2003_МИРЗАДЖАНЗАДЕ А.Хи др.-Основы технологии добычи г / 5

Ò à á ë è ö à 5.12

			По критерию	Ассоциа-	Информа-	Абсолютное
						значение
	¹ ï/ï		Вилкинсона–	тивный ана-	тивность по
		Признак				весового
			Манна–Уитни	ëèç	Кульбаку
						коэффициента
	1	Начальное пластовое давле-	Информати-	Влияет	2,17	0,3470
		íèå, ÌÏà	âåí
	2	Суммарный отбор газа в пери-	Òî æå	Не влияет	1,27	0,4909
		од постоянной добычи, % от
		запасов
	3	Среднегодовой отбор газа в	Неинформа-	«	0,12	0,0669
		период постоянной добычи, %	тивен
		от запасов
	4	Суммарный отбор газа в пери-	Информати-	Влияет	1,61	0,4886
		од постоянной добычи, % от	âåí
		запасов
	5	Темп снижения годового от-	Òî æå	«	2,12	0,3750
		áîðà
	6	Срок разработки, отнесенный	Неинформа-	«	0,31	0,2722
		к начальным запасам,	тивен
		ãîä/ìëðä. ì3
	7	kh/µ	Òî æå	Не влияет	0,18	0,0777
	8	k/(mµ)	Информати-	«	0,59	0,0669
			âåí
	9	Sð/Sîáù	Òî æå	Влияет	0,71	0,3550
	10	r/Síà÷	«	–	1	0,1951
	11	Минимальное расстояние от	Неинформат	–	0,21	0,0543
		добывающих скважин до кон-	èâåí
		тура газоносности, м
	12	Начальные запасы, млрд м3	«	–	0,55	0,0530

степень важности каждого признака. При этом признаки, информативность которых меньше 0,5, рекомендуется не учитывать.

Аналогичным путем подсчитываются информативности всех признаков. Окончательно получаем диагностическую таблицу (см. табл. 5.10).

Корреляционный анализ устанавливает статистическую связь между исследуемыми параметрами с той или иной мерой тесноты линейной связи. По результатам расчетов строится нормированная корреляционная матрица для всех параметров (см. табл. 5.10). Из нее следует, что имеется связь между конечным коэффициентом газоотдачи и такими факторами, как k/(µm), накопленный отбор газа в период постоянной и падающей добычи, пластовое давление, срок разработки, суммарный отбор газа к началу падающей добычи.

Выбор факторов для прогнозирования газоотдачи. Включение всех выбранных 12 факторов в исходную информацию не только усложняет искомую модель, но и снижает точность прогнозирования. Последнее объясняется тем, что неинформативные (т.е. слабокоррелированные с βê) признаки становятся шумом, искажающим полезную информацию. Отбор признаков проводится с использованием четырех методов:

1)ассоциативного анализа;

2)применения непараметрического критерия Вилкинсона — Манна —

Уитни;

3)подсчета информативности по Кульбаку;

4)главных компонент.

В первых трех случаях для ранжирования признаков все объекты разделяются на два класса по уровню изменения βê и сравниваются статистические свойства каждого признака в отдельности. В случае применения метода главных компонент ранжирование признаков проводится по абсолютным ве-

493

личинам весовых коэффициентов в выражении для первой главной компоненты.

Результаты расчета, приведенные в табл. 5.12, показывают, что из 12 рассмотренных признаков наиболее информативны текущие коэффициенты газоотдачи, начальное пластовое давление, темп снижения годового отбора, а также некоторые другие факторы, характеризующие систему разработки и коллекторские свойства пласта.

5.11. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГАЗООТДАЧИ

При построении зависимости βê от геолого-промысловых факторов, как правило, надежную регрессионную зависимость получить не удается. Это связано, очевидно, с тем, что рассматриваемые признаки не являются независимыми. Кроме того, необходимо иметь в виду невысокую точность исходных данных, таких, как средняя проницаемость для залежи, средняя пористость и т.д.

