3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

мальная сила отталкивания, действующая на -частицу по закону Кулона, возросла бы в n2 раз. Следовательно, при достаточно большом значении n -частицы могли бы испытать рассеяние на большие углы вплоть до 180°. Эти соображения привели Резерфорда к выводу, что атом почти пустой, и весь его положительный заряд сосредоточен в малом объеме. Эту часть атома Резерфорд назвал атомным ядром. Так возникла ядерная модель атома. Рис. 163 иллюстрирует рассеяние-частицы в атоме Томсона (рис. 163, а) и в атоме Резерфорда

(рис. 163, б).

а	б

Рис. 163. Рассеяние α-частицы в атоме Томсона и в атоме Резерфорда

Таким образом, опыты Резерфорда и его сотрудников привели к выводу, что в центре атома находится плотное положительно заряженное ядро, диаметр которого не превышает 10–14–10–15 м. Это ядро занимает только 10–12 часть полного объема атома, но содержит весь положительный заряд и не менее 99,95 % его массы. Веществу, со-

ставляющему ядро атома, следовало приписать колоссальную плот-

ность порядка ρ ≈ 1015 г/см3. Заряд ядра должен быть равен суммарному заряду всех электронов, входящих в состав атома. Впоследст-

вии удалось установить, что если заряд электрона принять за единицу, то заряд ядра в точности равен номеру данного элемента в таблице Менделеева.

Выводы, следовавшие из опытов Резерфорда, заставляли многих ученых сомневаться в их справедливости. Не исключением был и сам Резерфорд, опубликовавший результаты своих исследований только через два года (в 1911 г.) после выполнения первых экспериментов. Опираясь на классические представления о движении микрочастиц, Резерфорд предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели, в

центре атома располагается положительно заряженное ядро, в ко-

221

тором сосредоточена почти вся масса атома. Атом в целом нейтрален. Вокруг ядра, подобно планетам, вращаются под действием кулоновских сил со стороны ядра электроны (рис. 164). На рис. 164 по-

казаны круговые орбиты четырех электронов. Находиться в состоянии покоя электроны не могут, так как они упали бы на ядро.

Рис. 164. Планетарная модель атома Резерфорда

Планетарная модель атома, явилась серьёзным скачком в развитии знаний о строении атома. Однако она оказалась неспособной объяснить сам факт длительного существования атома, то есть его устойчивость. По законам классической электродинамики, движущийся с ускорением заряд должен излучать электромагнитные волны, уносящие энергию. За короткое время (порядка 10–8 с) все электроны в атоме Резерфорда должны растратить всю свою энергию и упасть на ядро. То, что этого не происходит в устойчивых состояниях атома, показывает, что внутренние процессы в атоме не подчиняются классическим законам.

6.2. Квантовые постулаты Бора

Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Эта попытка оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн (рис. 165).

222

Первый шаг на пути разрешения противоречий между теорией и результатами эксперимента в физике атома был сделан датским физиком Нильсом Бором (1885–1962). Свои представления об особых свойствах атомов Бор сформулировал в 1913 году в виде постулатов, которым должна удовлетворять новая теория атомного строения.

Рис. 165. Неустойчивость классического атома

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

атомная система может находиться только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает.

Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию (рис. 166).

Рис. 166. Энергетические уровни атома и условное изображение процессов поглощения и испускания фотонов

223

Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии En < 0. При En ≥ 0 электрон удаляется от ядра (ионизация). Величина |E1| называется энергией ионизации. Состояние с энергией E1 называется

основным состоянием атома.

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией En в другое стационарное состояние с энергией Em излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний

h∙νnm = En – Em,			(368)
где h – постоянная Планка.
Отсюда можно выразить частоту излучения
nm	En Em	.	(369)
	h

Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона.

Следует отметить, что теория Бора полностью не отвергла законы классической физики при описании поведения атомных систем. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда была дополнена в теории Бора идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полуклассической.

6.3. Атом водорода. Линейчатые спектры

Простейший из атомов, атом водорода. Ко времени создания теории Бора атом водорода был хорошо изучен экспериментально. Он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Ещё в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в излучении атома водорода в видимой области (так называемый линейчатый спектр). Спектры излучения атомов – важнейшие характеристики их оптических свойств – состоят из отдельных линий или групп близкорасположенных линий. Каждому элементу присущ свой, характерный только для него, спектр излучения, подобный «отпечаткам пальцев», позволяющим определить элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от способа возбуждения атома.

224

К сожалению, модель атома Резерфорда не смогла объяснить наблюдаемые на опыте спектры атомов. Оптические спектры атомов не непрерывны, как это следует из теории Резерфорда, а состоят из узких спектральных линий. Это означает, что атомы излучают и поглощают электромагнитные волны лишь определённых частот, характерных для данного химического элемента.

Как уже было отмечено выше, наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения атома водорода.

Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра (таблица 25).

Таблица 25

Экспериментальный спектр излучения атома водорода

Область спектра	Название серии	Сериальная формула
Ультрафиолетовая	Серия Лаймана	1							1					n 2, 3, 4, ...
		R										;
				2				n		2
			1
Видимая	Серия Бальмера	1							1					n 3, 4, 5, ...
		R											;
			2		2				n	2
Инфракрасная		1							1					n 4, 5, 6, ...
	Серия Пашена	R											;
			2					n		2
			3
	Серия Брэкета	1							1					n 5, 6, 7, ...
		R											;
			4		2				n	2
		1							1					n 6, 7, 8, ...
	Серия Пфунда	R											;
			5		2				n	2
		1							1					n 7, 8, 9, ...
		R											;
	Серия Хэмфри		6		2				n	2

R = 3,29∙1015 c-1 – постоянная Ридберга.

В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий

	1			1
R						.	(370)
		2		n	2
m

В каждой данной серии m имеет постоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию); n принимает целочисленные значения, начиная с числа m + 1 (определяет отдельные линии данной серии).

225

Обобщённая формула Бальмера-Ридберга для длины волны имеет

вид

1

1

1

R

/

,

(371)

2

n

2

m

где R/

R / c 1,1 108 м-1; 1 / λ – волновое число.

Спектральную линию с наибольшей длиной волны из всех линий

серии

называют головной

линией

серии. Линия, соответствующая

n ,

– коротковолновая

граница.

К ней примыкает

непрерывный

спектр.

До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались непонятными.

Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии En.

Правило квантования, приводящее к правильным, согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, было угадано Бором. Бор предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде

m	r	n	h	(n 1, 2, 3, ...).	(372)
e	n		2

Здесь me – масса электрона, – его скорость, rn – радиус стационарной круговой орбиты. Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из вто-

	рого закона Ньютона (	e2			m 2		), определяется соотношением
					e
		4 o r2			r
	2			e2		,	(373)

4 o me r

где e – элементарный заряд, εо – электрическая постоянная. Скорость электрона и радиус стационарной орбиты rn связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением

226

r	o h2	n2 n2	4 o 2				(n 1, 2, 3, ...).			(374)
	m e2
n				m e2
	e				e
Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус
первой орбиты, который называется боровским радиусом, равен
		r1 ao			o h2		5,29 10	11	м.
					m e2
					e			пропорционально n2
Радиусы последующих				орбит возрастают
(рис. 167).

r1

r2=4r1

r3=9r1

r4=16r1

Рис. 167. Радиусы орбит в атоме водорода

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом rn, равна

E		E	E			m 2		e2
	n			p		e			.	(375)
		k				2		4 o rn

Следует отметить, что Ep < 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в эту формулу выражения для2 и rn, получим

	E			m e4		1	.	(376)
		n		e
				8 o2 h2		n2

Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома

главным квантовым числом.

Полная энергия электрона в атоме водорода

E 13,6 / n2 (эВ).

1 эВ = 1,6∙10-19 Дж.

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией En на другую стационарную орбиту с

227

энергией Em < En атом испускает квант света, частота νnm которого равна

Enm / h:

		E	nm		m e4				1			1
nm					e									.	(377)
		h			2	h	3			2		n	2
					8 o			m

Эта формула в точности совпадает с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если положить постоянную R равной

R	m e4
	e
	8 o2 h3 .	(378)

Подстановка числовых значений me, e, εо и h в эту формулу дает результат R = 3,29·1015 Гц, который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 168 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

На рис. 169 изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода (СЛ – серия Лаймана; СБ – серия Бальмера; СП – серия Пфунда) .

Серия

Лаймана

Серия

Бальмера

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

n = 5

n = 6

Серия

Пашена

Серия

Брэкета

Серия

Пфунда

Рис. 168. Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий

228

Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 170). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами.

Еп, эВ

0		n =

-0,85			n = 3
-1,51
	СП
-3,4			n = 2
	СБ

	-13,6		n = 1
		СЛ

Рис. 169. Диаграмма энергетических уровней атома водорода

В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн λ, то есть

n∙λn = 2π∙rn.

(379)

Подставляя в (379) длину волны де Бройля λ = h / p, где p = me∙ – импульс электрона, получим:

m r n		h	.	(380)
e	n	2

Таким образом, боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов.

229

Рис. 170. Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите (при n =1; 2; 3; 4)

Объяснения спектральных закономерностей теории Бора привели к пониманию того, что атомы – это квантовые системы. Энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Кроме того в тоже время было получено прямое экспериментальное доказательство существования стационарных состояний атома и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в 1913 году в опыте Д. Франка и Г. Герца. В этом опыте исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, то есть в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую энергию. Был сделан вывод, что атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние,

E2 – E1 = 4,9 эВ.

230