2. Координатные линии на поверхности эллипсоида
Как уже отмечалось ранее, координатными линиями на поверхности земного эллипсоида являются меридианы и параллели, уравнения которых могут быть получены из уравнения ( 4. 6 ), учитывая ( 4. 5 ). Полагая L = const, dL = 0, получим уравнение меридиана в функции геодезической и приведенной широты
(
4. 7 )
И для параллели получим аналогично при условии B = const, dB = 0
(
4. 8 )
В выражении ( 4. 7 ) и в последующем мы используем принятое в геодезии обозначение функции V. Эта величина носит название второй основной функции широты и имеет следующие выражения.
(
4. 9 )
Сравнивая выражения ( 4. 6 ), ( 4. 7 ) и ( 4. 8 ) , замечаем, что величина M выражает радиус кривизны меридиана, а r – параллели.
Учитывая изложенное, заметим, что меридианы и параллели земного эллипсоида представляют собой плоские сечения. При этом меридианы – нормальные сечения, состоящие сплошь из геодезических точек, следовательно, они являются также геодезическими линиями. Заметим, что геодезические линии эллипсоида, проходящие в произвольном азимуте, не являются плоскими кривыми. Меридиан является исключением. Параллели земного эллипсоида являются наклонными по отношению к нормали плоскими сечениями. Более того, выражая радиус параллели r через радиус первого вертикала N ( 3. 16 ), замечаем угол наклона плоскости параллели к нормали , которая лежит в плоскости первого вертикала, равный геодезической широте В.
(
4. 10 )
При этом уравнение вида ( 4. 10 ) устанавливает связь между радиусами кривизны наклонных и нормальных плоских сечений и выражает теорему Менье.
Можно отметить, что параллель наибольшего радиуса ( экватор ) является нормальным сечением и геодезической линией.
В теории поверхностей координатные сетки в виде меридианов и параллелей, когда одна координатная линия является геодезической, а другая негеодезическая, называют полугеодезическими.
4. 3. Главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида.
Из теории поверхностей известно, что в каждой точке поверхность имеет различную кривизну, зависящую как от координат данной точки, так и направления. Другими словами, если в данной точке поверхности провести нормальные сечения, то радиус их кривизны будет зависеть от направления ( азимута ). При этом на любой поверхности всегда можно выбрать такие два направления, вдоль которых будет иметь место наибольший и наименьший радиусы ее кривизны. Такие направления на поверхности называют главными, а радиусы кривизны нормальных сечений, проходящих вдоль этих направлений называют главными радиусами кривизны поверхности.
Если взять меридиан PQ ( рис. 4. 3 ), то он делит поверхность эллипсоида на две симметричные по геометрическим параметрам части. Направление вдоль меридиана является одним из главных направлений на поверхности эллипсоида, вдоль которого кривизна поверхности равна величине, обратной радиусу меридиана
(
4. 11 )
Вторым главным направлением на поверхности эллипсоида является направление вдоль первого вертикала – дуга Tk ( рис. 4. 3 ) и кривизна поверхности эллипсоида вдоль этого направления имеет выражение
(
4. 12 )
Величины M и N носят название главных радиусов кривизны поверхности эллипсоида в данной точке.
|
Q
|
На рисунке показаны главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида в точке Т, широта которой равна В: M – отрезок нормали TmT , заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой касания с астроидой; N – отрезок нормали TnT , заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой пересечения с осью вращения эллипсоида. Заметим величину глав- |
Рис. 4. 3
ных радиусов кривизны для полярной точки Р, в которой В = 900 :
(
4. 13 )
Эта величина носит название полярного радиуса кривизны эллипсоида и обозначается с. На рисунке 4. 3 – это отрезок РС.
Для экваториальной точки Q , где В = 0 имеем соответственно:
,
(
4. 14 )
на рисунке отрезок QA;
,
(
4. 15 )
на рисунке отрезок QО.
Вообще говоря, ось вращения эллипсоида является геометрическим местом центров кривизны первых вертикалов, а астроида – геометрическим местом центров кривизны меридианов. Сравнивая численные значения главных радиусов кривизны, замечаем, что радиус меридиана меньше радиуса первого вертикала, следовательно, всегда кривизна поверхности эллипсоида минимальна вдоль первого вертикала, а максимальна – вдоль меридиана. На полюсе меридиан и первый вертикал совпадают.