В этих условиях эффективным средством для оценки газоотдачи могут служить методы распознавания образов. В общем виде задача распознавания образов применительно к оценке газоотдачи заключается в следующем. Имеется некоторое число объектов (месторождений), по которым известны: конечная газоотдача (исследуемый признак); параметры месторождения и показатели системы разработки (факторы). На некотором числе объектов в соответствии с выбранным алгоритмом распознавания необходимо по данным факторам нау- читься определять газоотдачу. Затем при появлении нового объекта с новым набором факторов дать прогноз: какова будет конечная газоотдача.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ К РАСПОЗНАВАНИЮ ОБРАЗОВ

Суть метода главных компонент состоит в выборе линейных комбинаций zk (x1, x2, … , xn), ãäå xi — набор признаков, описывающих данный объект (i, k = = 1, … , n), обладающих следующим свойством: вклад каждой главной компоненты в общую дисперсию исследуемого признака убывает от z1 ê zn. Обычно уже первые две-три главные компоненты обусловливают основную часть дисперсии. При этом объекты, близкие по значениям компонент вектора признаков (x1, x2, … , xn), образуют на диаграмме z1 — zn компактные группы точек. Это обстоятельство позволяет использовать метод главных компонент для решения задачи распознавания. В результате вычислений по методике, изложенной в гл. 1, получены следующие выражения для первых двух главных компонент:

z1 = –0,347x1 + 0,4909x2 + 0,0669x3 + 0,4836x4 – 0,0375x5 + 0,2722x6 +

+ 0,0777x7 + 0,0669x8 + 0,355x9 + 0,1951x10 + 0,0543x11 – 0,053x12;

z2 = –0,079 x1 – 0,44x2 – 0,162x3 + 0,0302x4 – 0,151x5 – 0,314x6 +

494

Рис. 5.15. Диаграмма z1 – z2.

Объект класса: 1 – À; 2 – Â

+ 0,3431x7 + 0,2898x8 – 0,064x9 – 0,287x10 + 0,5386x11 + 0,5131x12. (5.96)

На рис. 5.15 дана диаграмма z1 — zn, построенная по вычисленным значе- ниям первой и второй главных компонент. Для каждого из рассматриваемых объектов по набору признаков xi вычисляются значения z1 — zn и соответствующая точка наносится на диаграмму.

Видно, что объекты, входящие в класс А (βê > 0,85) и класс В (βê ≤ 0,85), образуют компактные группы точек. То, что объекты 40, 58, 60 попали в области не их класса, можно, вероятно, объяснить качеством исходных данных.

Подбирая уравнение для линии, разделяющей на плоскости области, соответствующие классам А и В, главные компоненты можно использовать для распознавания новых объектов. Для этого определяются координаты точки на диаграмме z1 — z2, относящейся к новому объекту. Затем, зная область, в которую попала эта точка, определяют соответствующее значение коэффициента газоотдачи.

495

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

Простейшие алгоритмы распознавания образов приведены в гл. 1. В данном случае i = 2 (классы А и В). При обработке данных в период обучения использовано по 16 объектов в каждом классе, т.е. m = 16. В экзаменуемую выборку вошли 24 объекта. В расчетах использовались лишь шесть наиболее информативных признаков (см. табл. 5.11). Путем подбора выбрано α = 0,01. Потенциальные функции запишутся в виде

				16		6	(x j	S	2
	KÀ(õ) =										;
				∑ exp −0,01		∑		− xA j )
				S =1		j =1
											(5.97)
				16		6	(x j	S	2
	KB(õ ) =
				∑ exp −0,01		∑		− xBj )		.
				S =1		j =1

В качестве примера приведем результаты расчетов для Пилюгинского месторождения (табл. 5.12). В результате получено KÀ (x) = 15,26, KÂ (x) = 14,2.

Следовательно, поскольку KÀ (x) > KÂ (x) , этот объект следует отнести к клас-

су А. Аналогичным образом были проверены остальные объекты. Результаты расчетов сведены в табл. 5.13.

