5.ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

−значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозможно.

Впервом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов.

Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины x. Этот выход является единственно возможным и для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При вы-

боре другого метода измерений меняется вид функции y)=f(X), а следователь-

но, меняются аргументы и значения их погрешностей.

Пример 5.2. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d=20 мм и высотой h=50 мм с относительной погрешностью ∆V*=0,01. Найдем погрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена.

Учитывая, что объем цилиндра				V =	πd2h		и приняв закон распределения нор-
						4
мальным, с помощью соотношения (5.16) найдем
∆d = ±	∆*V	1	= ±	∆*V d		= ±0,07 мм;
	2	∂ln(πd2h / 4)		2 2
		∂ d
∆h = ±	∆*V	1	= ±	∆*V h = ±0,035 мм.
	2	∂ln(πd2h / 4)		2

∂ h

5.3.Определение наивыгоднейших условий эксперимента

Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для

которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение.

154

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5)[2].

Условия экстремума погрешности ∆Σ* имеют вид

	∂ ∆*Σ	= 0;	∂ ∆*Σ	= 0; ...;	∂ ∆*Σ	= 0.	(5.18)
	∂ x1		∂ x 2		∂ x k

Раскрывая величину ∆Σ* в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), систему уравнений (5.18) можно представить в форме

∂ln(f )

∂2 ln(f )

2

∂ln(f )

∂2 ln(f )

∂ x1

∂ x12

∆x1

+

∂ x 2

∂ x1∂ x 2

∂2 ln(f )

∂ln(f ) ∂2 ln(f )

∂ln(f )

∆x1

2

+

2

∂ x

∂ x ∂ x

∂ x

1

2

2

∂ x 2

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ln(f )

∂2 ln(f )

2

∂ln(f ) ∂2 ln(f )

∆x1

+

∂ x1

∂ x1∂ x n

∂ x 2 ∂ x n2

∆x 22 + ... = 0;

∆x 2	2 + ... = 0;	(5.19)

∆x 22 + ... = 0.

Система (5.19) состоит из n уравнений и содержит n неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величин x1, x2, ..., xn, при которых погрешность ∆Σ* принимает экстремальное значение.

Дальнейший анализ направлен на получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины ∆Σ*. С этой целью вычисляются зна-

чения вторых производных ∂2∆*Σ при найденных значениях переменных xi.

∂ xi2

Если вторые производные окажутся положительными, то это соответст-

вует минимуму величины ∆Σ*.

155

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Контрольные вопросы

1.Что такое погрешность определения величин функций?

2.С какой целью рассчитывают погрешность?

3.Какие виды погрешностей вы знаете? Как они определяются?

4.В чем заключается цель решения обратной задачи теории экспериментальных погрешностей?

5.Что понимают под выражением «наивыгоднейшие условия проведения эксперимента»?

6.Какова основная идея математического решения задачи поиска наивы-

годнейших условий проведения эксперимента?

156