3.ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

7.Принимаем решение: поскольку значение статистики (0,581 > 0,560) попало в критическую область – нулевая гипотеза отвергается, и в качестве рабочей принимается альтернативная, т.е. значение 1080 с вероятностью 0,95 и по критерию Диксона можно считать грубой погрешностью.

Заметим, однако, как и по критерию Н.В. Смирнова, высказать подобное утверждение с вероятностью 0,99 по критерию Диксона мы не имеем права, посколь-

ку по таблицам (r10) 0,01;6 = 0,698.

3.5. Сравнение двух рядов наблюдений

При проведении и анализе результатов экспериментальных исследований часто приходится сравнивать две партии изделий, показания двух или не-

скольких приборов, анализировать результаты работы однотипных агрегатов, сравнивать результаты исследований двух проб материалов и т.д. Вот некоторые примеры подобных ситуаций.

1. Необходимо сравнить показания двух приборов, измеряющих одну и ту же величину, когда этими рабочими средствами измерений получено два ряда наблюдений данной величины. Одинакова ли точность измерения одного и того же технологического параметра разными приборами?

2.Требуется поверить рабочее средство измерения (т.е. определить, не выходят ли погрешности его измерений за пределы регламентированных значений) с помощью образцового средства измерения. Равно ли математическое ожидание показаний данного прибора действительному значению измеряемого параметра?

3.Два агрегата выпускают одну и ту же продукцию. Необходимо сделать

вывод о том, какой из них лучше или хуже в каком-либо смысле.

Решение подобных задач осуществляется также с использованием аппа-

рата проверки статистических гипотез. Ведь если нам необходимо было бы сравнить две случайные величины X и Y, имеющие нормальное распределе-

ние, при известных их математических ожиданиях и дисперсиях Mx; σx2 и My;

σy2, то вопрос, очевидно, решался бы достаточно просто. Две случайные вели-

80

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

чины с нормальным распределением равны между собой (имеют одинаковое распределение, т.е. имеют одну и ту же функцию распределения F(X) = F(Y) или плотность распределения f(X) = f(Y)), когда равны между собой их математические ожидания (Mx = My) и дисперсии (σx2 = σy2), поскольку только эти два параметра полностью определяют нормальное (двухпараметрическое) распре-

деление (см. (2.12) или (2.21)).

Однако, как это уже неоднократно ранее отмечалось, любой из параметров распределения случайной величины Θ может быть найден лишь по всей генеральной совокупности, т.е. только теоретически при проведении бесконечно большого количества опытов. Практически, по выборке ограниченного объема, исследователь может определить только приближенное значение параметра – его оценку Θ*. При этом вероятность того, что оценка Θ* совпадет со зна-

чением оцениваемого параметра Θ, очень мала. Следовательно, даже если равны между собой параметры распределений двух случайных величин (Θx =

Θy ), то их оценки скорее всего не будут одинаковыми (Θx* ≠ Θy*).

Поэтому при сравнении двух случайных величин обычно приходится высказывать и проверять нулевую гипотезу Н0: Θx = Θy, при альтернативных гипо-

тезах типа Н1(1): Θx < Θy или Н1(2): Θx > Θy. Н1(3): Θx ≠ Θy,

3.5.1. Сравнение двух дисперсий

При выполнении измерений в различных условиях часто возникает задача сравнения степени разброса (дисперсий) исследуемых параметров (случайных величин).

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий имеет большое значение, так

как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие исключи-

тельно важные показатели, как точность машин, приборов, стабильность технологических процессов, качество готовой продукции и т.д. Поэтому, например, о преимуществах той или иной технологии или о качестве выпускаемой продук-

ции вывод можно часто сделать в результате сравнения дисперсий тех параметров, которые их характеризуют.

81

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Таким образом, требуется установить, являются ли выборочные дисперсии S12 ≠ S22 со степенями свободы m1 и m2 значимо отличающимися или же они характеризуют выборки, взятые из одной и той же генеральной совокупности или из генеральных совокупностей с равными дисперсиями (σ12 = σ22 = σ2).

В этом случае нулевая гипотеза формулируется в виде H0: σ12 = σ22= σ2 , т.е. между двумя генеральными дисперсиями различия нет при заданном уровне значимости α.

Для проверки этой гипотезы используется критерий, основанный на распределении Фишера, зависящем только от числа степеней свободы m1 и m2. Аналитическое выражение критерия Фишера имеет вид

F=(S12 /σ12 )/( S22 /σ22 ) = (S12 /S22 )/(σ22 /σ12 ).