		Ò à á ë è ö à		5.13
Выборка	Класс		Число объектов		Ответы, %
					правильные	ошибочные
Обучающая	À		16		75	25
	Â		16		81	19
Экзаменационная	À		24		71	29
	Â		0		–	–

Сравнительно большой процент ошибочных прогнозов, по всей видимости, связан с малым объемом выборки, неточностью определения коэффициента газоотдачи и недостаточной представительностью набора признаков.

ПРИМЕНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ДИАГНОСТИЧЕСКОЙ ПРОЦЕДУРЫ В ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

Сущность данного метода заключается в следующем. Пространство наблюдений (признаков) делится на три подпространства: õ1, õ2, õ0. Если вектор на-

блюдений x принадлежит подпространству õ1 (x õ1 ), то принимается гипоте-

çà Í1, которая в данном случае заключается в том, что данный объект принадлежит классу А. Если справедливо соотношение x õ2 , то делается вывод в

пользу альтернативной гипотезы Í2 о принадлежности рассматриваемого объекта к классу В. Область õ0 называется нулевой зоной или областью неопределенности.

496

Проверка гипотез проводится на каждом этапе наблюдений, т.е. при полу- чении очередного признака. Наблюдение, т.е. увеличение числа признаков, продолжается до тех пор, пока вектор x не попадет в одно из подпространств õ1

èëè õ2, после чего принимается соответствующая гипотеза.

В качестве примера рассмотрим процедуру распознавания на примере Пилюгинского месторождения. Величины ошибок первого и второго ряда примем равными α = β = 0,1. Тогда имеем:

10 lg 1 −β α ≈ +9, 10 lg 1 −α β ≈ −9.

Так как из 78 объектов 54 принадлежат классу А и 24 — классу В, то получаем

10 lg PP(A)(B) = 3,5.

Таким образом, решающее правило записывается в виде:

m

i< + 9.

i=1

Âсоответствии с диагностической таблицей имеем следующие градации для параметров и соответствующие им коэффициенты распознавания:∑

Значение признака	47	80	26,6	80	0,46	55,5	313	63	0,04	118	250	0,34
Номер градации	x2	x9	x6	x9	x4	x5	x2	x2	x1	x6	x3	x1
(верхний индекс)
Коэффциент распо-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
знавания .......................	+4	+8	–1	+7	+1	–1	0	–1	+3	+4	–1	+1

Используя первый признак, находим

−9 < 3,5 + λ12 = 3,5 + 4 < 9.

Далее:

−9 < 3 + λ12 + λ29 = 3,5 + 4 + 8 > 9,

следовательно, уже на втором шаге процедуры данный объект следует отнести к классу А.

Аналогичный анализ можно провести для всех остальных объектов. Результаты представлены ниже.

Класс ......................................................	À	Â
Число объектов.................................	54	24
Количество ответов, %
правильных....................................	65	59
ошибочных.....................................	2	4
неопределенных...........................	33	37

В заключение отметим, что выбор величин α и β можно определять, исходя из наилучшего распознавания на объектах обучающей выборки.

497

5.12.ВЫБОР УРОВНЯ ОТБОРА ГАЗА

ВУСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

ОЗАПАСАХ ГАЗА

Определение оптимальных уровней отборов газа из месторождения — одна из основных задач газовой промышленности. Термин «оптимальный» подразумевает наличие одного или нескольких критериев оптимальности, в качестве которых используют максимум газоотдачи, минимум приведенных затрат и др. В соответствии с этим выбирают схему и определяют технологические показатели разработки. Принятие решения обосновывается на имеющемся объеме информации о свойствах пластовой системы, стоимостных показателях, техниче- ских возможностях и т.п. На этапе проектирования всегда имеется некоторая неопределенность [приближенно известны запасы месторождения, коллекторские свойства (проницаемость, пористость), свойства газа и т.д.], которая, в свою очередь, при выборе определенного метода разработки определяет разброс коэффициента газоотдачи и извлекаемых запасов. Таким образом, зная погрешность исходных данных, можно оценить погрешность подлежащих определению показателей. На первый взгляд кажется, что таким образом можно получить приемлемое решение с определенной степенью точности. Однако на практике ситуация значительно сложнее. Оказывается, что неопределенность исходных данных сказывается не только на точности расчетных показателей, но и на их значениях. Иными словами, степень неопределенности является фактором, влияющим на определение параметров разработки.

