в первом и во втором пролете от этой комбинации нагрузок будут примерно равны изгибающим моментам, полученным из расчета упругой системы при других комбинациях нагрузок.

Этим соображениям отвечает уменьшение опорного момента МВ = 611,9

кН· м на 183,6 кН· м (∆M=0,3·611,9=183,6 кН· м).

Тогда изгибающие моменты от комбинации нагрузок (1+4) будут равны:

МВ' = - 611,9 + 183,6= - 428,3 кН· м;

М11' = 472,9 + 183,6/3 = 534,1 кН· м < 564,7 кН· м; М12' = 269,8 + 2· 183,6/3= 392,2 кН· м < 446,7 кН· м; М21' = 181,2 + 2· 183,6/3= 303,6 кН· м < 335,5 кН· м;

М22' = 291,6 + 183,6/3= 352,8 кН· м.

68

Огибающие эпюры изгибающих моментов с учетом перераспределения вследствие пластических деформаций показаны на рис. 4.3.

Для четырех и пятипролетных балок используют дополнительные эпюры изгибающих моментов, понижающие значения опорных моментов на средних опорах (МС , МD) и увеличивающие значения пролетных моментов.

Перерезывающие силы у опор балки могут быть вычислены с помощью коэффициентов (табл. П.4.1. приложения 4). При отсутствии значений коэффициентов для вычисления перерезывающих сил последние можно определить воспользовавшись известным соотношением:

		Q	=	dM		= tgα	(4.3)
				dx
где:α - угол наклона к оси балки касательной в соответствующей точке
ветви эпюры моментов.
Для главных балок, при прямолинейном очертании ветвей эпюры М,
вычисление tg α осуществляется просто.
Пример 4.3 Определить Q в главной балке.
Пользуясь эпюрами М при загружении 1, находим:
на участке А-11	QA-11	= (134 – 0) / 2,38 = 56,3 кН;
на участке 11-12 Q11-12 = 56,3 – 76,9 = -20,6 кН;
на участке 12-В	Q12-В	= –20,6 – 76,9 = -97,5 кН;
на участке В-21	QВ-21	= [37,1 – (-147,9)] / 2,4 = 76,9 кН и т.д.
Аналогично определяют			поперечные силы при других				вариантах

загружения. Результаты определения поперечных сил при различных схемах загружения и различных комбинациях нагрузок сведены в табл. 4.2 и показаны на рис. 4.3.

Определение изгибающих моментов и перерезывающих сил в неразрезных балках при различных вариантах загружения может быть выполнено с помощью различных компьютерных программ, в частности программы ЭСПРИ

(«Электронный справочник инженера»), содержащий раздел «Статический расчет неразрезных балок».

69

Рис. 4.3. Эпюры моментов и поперечных сил от различных сочетаний нагрузок

70

Рис. 4.4. Перераспределение моментов, для сочетания загружений (1+4)

(а – исходная ЭМ; б – добавочная ЭМ; в - перераспределённая ЭМ)

71

Рис. 4.5. Огибающие эпюры моментов и поперечных сил

72