4. 8. Система дифференциальных уравнений геодезической линии
На рисунке 4. 5 имеем полярный сфероидический треугольник PTK,
|
T
Рис. 4. 5 |
у которого Р – полюс, T и K – бесконечно близкие друг другу точки, соединенные элементарной дугой геодезической линии dS, проходящей через точку T в азимуте А. Через точку К ( широта которой равна В ) проведем параллель, которая пересечет меридиан точки Т в некоторой точке С. Рассмотрим элементарный прямоугольный треугольник ТСК у которого все стороны будут бесконечно малы потому, что гипотенуза dS по условию бесконечно мала. Этот треугольник решаем как плоский прямоугольный, при этом будем иметь в виду, что элементарная РЗ |
дуга меридиана ТС равна M dB, а параллели СК - rdL, где d L – разность долгот точек К и Т. В результате можем записать.
M dB = dS cos A; r dL = dS sin A , (4 . 37 )
откуда получаем дифференциальные зависимости
(
4. 38 )
Обратимся теперь к треугольнику РTК. Не смотря на то, что одна из его сторон TК бесконечно мала, стороны РT и РК могут достигать значительных величин, зависящих от значения широты точки Т. В этом случае мы можем рассматривать его как сферический и решать по формулам сферической тригонометрии. Рассмотрим элементы этого треугольника. Угол при вершине Р равен dL, при вершине T – азимут А, сторона РТ выражается на сфере единичного радиуса как ( / 2 - В). Угол этого треугольника при вершине К можем определить как ( - А – d A ), так как азимут геодезической линии в точке К равен (A + dA).
Применяя теорему косинуса угла для решения сферического треугольника РТК, имеем
Применяя формулу для косинуса суммы и разлагая синусы и косинусы бесконечно малых аргументов в ряд и ограничиваясь первыми членами разложений, получим дифференциальное уравнение
,
в котором выражаем dL из второго уравнения ( 4. 38 ) в функции dA и запишем систему трех дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида в виде
(
4. 39 )
4. 9. Уравнение Клеро для геодезической линии
Система дифференциальных уравнений ( 4. 39 ) имеет очень большое значение. Оно лежит в основе решения задач сфероидической геодезии при определении связи между полярными координатами A и S и параметрическими координатами B и L на поверхности земного эллипсоида. Решение этих задач производится по формулам, следующим из интегрирования системы ( 4. 39 ).
Французский математик и геодезист Клеро в 1773 году взял первый интеграл системы вида ( 4. 39 ), описывающей геодезические линии на поверхностях вращения. Полученное уравнение в математике носит название уравнение Клеро для геодезических линий на поверхностях вращения.
Для вывода этого уравнения на поверхности земного эллипсоида перейдем в системе ( 4. 39 ) от геодезической широты В к приведенной широте u по ранее полученной формуле ( 3. 9 ) и формулам, следуемым из нее:
;
с учетом этого система ( 4. 39 ) примет вид
(
4. 40 )
Разделив третье уравнение этой системы на первое, получим после очевидных преобразований
Интегрируя полученное уравнение, приходим к уравнению
,
откуда получаем уравнение Клеро для геодезической линии на поверхности земного эллипсоида
sinAcosu = c ( 4. 41 )
Данное уравнение носит название теоремы Клеро, согласно которой произведение синуса азимута на косинус приведенной широты в каждой точке геодезической линии – величина постоянная.
Заметим геометрический смысл постоянной с в уравнении ( 4. 41 ). Полагая u = 0 ( экваториальная точка ), имеем c = sinA0; при А=900 ( наиболее удаленная от экватора точка – точка вертекса ) имеем c = cos uВ.
При использовании уравнения ( 4. 41 ) для вычислений широты по азимуту и наоборот заметим уравнение связи широт, следуемое из ( 3. 9 )
Если речь идет о двух фиксированных точках на поверхности эллипсоида, то справедливо будет уравнение связи