Оценка кондиционности открытых месторождений газа и выработка основных концепций их обустройства уже на ранней стадии освоения по первым поисковым и разведочным скважинам являются важной народнохозяйственной задачей, приобретающей первостепенное значение для залежей углеводородов на континентальном шельфе. Это объясняется в первую очередь высокими капитальными вложениями в морские геологоразведочные работы и спецификой обустройства морских объектов. Если для месторождений суши основные элементы концепции обустройства и разработки, такие, как уровни стабильной добычи углеводородов, мощности системы ППД, компрессорного хозяйства и другие, могут изменяться в процессе пробной и опытно-промышленной эксплуатации различных объектов разработки, то для морских месторождений вносить аналогичные коррективы в первоначальный проект значительно сложнее. Для этого необходимо строительство новых морских стационарных платформ (МСП), подводных трубопроводов и других дорогостоящих объектов, поскольку область дренирования уже построенных гидротехнических сооружений для бурения добывающих скважин и добычи углеводородов ограничена технологическими требованиями к проводке наклонно направленных скважин и их числу на МСП.

Цель настоящего раздела — обсуждение основного принципа составления технологических схем и проектов разработки и обустройства месторождений в условиях неопределенности оценок запасов углеводородов, выбора стратегии при применении методов повышения газоотдачи, а также определения требований к необходимой степени разведанности месторождений. Этот принцип заключается в том, что при значительной дисперсии возможных запасов месторождения планируемое обустройство необходимо ориентировать на завышенные (стратегия оптимизма) и заниженные (стратегия пессимизма) по сравне-

498

нию со средними значениями уровни добычи и соответствующие капитальные вложения в обустройство и эксплуатационное бурение в зависимости от некоторых характерных времен разработки месторождения. В дальнейшем будет показано, что стратегия оптимизма (или стратегия большего риска) более оправдана для небольших месторождений, в то время как стратегии пессимизма (стратегии меньшего риска) следует отдавать предпочтение при освоении крупных месторождений. С этой целью в разделе рассматриваются некоторые модели разработки месторождения, которые, с одной стороны, достаточно содержательны, чтобы отразить некоторые важнейшие технико-экономические особенности процесса, а с другой — наглядны и доступны математическому анализу. Прежде чем приступить к их непосредственному изложению, напомним некоторые факты из области выпуклого анализа.

Функция f(x) называется выпуклой, если для любых положительных λ1 è λ2, таких, при которых λ1 + λ2 = 1, справедливо неравенство

f (λ1x + λ2 y) ≤ λ1 f (x) + λ2 f (y).

(5.98)

Это свойство выпуклых функций можно обобщить на произвольное число положительных чисел λi, сумма которых равна единице, и, наконец, на непрерывный случай:

∞		≤	∞	(5.99)
f ∫	xϕ(x )		∫ ϕ(x ) f (x )dx,
−∞			−∞

åñëè

∞

ϕ(x) ≥ 0 è ∫ ϕ(x)dx = 1.

−∞

Последнее неравенство можно интерпретировать и в вероятностностатистическом смысле, а именно: математическое ожидание выпуклой функции случайного аргумента всегда больше или равно значению функции в средней точке. Именно на этом свойстве выпуклых функций базируются последующие математические выкладки и выводы технологического характера.

Вогнутыми называются функции, для которых справедливы обратные неравенства. Для дифференцируемых функций свойство выпуклости или вогнутости определяется знаком второй производной.