(3.44а)

Плотность распределения величины Fm1, m2 , представленная на рис. 3.7,

есть функция

			m		+ m			m			m	1	2	m		1
						2											−1
		Г		1					1				F		2
					2
								m2										при F ≥ 0;
										m F (m1 +m2 )/ 2									(3.44б)
f (F) =		m			m				+
	Г		1	Г			2	1			1
		2			2
										m2
			при		F < 0.
0

Надо иметь в виду, что скорость возрастания и убывания функции, а также величина и положение максимума зависят от параметров m1 и m2.

Соответствующая функция распределения величины Fm1, m2 определяется через плотность распределения

F(F) = ∫F	f (ξ)dξ.	(3.44в)
−∞

Существуют статистические таблицы как с табулированными значениями

функции распределения Фишера для принятого уровня значимости, так и с табулированными значениями квантилей этого распределения (см. табл. П.4 и

П.5).

82

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

		а
f(F)
1,0		m2=∞	m1=20

0,8	m2=25
0,6	m2=10

0,4

0,2

0

1

2

F

б

F(F)

m2=∞ m2=25

1,0

0,8												m2=10
0,6													m1=20
0,4
0,2
0				1		2		3		4	5		6		7	F

Рис. 3.7. Плотность (а) и функция (б) F-распределения (частный случай при m1=20

Поскольку по условию нуль–гипотезы σ12 = σ22, то выражение можно представить как отношение выборочных дисперсий

F=S12 /S22 ,

где S12 > S22 .

83

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Если при проверке нулевой гипотезы H0: σ12 = σ22 = σ2 альтернативной является гипотеза H1(1): σ12 > σ22, то применяют одностороннее неравенство

F=S12 /S22 > Fα,m1,m2.

Для альтернативной гипотезы H1(2): σ12 ≠ σ22, когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно, различие между дисперсиями считают значимым, если выполняется условие

F=S12 /S22 > F(α/2),m1,m2.

Таким образом, алгоритм решения задачи сводится к следующему.

Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объемом n1 и n2 из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки дисперсий S12 и S22, причем S12 > S22. Требуется проверить предположение (нулевую

гипотезу Н0) о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями.

В соответствии с общим алгоритмом проверки любой статистической гипотезы:

1.Н0: σ12 = σ22 = σ2.

2.Возможно два варианта альтернативной гипотезы:

Н1(1): σ12 ≠ σ22;

Н1(2): σ12 > σ22.

Предположить вариант альтернативной гипотезы Н1(3) : σ12 < σ22, конечно же, возможно, но вряд ли целесообразно при условии, что S12 > S22..

3. Используется F-критерий (критерий Фишера) – это отношение двух диспер-

сий (большей к меньшей), F - статистика поэтому имеет вид

S 2

F = 1. , (3.45)

S22

где S12 > S22.

Очевидно, что значения F всегда больше единицы.

4. Выбирается уровень значимости α.

84

3.ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

5.Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F - распределения (см. [11] или табл. П.4, П.5, а в Microsoft Excel для этого используется функция FРАСПОБР) для числа степеней свободы m1 = n1 -1 и m2 = n2 - 1 и уровня значимости

•при альтернативной гипотезе Н1(1): σ12 ≠ σ22 уровень значимости равен

α/2 и критическая область определяется соотношением F > F(α / 2),m1 ,m2 ;

•при альтернативной гипотезе Н1(2): σ12 > σ22 уровень значимости равен α и критическая область определяется соотношением F > Fα,m1 ,m2 .

6.Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что σ12 = σ22 = σ2 при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез):

•	F ≤ F		при Н1(1) σ12 ≠ σ22;
	(α / 2),m ,m		2
		1
•	F ≤ F		при Н1(2): σ12 > σ22.
	α,m ,m	2
	1

В случае подтверждения нулевой гипотезы, по двум выборочным дис-

персиям производят оценку общей генеральной дисперсии σ2

S 2 =	(n	−1)S 2	+ (n		2	−1)S 2	,	(3.46)
	1	1				2
		n1 + n2		− 2

которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных.

Проиллюстрируем применение критерия Фишера на следующем приме-

ре.

Пример 3.4. Проводятся измерения одной и той же физической величи-

ны (температуры, давления, состава газа и т.п.). Первым (старым) измеритель-

ным прибором выполнено 200 измерений, которые дали выборочную дисперсию S12 = 3,82, а вторым (новым) сделано только 15 измерений при выборочной дисперсии S22 = 2,00. Можно ли считать, что разброс в показаниях нового прибора существенно ниже, чем у старого?

1. Сформулируем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий Н0: σ12 =σ22 =

σ2.

2. Выберем альтернативную ей гипотезу Н1: σ12 > σ22.

85