Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физматлит, 2001. - §§ 5.1, 5.2, 5.4, приложение 3.

2. Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 1. - §§ 26 - 28, 31 - 33.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. -

§§ 3.12, 5.3, 5.4, 5.6.

Приложение Уравнение моментов относительно оси

Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точкиО к точке приложения силы, на силу

. (П1)

Аналогично моментом импульса материальной точки m относительно точки О называется векторное произведение

. (П2)

Установим связь между моментом силы и моментом импульсадля случая, когда точкаО неподвижна. Производная по времени от момента импульса частицы равна

. (П3)

Так как , то первое слагаемое в (П3) равно нулю:

.

Согласно (П1) второе слагаемое в (П3) можно представить в виде

. (П4)

Подставив (П4) в (П3), получим уравнение моментов относительно точки О:

. (П5)

Рассмотрим систему материальных точек. Запишем уравнение (П5) для каждой материальной точки, с учетом, что на нее действуют как внутренние, так и внешние силы, и сложим эти уравнения

. (П6)

В силу третьего закона Ньютона сумма моментов внутренних сил равна нулю, и уравнение (П6) принимает вид:

, (П7)

где - сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Уравнение (П7) справедливо для любой материальной системы, в том числе и для абсолютно твердого тела, так как абсолютно твердым называется тело, состоящее из большого числа материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения остается неизменным.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси ZZ (рис.П1). Пусть на тело действует сила , точка приложения которой относительно начала отсчетаО определяется вектором .

Рис.П1. Разложение силы на три взаимно перпендикулярных

вектора и

Момент силы относительно точки О равен

. (П8)

Так как векторы иможно представить в виде

, ,

уравнение (П8) принимает вид:

.

Из рис.П1 видно, что первое и последнее векторные произведения равны нулю, а направления векторов, представляющих второе, третье и пятое векторные произведения, перпендикулярны оси вращения ZZ. Таким образом, проекция момента силы на ось ZZ определяется тангенциальной составляющей силы и ее ″плечом″

.

Уравнение динамики (П7) твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ZZ, можно записать в виде

,

где - проекция момента импульса на ось вращения.

Для нахождения воспользуемся определением момента импульса (П2) и применим его к твердому телу

,

или в проекции на ось ZZ

.

51