МОДЕЛЬ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМ УРОВНЕМ ДОБЫЧИ УГЛЕВОДОРОДОВ

Рассмотрим упрощенную математическую модель, описывающую разработку газового месторождения, достаточно однородного как по толщине, так и по простиранию, когда процесс обводнения скважин происходит на поздней стадии разработки и носит лавинообразный характер. В этом случае уровни добычи углеводородов практически за весь период эксплуатации месторождения можно считать неизменными, и народнохозяйственный эффект (НХЭ) можно определить по формуле

		z0	T
	R =		∫e−αt (Cq − Ý(q))dt − K (q),	(5.100)
		q
	0
				499

ãäå z0 — извлекаемые запасы газа; q — средний за период разработки уровень добычи; α — коэффициент дисконтирования по времени, принимаемый равным ≈ 0,07; Ñ — замыкающие затраты на углеводороды; Ý — годовые эксплуатационные затраты без учета амортизации на реновацию основных фондов; Ê — суммарные капитальные вложения.

В рассматриваемой модели принимается, что основные капитальные вложения осуществляются в начальной стадии освоения месторождения и дисконтирование их по времени не проводится. Как правило, зависимости капитальных вложений от уровня стабильной добычи описываются выпуклыми функциями (т.е. Êqq ≥ 0) среднегодовых отборов газа, поскольку для основного фактора, определяющего темпы разработки месторождения — числа скважин, пробуренных на площади, — увеличение суммарной добычи вследствие интерференции происходит медленнее, чем рост фонда скважин и соответствующих капитальных вложений. В дальнейшем будем считать для простоты эксплуатационные затраты пропорциональными объемам годовой добычи углеводородов:

Ý(q) = Ý0q.

(5.101)

Проинтегрировав по времени правую часть выражения (5.100), получим:

	α	(			)
	(C − Ý0 )q		-αz0	q
R =		1 − e				− K(q).	(5.102)

Можно показать, что выражение q(1 − e−αz0 q ) является вогнутой функцией

переменной q и величина НХЭ при выполнении сделанных предположений о выпуклости зависимости K(q) имеет единственный максимум q . Оптимальный уровень добычи q удовлетворяет уравнению

R′ =

C − Ý0

− K′(q )

−

C −

Ý0

F(q , z),

(5.103)

q

α

α

ãäå

α

F(q , z) = e−αzt q

+

z e−αz0 q .

(5.104)

q

0

Рассмотрим теперь, как изменяется оптимальная добыча q , если извлекаемые запасы z являются случайной величиной с тем же средним значением. Принимая в качестве критерия оптимизации математическое ожидание НХЭ MzR(q, z) и пользуясь перестановочностью операций математического ожидания и дифференцирования по неслучайному параметру, определим знак производ-

íîé ddq MzR (q , z) в точке, доставляющей максимум целевой функции в детерминированном случае.

d

C − Ý0

′

C −

Ý0

MzR(q

, z) =

− K (q )

−

Ìz F(q

, z).

(5.105)

dq

α

α

Вычитая почленно равенства (5.103) из (5.102), получаем:

d	M R(q , z) =	C − Ý0	F(q , z ) − Ì			F (q , z ) .	(5.106)
dq	z	α		0	z	0

Определим интервал изменения переменной z, где функция F (q , z) ÿâëÿ-

500

ется выпуклой или вогнутой. Продифференцируем (6.106) дважды по z. Анализируя знак второй производной Fzz′′, получаем:

F ′′	> 0	ïðè z/q < 1/α; F ′′	< 0 ïðè z/q < 1/α.	(5.107)
zz		zz

Предположим, что плотность распределения случайной величины z отлич- на от нуля на интервале [zmin, zmax]. Определим минимальное, среднее и максимальное характерное время разработки. Тогда величину НХЭ можно записать следующим образом:

∞
R = ∫ (C − Ý0 )qe-γt e-αt dt − K(q).	(5.108)

−∞

Аналогично предыдущему для определения оптимальной добычи q , обеспечивающей максимум НХЭ в детерминированном случае, получим уравнение:

R =	(C − Ý0 )q			− K(q),				(5.109)
	λ + q		z0
R′ = λ(C − Ý ) z2			(λz		0	+ q )2	− K′(q ).	(5.110)
	0	0

Обозначим Ф(z) = z2/(λz + q )2.

Для определения тенденции смещения оптимальной добычи при условии неопределенности в оценке запасов месторождения рассмотрим, как и ранее, выражение

d		M	R(z, q ) = λ(C − Ý )	Ì	Ô(z, q ) − Ô(z	, q ) .	(5.111)
	*
dq		z	0	z	0

Нетрудно проверить, что условия выпуклости и вогнутости по z функции Ф(z, q ) в данном случае имеют вид:

Ô′′zz (q ) > 0, z q < 1 (2α); Ô′′zz (q ) < 0, z q > 1 (2α).		(5.112)
Это означает, что при
Tmax* = zmax q < 1 (2α),	dqd * Mz R(z, q ) > 0

и, следовательно, оптимальный уровень добычи для условий неопределенности в оценках запасов выше соответствующего значения в детерминированном слу-

чае. Аналогично при Tmin* = zmin q > 1(2α) планирование следует осуществлять

для заниженных годовых отборов газа.

Затем, что для рассмотренных моделей существует область возможного компромисса в принятии решений, когда характер выпуклости функции Ф и F на интервалах возможных значений запасов может изменяться. В этих случаях оптимальные уровни добычи, найденные для условий вероятностных оценок, близки к детерминированному случаю и все расчеты допустимо проводить для средних значений прогнозируемых величин. При этом, однако, следует отметить еще одно очень важное обстоятельство. Какова бы ни была принятая система планирования и проектирования освоения месторождения в условиях не-

501

определенности прогнозных оценок запасов (оптимистическая, пессимистиче- ская или компромиссная), математическое ожидание народнохозяйственного эффекта всегда меньше, чем соответствующая оценка для средних величин. Указанный факт следует из вогнутости по переменной z выражений для НХЭ (5.102) и (5.109). В связи с этим возникает вопрос о необходимом уровне разведанности объектов освоения, при котором следует начинать обустройство месторождения и добычу углеводородов.

ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКОВ И ОБЪЕМОВ ПОИСКОВО-РАЗВЕДОЧНЫХ РАБОТ

После завершения очередного этапа поисково-разведочных работ можно получить интервальную оценку и плотность распределения вероятностей извлекаемых запасов для разведуемого месторождения ϕ(z), zmin ≤ z ≤ zmax.

Предположим, что необходимо решить вопрос о целесообразности проведения дальнейших разведочных работ на площади, в результате которых будет получена апостериорная плотность распределения вероятностей запасов

ϕ(z, z0 , σ) с меньшей, чем на предыдущем шаге, дисперсией σ$. Апостериорное

среднее значение запасов z0 , вообще говоря, может быть как больше, так и меньше полученной на текущем этапе разведки оценки z0.

Åñëè z$0 рассматривать как случайную величину с плотностью распределения g (z$0 ), то для ее определения, пользуясь принципом Байеса, можно полу- чить следующее интегральное уравнение:

∞	$ $	$ $		(5.113)
ϕ(z) = ∫	ϕ(z, z0 )g(z0 )d z0 .
0
		$	$	$	ÿâ-
Пусть плотности распределения вероятностей ϕ (z, z0, σ) è ϕ(z, z0				, σ)

ляются двухпараметрическими зависимостями с величиной апостериорной дисперсии σ$, монотонно убывающей с ростом объема, и, следовательно, капитальных вложений в геологоразведочные работы, σ = σ(Kp), σ(0) = σ.

В этом случае вариант освоения месторождения и, в частности, оптимальный уровень добычи q$ можно выбрать в зависимости от результатов дополнительной разведки месторождения, т.е. в рамках данной формализации как функцию случайного параметра z$0: q$ = q$(z$0 ) . Здесь q$ = q$(z$0 ) — оптимальный уровень добычи при условии реализации плотности распределения вероятностей запасов ϕ$(z, z$0 , σ$) .

Покажем, что математическое ожидание апостериорного народнохозяйственного эффекта Mz0 , z R(q1, z1, z0) всегда больше, чем соответствующее априор-

ное значение MzR(q , z), ãäå q — определенная на текущем этапе оптимальная добыча, соответствующая плотности распределения вероятностей запасов ϕ (z, z0, σ). Действительно,

502